Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

В частности, для случая, который обычно рассматривается в сред­ ней школе (тело бросают с поверхности Земли), следует положить Уо — 0. Тогда получим:

Из (3.12) и (3.13) следует, что при данном модуле начальной скорости максимальная высота достигается при вертикальном бро­ сании тела, а наибольшая дальность — при бросании под углом 45° к горизонту.

По изложенной схеме решается любая механическая задача: сначала записывается необходимая формула в векторной форме, затем переходят к скалярным уравнениям путем замены вектор­ ных величин их проекциями на оси координат. Далее полученные скалярные уравнения решают и находят координаты н составляю­ щие скорости по осям координат. Из этого общего решения нахо­ дят различные величины, требуемые поставленной задачей.

§ 2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФОРМА ВТОРОГО ЗАКОНА НЬЮТОНА

Как уже говорилось в предыдущем параграфе, второй закон Ньютона в СТО формально имеет тот же вид (3.3), что и в ме-- ханике Ньютона:

(Изменение импульса тела в единицу времени равно действую­ щей на тело внешней силе.)

Принципиальная разница, однако, обусловлена тем, что В нью­ тоновской и релятивистской механике в качестве импульса рас­ сматриваются различные величины. В ньютоновской механике им­ пульсом тела называется векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

причем масса тела считается величиной инвариантной, не зави­ сящей, в частности, от скорости тела.

В теории же относительности в качестве импульса приходится брать векторную величину, определяемую следующим образом:

(3.15)

68

Здесь то — масса тела в той системе отсчета, в которой тело по­ коится (масса покоя, или собственная масса тела).

Следует иметь в виду, что исходная формула (3.15) допуска­ ет две различные интерпретации. Первая, широко распространен­ ная в популярной и учебной литературе, как школьной, так п ву­ зовской, относит «релятивистский» корень в знаменателе к массе покоя т0 и получающуюся величину

называет релятивистской массой или массой движения т. Тогда импульс в СТО может быть определен формально так же, как

.и в ньютоновской механике, т. е. как произведение массы 'на ско­ рость, только в СТО масса тела принимается зависящей от скоро­ сти тела, т. е. от системы отсчета, относительно которой рас­ сматривается скорость тела, согласно (3.16).

Вторая интерпретация формулы (3.15) принята в основном в научной литературе по теоретической физике и лучше соответст­ вует «духу» самой теории относительности. Согласно ей релятиви­ стский 'корень относится к вектору скорости, а масса полагается инвариантной величиной, равной массе покоя, или,- собственной массе тела т0. Такая трактовка принята в четырехмерной форме теории относительности, в которой все векторные величины имеют не по три, а по четыре компоненты: три компоненты пространст­ венные, т. е. проекции вектора на пространственные оси коорди­ нат, а четвертая — временная компонента —• проекция вектора на ось времени. Непривычный четырехмерный математический аппа­ рат теории относительности допускает и привычную трехмерную трактовку: оказывается, три пространственные составляющие вся­ кого четырехмерного вектора соответствуют «подходящему» век-

Для средней школы может быть рекомендована только трех­ мерная трактовка соотношений теории относительности, как более

наглядная.

Здесь будут рассмотрены некоторые вопросы релятивистской динамики, которые представляют интерес для учителей средней школы.

69

Вернемся ко второму за­ кону Ньютона. Подставив в (3.3) выражение (3.14) для релятивистского импульса, запишем основной закон ди­ намики в следующем виде:

—>- d(mu)

di

с нерелятивистским предста­

е т вим величину-^- — изме­

нение релятивистской массы тела в единицу времени — в другом виде. Для этого воспользуемся законом Эйнштейна о взаимосвязи массы т и энергии Е:

Если умножить -~jj- на квадрат скорости света в вакууме (с2),

то полученное выражение будет представлять собой изменение энергии тела в единицу времени. По закону сохранения энергии оно должно равняться работе внешней силы в единицу времени:

d(mcz)

} 'V = fv cos а,

1Г~

где а — угол между направлениями векторов силы и скорости,

fv — скалярное произведение векторов силы и скорости.

Как видим, основной закон релятивистской динамики сущест­ венно отличается от нерелятивистского второго закона Ньютона

(пца - f).

Прежде всего в релятивистский закон входит не инвариантная масса покоя т0, а релятивистская масса т, зависящая от скоро­

70

сти согласно (3.16). График этой зависимости представлен на ри­ сунке 13.

Согласно (3.16) масса прежде всего зависит от скорости. Само по себе это означает, что маса тела, как и его скорость, — вели­ чина относительная: она зависит от системы отсчета. Одно и то же тело имеет различные массы в различных системах отсчета. Ин­ вариантна (независима от системы отсчета) лишь масса покоя т 0; поэтому-то масса покоя называется в СТО собственной массой тела.

Возрастание массы тела с увеличением скорости практически незаметно при ß < 0,2, т. е. при скоростях, меньших 60 000 км/сек. Зависимость массы от скорости в СТО непосредственно следует из невозможности движения тел со скоростью, большей скорости света в вакууме.

Действительно, если бы масса тела оставалась постоянной, то при действии постоянной силы ускорение было бы тоже постоян­ ным на основании второго закона Ньютона. Наличие же постоян­ ного ускорения привело бы к неограниченному возрастанию ско­ рости со временем. А это противоречит утверждению СТО о пре­ дельном характере скорости света в вакууме.

В правой части (3.17), кроме вектора силы f, содержится век­

тор — 0 ‘7Г ’ 1 паРаллельный скроости V и, вообще говоря, не па­

раллельный силе f. Это приводит к тому, что вектор ускорения, вообще говоря, не совпадает по направлению с вектором силы. Оба вектора имеют, как видно из (3.17), одинаковые направления

пгх :

У‘-(тУ

Вслучае же, когда сила и скорость имеют одинаковое направ­ ление, например, при отсутствии начальной скорости, закон (3.17)

можно привести к следующему виду:

71