Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

Подставив это выражение в (3.23), получим:

Ек— - ~ т аѵ2,

т. е. нерелятивистскую формулу для кинетической энергии, как и должно быть согласно принципу соответствия.

Релятивистской формулой для кинетической энергии прихо­

меньше 0,2с; поэтому для них можно с достаточной точностью вы­ числять кинетическую энергию по нерелятпвистской формуле

г.т 0ѵ 2

£к= —к— . Но в микромире скорости, близкие к с, — обычное яв­

ление, и там приходится, как правило, пользоваться релятивист­ скими формулами (3,22) и (3.23). Это имеет место, в частности,

вускорителях заряженных частиц. Рассмотрим этот вопрос.

4.Зависимость скорости релятивистской заряженной частицы от ускоряющего напряжения. Если попытаться вычислить скорость, приобретаемую электроном под действием ускоряющего напряже­

данном случае нельзя пользоваться «ньютоновской» формулой, а надо применять релятивистскую формулу (3.23). Пользуясь ею, получим релятивистскую формулу для скорости заряженной час­ тицы с зарядом q, приобретаемую ею под действием ускоряющего напряжения U.

Изменение кинетической энергии AEh равно работе электриче­ ской силы:

АЕц— qU.

Поскольку начальное значение Ек равно нулю, то АЯ« = = Як и, следовательно,

EK=qU .

Подставив сюда релятивистское выражение для кинетической энер­ гии (3.23), получим:

78

Решив это уравнение отно­ сительно V , найдем релятивист­ скую зависимость скорости ча­ стицы от ускоряющего напря­ жения:

формулы можно пренебречь по сравнению с единицей, и в этом случае — при не слишком больших напряжениях — релятивист­ ская формула (3.25) практически совпадает с «классической» (3.24):

о» Л І 2-3— U.

Гт0

Наоборот, при U—yoo скорость частицы стремится к скорости света в вакууме:

lim ц = с. Ц-х»

Но ни при каком напряжении скорость частицы не может до­ стичь скорости, равной скорости света. Это соответствует пред­ ставлению теории относительности о скорости света в вакууме как

о предельной скорости.

Зависимости скорости частицы от напряжения, по «классиче­ ской» и релятивистской формулам представлены графически на рисунке 16 (кривые 1 и 2, соответственно).

Вернемся к релятивистской формуле (3.23) для кинетической энергии и выясним ее физическое содержание.

Выражение для кинетической энергии (3.23) представляет со­ бой разность между величиной

и величиной

Е0=іПоС2. (3.26)

Как видим, величина Е0 является частным случаем величины Е при о = 0, т. е. для неподвижного тела.

79

Величину (3.27') называют полной энергией, а величину (3.26) — энергией покоя или собственной энергией. Как видим, согласно теории относительности неподвижное свободное тело, на которое не действуют внешние силы, обладает энергией — энергией покоя Е0 = !п0с2, связанной с массой покоя т0. Это частный случай об­ щего закона о взаимосвязи массы и энергии. К его общему выра­ жению можно подойти следующим образом.

Согласно определению релятивистского импульса (3.15) и (3.16-)- велнчина

тй

т

V2

с2

в (3.27') является массой. Тогда формула (3.27') может быть за­ писана так:

Это знаменитый закон Эйнштейна о взаимосвязи массы и энер­ гии. Он справедлив не только для частиц, обладающих массой по­ коя, но и для частиц, не имеющих массы покоя, например для фотонов.

Закон Эйнштейна (3.27) устанавливает связь между массой как мерой инертности и энергией, которая является универсальной мерой движения. Неудачной является довольно часто встречаю­ щаяся трактовка закона Эйнштейна как выражения эквивалент­ ности массы и энергии. Следует различать две стороны вопроса: принципиальную и расчетную. В принципиальном отношении не может быть речи об эквивалентности количественных мер различ­ ных свойств материи — инертности и движения. В расчетах же часто масса выражается в энергетических единицах, а энергия — в единицах массы, причем пересчет производится согласно (3.27). Например, массу покоя электрона т 0е = 9,01 - ІО-31 кг в ядериой

физике часто выражают в электрон-вольтах:

*

JL/ 2

moe=9,01 • ІО-31 кг=9,01 • ІО-31 кг -9.1.0«-----Г =

1 = 81,09-ІО-15 дж • 0,51 • Ю6 ав = 0,51 Мэв.

дж

1,6- ІО-19 эв

И наоборот, энергию связи выражают в единицах массы — в атомных единицах массы (а.е.м.): 934 Мэв,<= 1 ні. е. м.

Можно провести такую аналогию. Длина электромагнитной волны в вакууме Ко связана с частотой колебаний ѵ универсальным соотношением:

60

Тем не менее не говорят, что длина волны и частота — это физи­ чески эквивалентные величины. С другой стороны, в ряде практи­ ческих вопросов длины волн (в метрах) «переводят» в частоту (в герцах), а частоту — в длины волн, например, при указании

£

ѵ = — — 10е гц— 1 Мгц. В этом расчетном отношении длина волны Ао

300 м и частота 1 Мгц — эквивалентные величины, хотя физиче­ ски они и различны.

5. Соотношение между энергией и импульсом. В теории отно­ сительности (и вообще в современной физике) очень важную роль играет соотношение между энергией и импульсом.

Выведем это соотношение, воспользовавшись формулами (3.15) и (3.27'):

При малых скоростях, при которых р <С »hс, релятивистское соотношение (3.28) переходит в ньютоновское, как и должно быть. Действительно, если извлечь из (3.28) квадратный корень, то по­ лучим:

При р <С т0с имеем:

Тогда (3.28') примет вид:

Формула (3.28") определяет энергию, складывающуюся пз энергии покоя т0с2 и кинетической энергии. Следовательно, при р тое кинетическая энергия связана с импульсом иерелятнвпстским со­ отношением:

ЕК Р2 2т0

В современной физике очень часто и в нерелятивистском при­ ближении используется соотношение (3.28"'), а не формула

г. т0ѵ2

2

Соотношение (3.28) широко используется в современной фи­ зике, и не только в теории относительности. В частности, для ча­ стиц, не обладающих массой покоя ( т 0 = 0), например для фото­ нов, получим из (3.28):

Е — р • с,

Это соотношение между энергией и импульсом фотонов будет не­ однократно использоваться в дальнейшем.

§ 3. ЕДИНЫЙ ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ, ИМПУЛЬСА, ЭНЕРГИИ В СТО .

В ньютоновской механике сохранение массы, импульса энер­ гии 1 рассматривается обычно независимо друг от друга.

82

В специальной же теории относительности рассматривается единый закон сохранения, включающий в себя три закона сохра­ нения ньютоновской механики.

Для того чтобы убедиться в этом, обратимся к общему реля­

Ш- р І ■

Рассмотрим изолированную систему, состоящую из п не взаи­ модействующих частиц; обозначим через і номер частицы. Энер-

гпя Е и импульс Р системы связаны с энергиями е,- и импульсами ->

Р і частиц соотношениями:

Если в (3.28) вместо энергии е,- и импульса рі одной частицы

подставить энергию и импульс всей системы Е и Р, то найдем массу покоя, или собственную массу М системы частиц:

Для изолированной системы частиц справедливы законы сохране­ ния энергии и импульса:

t=i

Согласно (3.29) и (3.30) сохранение энергии и импульса си­ стемы приводит автоматически к сохранению собственной массы системы:

Таким образом, три закона сохранения ньютоновской физики (массы, импульса и энергии) объединяются в СТО в один за­ кон — в единый закон сохранения собственной массы, энергии и