Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

откуда

(3.19)

И в этом случае основной закон релятивистской динамики приво­ дится к ньютоновскому виду: произведение массы на ускорение равно внешней силе. В этом случае роль массы тоже играет вели­ чина, стоящая перед ускорением; она называется продольной мас­

сой гп\\ (в соответствии с тем, что скорость направлена вдоль силы):

Правда, это отличие проявляется только при скоростях, близ­ ких к скорости света. При условии же у -с с обе массы оказыва­ ются приблизительно равными массе покоя ш0.

-> -» -* -» Таким-образом, только в двух случаях (f Jі_ у и f || ѵ) реляти­

вистский закон (3.17) можно привести к «классическому» виду; правда, одному и тому же телу в этих случаях приходится при­

писывать различные массы: т х и /?гц. В общем же случае, когда сила направлена под произвольным углом к начальной скорости, ускорение не совпадает по направлению с силой; в этом случае вообще нельзя ввести скалярную величину, которая была бы коэф­ фициентом пропорциональности между силой и ускорением и ко­ торую можно было бы назвать массой. Тем не менее это не со­ здает никаких неудобств в теории относительности. Дело в том, что для решения конкретных задач всякий вектор проектируется на некоторые направления, в частности на оси координат. Напри­ мер, векторы, входящие в уравнение (3.17), можно спроецировать на нормаль к траектории, т. е. на перпендикуляр к скорости в каждой точке:

Если же спроецировать векторы, входящие в (3.17), на направ­ ление скорости, т. е. на направление касательной к скорости, то получим:

ракету с непрерывно работающим двигателем. Реактивная сила тяги равна произведению ежесекундного расхода топлива на ско­ рость истечения продуктов сгорания относительно ракеты. Силу тяги будем считать постоянной.

Рассмотрим движение тела (ракеты) с массой покоя ш0 под действием постоянной силы f без начальной скорости. Вычислим скорость тела относительно «неподвижной» системы отсчета, на­ пример Земли, для любых моментов «земного» времени t. Найдем также расстояние тела от начала координат этой системы, напри­ мер от поверхности Земли, для любого момента времени t по зем­ ным часам.

Вданном случае сила совпадает по направлению со скоростью,

ирелятивистский закон движения для данного случая имеет вид (3.19):

~~с*)

Как видим,, в релятивистском случае при постоянной силе ус­ корение уже не является постоянным. Причиной этого является зависимость массы от скорости. Наоборот, постоянство ускорения

Левый интеграл берется с помощью замены переменной ѵ на пере­ менную w согласно формуле:

— = sin w, dv = с • cos w • dw.

73

откуда

(lot

(3.200

У ‘ + ( - т - ) ’

Ньютоновская же механика для этого случая дает, как известно, соотношение

Ѵп— &ot,

которому соответствует график 1 на рисунке 14.

Как видим, действительная скорость ѵ < ѵв. Причина этого в том, что с течением времени скорость тела, а с ней и его масса возрастает, а ускорение уменьшается, тогда как по ньютоновской механике оно остается постоянным.

Для не слишком больших t, когда a0t -С с, знаменатель в (3.20) примерно равен 1, н релятивистская формула дает практически тот же результат, что и ньютоновская. Так и должно быть согласно принципу соответствия. В пределе при t —>оо ньютоновская меха­ ника дает:

1 і т у н= ° ° . t- х х з

Для нахождения предела по формуле (3.20) запишем эту формулу в несколько ином виде:

Отсюда сразу видно, что

lin m = c.

і-ѵ со

Таким образом, при непрерывно работающем двигателе, раз­

74

гоняющем ракету, ее ско­ рость непрерывно возраста­ ет, асимптотически Стремясь к с при t-+ оо. Превысить же скорость света она ни­ когда не сможет. Эго соот­ ветствует общему положе­ нию теории относительно­ сти: тело, обладающее мас­ сой покоя, не может дви­ гаться со скоростью, рав­ ной с.

Однако нельзя утверж­

к его поглощению. Утверждение, что скорость фотонов равна с, не противоречит тому, что в прозрачной среде свет распространяется

среды). Дело в том, что распространение света в среде — процесс многоступенчатый: фотон поглощается атомом вещества, возбуждая его; в возбужденном состоянии атом находится некоторое время, не излучая; затем возбужденный атом излучает фотон той же ча­ стоты. Фотоны между атомами движутся со скоростью с, но уча­ стие атомов вещества в процессе распространения света в среде приводит к замедлению скорости света в веществе.

Зависимость скорости от времени согласно (3.20') представлена графически на рисунке 14 кривой 2. Скорость возрастает непрерыв­ но, но быстрота ее возрастания (т. е. ускорения) непрерывно умень­ шается, так как масса непрерывно возрастает. Чем больше ско­ рость тела, тем труднее ускорять его.

Найдем теперь зависимость пути от времени. Обозначим через X расстояние тела от начала координат в момент времени t. Тогда

75

представленный на рисунке 15 параболой 1.

Наоборот, при t-*-oо единицей в (3.21) под корнем можно пре­ небречь. Тогда

x — ct - а о

График такой зависимости х от t представлен штриховой пря­ мой на рисунке 15; это асимптота гиперболы (3.21). Физически она отражает тот факт, что при t-*-oo скорость тела стремится к предельному постоянному значению с, а движение — к равномер­ ному (со скоростью с).

3. Релятивистская формула для кинетической энергии. Взаимо связь между массой и энергией. Выведем релятивистскую формулу для кинетической энергии аналогично тому, как это делается з ньютоновской механике.

Пусть на тело, неподвижное в начальный момент, действует сила, в общем случае изменяющаяся от точки к точке. Скорость тела будет возрастать, оставаясь все время направленной вдоль силы. Поэтому во втором законе Ньютона следует брать в данном случае продольную массу:

m„a = f,

элементарному пути: ds — vdt):

76

-у

В выражении v ■dv можно опустить знаки векторов:

V • dv = V• dv.

(Это верно не только в частном случае, когда скорость не изме­

на данном перемещении. (В случае постоянной силы интеграл в правой части равен просто произведению силы на перемещение.) Тогда на основании теоремы механики о кинетической энергии левая часть равна изменению кинетической энергии тела при из­ менении его скорости от 0 до ѵ, т. е. просто кинетической энергии тела Ек.

У*--?

Это общая формула СТО для кинетической энергии, справед­ ливая при любой скорости V как для прямолинейного, так и для криволинейного движения. Она сильно отличается от нереляти­

релятивистская формула практически совпадает с формулой, вы­ веденной в ньютоновской механике. Действительно, при (і>/с)2)<С 1

— можно положить:

1

У Ч т Г

77