Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

импульса. Найдем теперь, в каком отношении к релятивистскому закону (3.31) находятся законы сохранения ньютоновской меха­ ники. Для этого в качестве системы отсчета выберем так называе­ мую систему центра масс‘. Это система отсчета, в которой центр масс системы покоится н трехмерный импульс системы равен нулю:

Р= 0.

Вэтом случае (3.31) имеет вид:

М— - ^ - = const, с2

или

и закон сохранения собственной массы системы совпадает с зако­ ном сохранения энергии.

Сравнив (3.33) с (3.32), получаем соотношение между соб­ ственной массой системы М и собственными массами составляю­

Как видим, собственная масса системы частиц не равна сумме собственных масс отдельных частиц, или, как говорят, собствен­ ная масса в СТО не является аддитивной величиной.

Если скорости частиц Ѵі малы по сравнению со скоростью све­ та, то энергия /-го тела, как было показано ранее, может быть представлена как сумма энергии покоя и «классической» кинети­ ческой энергии:

Подставив (3.35) в (3.34), получим закон сохранения собственной массы системы в этом случае:

1 О центре масс см. главу 4.

84

Левая часть этого равенства представляет собой «классическую» кинетическую энергию системы, равную сумме кинетических энер­ гий всех тел1системы.

Учет энергии полей консервативных сил (например, сил тяго­ тения, сил электростатического взаимодействия) приводит к тому, что в нерелятпвистском приближении в левой части (3.36) стоит не одна кинетическая энергия системы, а сумма кинетических энергий всех тел и потенциальной энергии 1 системы, т. е. полная механическая энергия системы. Величина М — ЕМ* в правой части (3.36) представляет собой разность между собственной массой си­ стемы и суммой собственных масс тел (частиц) системы. Эта вели­

т. е. энергия системы равна дефекту массы, умноженному на с2. При отсутствии превращений частиц, деления частиц (напри­

мер, атомных ядер), синтеза тяжелых частиц из более легких (на­ пример, синтеза атомных ядер) ЕМ,- остается неизменной; тогда вследствие сохранения собственной массы системы М остается по­ стоянным II дефект массы ДМ. Отсюда следуют два «классических» закона сохранения.

С одной стороны, согласно (3.38) при ДМ .= const

£= const,

т.е. сохраняется энергия системы. Это есть закон сохранения энер­ гии ньютоновской физики.

Сдругой стороны, постоянство ЕМ,- представляет собой класси­ ческий закон сохранения массы: сумма масс всех частиц (тел) системы остается постоянной. Эта сумма масс не является полной

сутствии превращений частиц релятивистский закон сохранения собственной -массы «распадается» на два «классических» закона сохранения: закон сохранения энергии и закон сохранения массы.

Для выяснения вопроса о том, как будет вести себя механиче­ ская энергия в случае превращений частиц, вернемся к математи­

1 Понятие потенциальной энергии чуждо теории относительности; в СТО рассматривается просто энергия частицы или поля, связанная с массой Частицы и поля единым соотношением Е = тс2.

85

ческому выражению релятивистского закона сохранения собствен­ ной массы системы в «классическом» приближении (3.36):

M = J£ M ;+ -^ -£ = c o n st. (З.Зб')

Это соотношение позволяет понять сущность собственной массы системы с «классических» позиций. Для нахождения собственной массы системы нужно прежде всего сложить собственные массы составляющих ее частиц (тел). В ньютоновской физике эта сумма масс представляет собой массу системы. Это обстоятельство формулпруется как принцип аддитивности массы в ньютоновской фи­ зике: масса, например, системы двух тел равна сумме масс обоих тел. В ньютоновской физике этому принципу уделяется мало вни­ мания, так как его считают «вполне очевидным».

В теории же относительности собственная масса не является аддитивной величиной: собственная масса системы AI не равна

т. е. сумму кинетической и потенциальной энергии системы, делен­ ную на с2. Поскольку энергия одних и тех же частиц может быть различной, то совокупность одних и тех же частиц может обладать различными собственными массами.

В формуле (З.Зб') отчетливо проявляется взаимосвязь массы и энергии: энергия Е вносит вклад в массу системы; этот вклад равен Е/с2.

Закон сохранения собственной массы (З.Зб'), конечно, спра­ ведлив и в случаях превращений частиц в системе, когда одни частицы превращаются в другие и число частиц в системе изме­ няется (например, при делении пли синтезе атомных ядер, при рождении пли аннигиляции электропно-позптроиных пар). При этом дефект массы не будет постоянной величиной и механическая энергия системы не будет сохраняться. Подобная ситуация реали­ зуется обычно в ядерной физике, поэтому проиллюстрируем ее при­ мером из этой области.

Рассмотрим замкнутую систему частиц, состоящую из 8 нукло­ нов: четырех протонов и четырех нейтронов. Пусть для простоты в системе центра масс они неподвижны и не взаимодействуют друг с другом, т. е. их механическая энергия равна нулю. Это первое состояние системы. В качестве второго состояния системы рас­ смотрим состояние, которое получится после синтеза из_этих нук­ лонов двух ядер гелия, разлетающихся с некоторыми кинетиче­ скими энергиями. Найдем эту кинетическую энергию. Для этого воспользуемся законом сохранения собственной массы системы (З.Зб'). В первом состоянии системы ее собственная масса выра­ зится так:

где Мі — собственная масса нуклона.

86

Во втором состоянии собственная масса системы выражается формулой

Приравняв Mi и Mn, получаем уравнение, из которого находим механическую (в данном случае кинетическую) энергию синтези­ рованных ядер гелия:

дефекта массы в (3.38) и (3.39) различен: в первом случае это разность между собственной массой системы и суммой собствен­ ных масс частиц системы, во втором — разность между суммой собственных масс частиц, вступающих в ядерную реакцию, и ча­ стиц, полученных в результате реакции.

Преобразования Лоренца позволяют по координатам и времени в одной системе отсчета вычислять координаты и время в другой системе отсчета. Решим теперь такую же задачу для динамиче­ ских величин: импульса, массы, ускорения, силы, энергии. Зная значение любой из этих величин в'одной системе, можно найти ее значение в другой системе отсчета.

Знание формул преобразования динамических величин сделает логически законченной релятивистскую динамику. Действительно, если мы знаем, как записываются законы динамики в некоторой системе отсчета, то, применив формулы преобразования динами­ ческих величин при переходе от одной системы отсчета к другой, мы придем к формулировке законов динамики в любой другой си­ стеме отсчета.

Начнем с импульса.

Задача ставится так. Известен импульс р тела в «неподвиж-

ной» системе К. Требуется найти импульс р' этого же тела в си­ стеме К', движущейся относительно К в положительном направ­ лении оси , абсцисс системы К со скоростью ѵ. Скорость тела в системах К и К' будем обозначать соответственно буквами и и и'.

Итак, импульс тела в системах К и К' выражается соответ­ ственно формулами:

87

У>-£

mau

(3.150

Скорости тела u и u' связаны между собой релятивистским законом преобразования, который, в частности, для проекций их и и'х имеет вид:

и.

их — ѵ

ихѵ

1

Подставив это соотношение в (150, получим:

Р х = -

Рх — тѵ

У'-£

Итак,

У ‘-£

Последнее равенство записано на основе определений реляти­ вистского импульса и релятивистской массы. _

Для других проекций импульса имеют место соотношения:

Для массы получим следующую формулу преобразования:

У 1- !

88