Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

\

тельских целях, например для изучения зависимости атмосферного давления от высоты.

Рассмотрим физический смысл отклонений от условий круговой орбиты. Пусть ракета-носитель поднимает спутник на высоту ha над поверхностью Земли, на расстояние г0 от ее центра и сообщает спутнику орбитальную скорость, равную круговой ѵ{, но направ­ ленную не горизонтально, а под некоторым углом к линии гори­ зонта в точке выведения А.

В этом случае орбитой будет эллипс, так как нарушено усло­ вие круговой орбиты — круговая скорость не горизонтальна. Пол­ ная энергия спутника сохраняется как для круговой, так и для эллиптической траектории. Поэтому можно записать:

Отсюда получаем:

Q =

Предполагая, что намечался запуск спутника на круговую ор­ биту, можно по высотам апогея и перигея (/гШ|П и Ämax) вычис­ лить большую ось эллиптической орбиты:

/*

Большая полуось равна радиусу намечавшейся круговой траекто-

152

рии. Высота соответствующей круговой траектории над поверх­

ностью Земли равна среднему арифметическому из высот апогея и перигея:

I Ämin- \ - h шах

Одновременно h0 — это и высота точки выведения спутника на орбиту.

Вот выдержка из сообщения о параметрах орбиты ИСЗ «Интер- космос-1», запущенного 14 октября 1969 г.: «Минимальное рас­ стояние от Земли (в перигее) — 260 км, максимальное (в апогее) — 640 км, начальный период обращения — 93,3 мин».

Вычислим период обращения, исходя из размера большой полу­ оси орбиты и третьего закона Кеплера:

выяснить на основе второго закона Кеплера. Из него вытекает, что, чем ближе точка к центру тяготения, тем быстрее она дви­ жется, а чем дальше — тем медленнее.

153

генциальное ускорение at. Ускорение в прямолинейном движении — это частный случай тангенциального ускорения. Ускорение at будет

в точке В направлено так же, как и вектор скорости ѵ. Вследствие этого скорость тела будет возрастать по абсолютной величине. Так будет продолжаться до перигея (точка D), где скорость достигнет максимума. После прохождения перигея в точке С, например, тан­ генциальная составляющая силы тяготения будет направлена про­ тивоположно вектору скорости, и скорость будет уменьшаться. Уменьшение это будет происходить вплоть до апогея (точка А), тде скорость примет минимальное значение. Таким образом, на пути от апогея до перигея скорость непрерывно возрастает, а затем от перигея до апогея непрерывно убывает.

Если при выведении спутника на орбиту ему сообщена гори­ зонтальная скорость, отличающаяся от круговой, то орбита будет

Большие оси двух эллипсов будут различны^ так как скорости

.154

В реальных условиях запуска могут реализоваться одновре­ менно оба нарушения условий круговой орбиты. Потому реальные: орбиты спутников могут представлять собой эллипсы различных размеров, эксцентриситетов и ориентировок в пространстве.

На основе закона сохранения энергии спутника при «пассив­ ном» полете — без работы двигателей — можно вычислить ско­ рость спутника в любой точке эллиптической орбиты, на любой высоте над Землей.

Пусть известно из условий запуска, что на высоте /г0 спутнику сообщена скорость у0, любая по величине и направлению, но та­ кая, чтобы орбита не «задевала» Землю., Полная энергия спут­ ника при пуске может быть представлена так:

где г0 = Я -f- /г0, а R — радиус Земли.

Такова же будет полная энергия и в любой другой точке тра­ ектории. Потенциальную энергию U можно вычислить для любой высоты:

U = —у Мт

г

Вычтя ее из полной энергии, найдем кинетическую энергию спут­ ника, а по ней и его скорость у , на любой высоте:

ключена между наибольшим значением в перигее Ушах и наимень­ ш и м — в апогее ymin:

ц тігі5=~ и ^ s ^ m a x -

Скорости Umax и ут іп вычисляются по той же формуле, что и кру­ говая скорость, только вместо радиуса окружности нужно взять, расстояния перигея и апогея от ^фокуса (центра тяготения) rmm и.

Сама же круговая скорость вычисляется по формуле

Однако понятие круговой скорости никакого отношения к движе­ нию по эллипсу не имеет. Поэтому оно и не вводилось в общем анализе решения кеплеровой задачи.

На основании изложенного становится понятной ошибочность иногда встречающегося утверждения, будто для того, чтобы тело стало спутником Земли, ему нужно сообщить скорость, большую (или равную), первой космической. Мы видели, что тело может быть спутником и при скорости запуска, меньшей круговой. В этом смысле название «первая космическая скорость» нельзя при­ знать удачным, лучше ее называть круговой скоростью. Все спут­ ники Земли в энергетическом отношении находятся «в плену» поля тяготения Земли: их отрицательная энергия находится внутри потенциальной ямы. В процессе движения спутника его полная механическая энергия сохраняется неизменной, оставаясь отри­ цательной (Е с 0). А так как

£ = £ „ + £ /= £ ,< — у Ahn

то кинетическая энергия спутника в любой точке его орбиты меньше абсолютной величины потенциальной энергии. Чем боль­ шая скорость сообщается спутнику при запуске, тем большей будет его полная энергия, хотя она и будет оставаться отрица­ тельной. При этом длиннее будет большая ось эллипса, более вытянутой будет эллиптическая орбита. Если скорость при за­ пуске будет такой, что полная энергия Е спутника станет равной нулю, то согласно (5.26) большая ось эллипса станет бесконечно большой. Движение станет инфинитным и будет происходить в этом случае уже не по эллипсу, а по парабЬле.

Вычислим скорость, которую для этого надо сообщить телу при запуске, так называемую параболическую, или вторую косми­

Параболическая скорость больше круговой в л/2 раз для любой

156

Параболическая скорость, как и круговая, не зависит от массы тела. Но, конечно, чтобы большей массе сообщить такую ско­ рость, нужно сообщить ей большую кинетическую энергию. Для этого нужны более мощные двигатели.

Это значит, что если телу, первоначально неподвижному .отно­ сительно поверхности Земли, сообщить такую скорость в гори­ зонтальном направлении, то оно будет удаляться от Земли по параболе, вершиной которой будет точка запуска, а фокусом — центр Земли, как это изображено на рисунке 33. Тело при этом навсегда покинет Землю. Сопротивление земной атмосферы мы не учитываем.

Скорость тела будет при этом непрерывно уменьшаться, но обратится в нуль только на бесконечно большом расстоянии от Земли.

Наоборот, если тело неподвижно «в бесконечности», то при при­ ближении его к центру тяготения под действием силы тяготения его скорость будет непрерывно возрастать. При этом скорость тела в каждой точке будет являться параболической для данной точки.

мент импульса отличен от нуля, т. е. начальная скорость «не на­ целена» на центр тяготения, то траектория будет представлять собой более или менее «сплюснутую» параболу, тело обогнет центр притяжения с максимальной скоростью в перигее и удалится но другой ветви параболы.

Параболическая скорость, как видно из (5.31), подобно кру-

'говой скорости, тем меньше, чем больше расстояние г от центра тяготения. Вследствие этого запустить космический аппарат тех­

нически тем легче, чем выше точка запуска.

Межпланетные корабли будут стартовать не с поверхности Земли, а с орбиты искусственного спутника Земли, на которую они предварительно будут выведены или где они будут собираться по частям.

Чтобы и «в бесконечности» тело сохранило хоть какую-то ско­ рость по отношению к Земле, нужно, очевидно, при запуске сооб­ щить телу скорость, большую параболической. Тогда полная энер­ гия его станет положительной (Е > 0) и будет сохраняться на всем пути. В таком случае, как было выяснено выше, тело будет двигаться по гиперболе.

Если, наоборот, тело «на бесконечности» (т. е. не будучи свя­ зано с Землей) обладает некоторой скоростью ti«, то, если эта начальная скорость «не нацелена» на центр Земли, тело будет приближаться к Земле по гиперболе с фокусом в центре Земли со все возрастающей скоростью и, обогнув Землю, удалится от Земли по гиперболе с непрерывно уменьшающейся скоростью. Ско­ рость максимальна при наибольшем сближении, т. е. в вершине гиперболы (перигее орбиты), как это и должно быть согласно вто­ рому закону Кеплера. Это же справедливо и для движения по параболе.

157