Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

или

Тг 4n2m

(5.30)

а3 а

Это и есть третий закон Кеплера: квадрат периода обращения пропорционален кубу большой полуоси эллиптической орбиты. Отметим, что поскольку большая полуось зависит от полной энер­ гии, то из закона Кеплера следует, что период обращения зависит только от полной энергии:

В случае поля тяготения

а=угпМ.

Тогда для этого случая закон Кеплера получим в таком оконча­ тельном виде:

(5.300

где М — масса притягивающего центра (Солнца — в случае пла­ нет, Земли — в случае Луны и ИСЗ). Это, естественно, тот же результат, который был получен ранее для круговых орбит.

Закон Кеплера, записанный в виде (5.30), имеет более широ­ кую область применения: он справедлив для движения не только

лив и для движения электрона в электрическом поле атомного ядра. Для получения числового значения константы в правой ча­ сти в этом случае нужно взять соответствующие значения m и а.

Как уже говорилось, при Е = 0 траекторией является пара­ бола. Перигей удален от фокуса на расстояние

где

148

во всех случаях выражается общей формулой

Рис. 33.

которую удобнее записать в виде

Р= Гmln( 1-f-s) ■

Эта формула позволяет различить кривые по внешнему виду их отрезков, прилегающих к вершине: сильнее всего «прижат» к осп

ше, чем у эллипса); наконец, шире всех расставлены «крылья» у гиперболы (е > 1, параметр р больше, чем у эллипса и параболы).

Около вершины все три кривые мало отличаются одна от дру­ гой.

Всякое тело, брошенное под углом к горизонту, движется, строго говоря, по эллипсу, а не по параболе. Однако небольшие

,участки эллипса и параболы около вершины практически совпа­ дают друг с другом. Поэтому если высота подъема много меньше радиуса Земли, то молено считать, что тело, брошенное под углом

кгоризонту, движется по параболе. Физически это обусловлено тем, что в области небольших высот над Землей поле тяготения можно считать однородным, т. е. силу тяготения — постоянной. В такой упрощенной постановке исчерпывающее решение задачи вполне доступно учащимся средней школы.

Однако исследование движения в однородном поле тяготения

не относится к кеплеровой задаче: кеплерова задача состоит в расчете движения в н е о д н о р о д н о м поле тяготения, определяе­ мом законом тяготения Ньютона.

§8. ЗАПУСК ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ

ИИХ ДВИЖЕНИЕ

Рассмотрим вопрос о запуске и движении искусственных спут­ ников Земли (ИСЗ). Телу, которое мы собираемся сделать искус­ ственным спутником Земли, нужно сообщить энергию, но не елпш-

149

ком большую, чтобы он не улетел навсегда от Земли по парабо­ лической или гиперболической траектории. Следовательно, чтобы быть спутником Земли, тело должно в общем случае двигаться по эллипсу. В частном случае эллипс может выродиться в окруж­ ность.

Из решения задачи Кеплера следует, что при движении по эллипсу полная энергия тела отрицательна. Какую же энергию надо сообщить телу, чтобы оно стало ИСЗ?

Пусть тело лежит неподвижно на поверхности Земли. Его пол­ ная энергия в этом случае равна потенциальной, а последняя от­ рицательна (условие Е < 0 удовлетворяется). Но одного этого мало. Важным параметром, характеризующим движение по эллип­ тической орбите, кроме полной энергии, является также момент импульса тела. Эта величина требует наличия скорости, притом не вполне произвольной по направлению.

При любой, даже сколь угодно малой скорости и малом мо­ менте импульса орбита будет эллиптической, ппо формулам (5.25') можно вычислить большую и малую оси эллипса. Но в реальных -‘земных условиях нужно, чтобы эллиптическая орбита «не задева­ ла» Землю, иначе тело упадет на нее. С этих позиций камень, бро­ шенный рукой, падает на землю потому, что его орбита (строго говоря, эллиптическая, а не параболическая) «натыкается» на Землю. Значит, орбита должна быть таким эллипсом, чтобы Земля находилась внутри него, чтобы и большая, и малая оси были не меньше диаметра Земли. Самым «маленьким» эллипсом будет, оче­ видно, окружность с центром, находящимся в центре Земли, и с радиусом, несколько большим ее радиуса R. Вычислим соответ­ ствующую скорость тела v h

Найдем ее для общего случая — для любой высоты над Зем­ лей, т. е. для любого расстояния г от центра Земли.

В формуле (5.26) большую полуось а следует положить рав­ ной радиусу г круговой траектории:

Но полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной:

При движении по круговой траектории в поле тяготения кине­ тическая энергия тела равна половине абсолютной величины по-

тенцпальной энергии.. Это верно и для круговой орбиты электрона: в атоме. Для круговой скорости, таким образом, получаем следующеее выражение:

ние)

которое было получено ранее другим путем (см. стр. 146). Для данного центра тяготения, например для Земли, круговая скорость, зависит только от расстояния до центра тяготения. Чем выше над поверхностью Земли, тем меньше круговая скорость. Большая величина круговой скорости является причиной того, что запуск искусственных спутников — технически трудная задача.

Допустим, что на стартовой площадке на небольшой высоте над Землей стоит аппарат, ракетный двигатель которого может сообщить ему скорость, равную круговой. Если тело должно дви­ гаться по окружности с центром, совпадающим с центром Земли, то скорость должна быть направлена все время по горизонтали в каждой точке, т. е. перпендикулярно радиальному направлению. Следовательно, горизонтальной должна быть и начальная скорость спутника.

Вследствие большой плотности земной атмосферы у ее поверх­ ности сравнительно велико сопротивление воздуха. Простейший: спутник — это пассивный спутник, который движется свободно,,

Следовательно, г будет уменьшаться, и тело будет спускаться по свертывающейся спирали и может сгореть из-за аэродинамиче­ ского разогрева от трения о воздух. Поэтому принимают меры к тому, чтобы орбита спутника не проходила через плотные слои атмосферы.

Задача запуска спутника разбивается на две проблемы: 1) подъем аппарата на нужную высоту !г0 над поверхностью Земли (точка А на рисунке 34); 2) сообщение аппарату так называемой орбитальной скорости щ, направленной горизонтально. Только при соблюдении обоих этих условий спутник будет двигаться по круговой ^рбите.

Если же хотя бы одно из этих условий не выполнено, то орбита будет эллиптической!

Выведение спутника на орбиту производится по приборам, при этом возможны, конечно, случайные ошибки, и даже малейшее от­ клонение от указанных условий приведет к тому, что орбита ока­ жется не круговой, а эллиптической.

Таким образом, гораздо легче запустить спутник на эллиптиче­ скую орбиту, чем на круговую. Можно сказать, что, чем ближе орбита спутника к круговой, тем точнее и надежней работает си­ стема запуска. Иногда принимаются специальные меры для «вы­ тягивания» эллиптической орбиты. Это бывает нужно в исследова­

151