Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 221
Скачиваний: 1
Анализ подобных «потенциальных кривых» играет важную роль в различных областях физики — при анализе движения молекул реального газа пли жидкости, электронов в атоме и т. п. График зависимости эффективной потенциальной энергии и эф(г) в зависи мости от расстояния г движущегося тела до центра тяготения при веден на рисунке 32. Отложим на этом же графике полную энер гию Е движущегося тела. Так как полная энергия сохраняется (Е = const), то на графике она представится прямой линией, па
раллельной оси абсцисс. Здесь возможны три случая: |
1) полная |
|||||||
энергия |
отрицательна |
(Е < |
0) — ее уровень лежит |
н и ж е оси |
||||
абсцисс |
{Е\, |
Е2 |
и |
Ег |
на |
рисунке 32); 2) полная энергия |
||
равна нулю |
(Е = |
0) |
— |
ее |
уровень совпадает |
с осью абсцисс |
||
(£' = £'.1= 0); |
3) |
полная |
энергия положительна |
(Е = |
Е5>- 0) — |
|||
ее уровень лежит |
в ы ше |
оси абсцисс. |
|
|
||||
В первом случае, при Е < |
0, уровень энергии пересекает потен |
циальную кривую в двух точках, во втором и третьем случаях — только в одной. Выясним смысл точек пересечения. В точках пере сечения выполняется соотношение
и эф (г) —Е, |
(5.24) |
|||
или в явной форме на основании |
(5.16) |
|
||
а |
. |
L2 _ |
(5.240 |
|
г |
' 2 тгг |
|||
|
||||
|
|
|
143 |
I
Корни этого уравнения определяют абсциссы точек пересечения кривых І13ф с уровнем Е. В случае Е < 0, как видно из рисунка 32, имеютсядва корня этого уравнения (гт\п и rmax). Сопоставим условие (5.24)
E = U ^ |
(5.24) |
с общим выражением (5.15) для полной энергии тела |
в любой |
точке траектории: |
|
£ = у - ( ^ ) 2+и»фМ , |
(5.15) |
пли, что то же самое, с выражением: |
|
ГИ7) 2 |
(5.15) |
Е — —Y —Ь ^оф(г). |
Видно, что в точках пересечения гт1п и гтах радиальная состав
ляющая вектора скорости тела |
обращается |
в нуль |
(иг = 0), |
так |
|||||||
как (5.15) |
совпадает |
с |
(5.24) при |
ѵт— 0. Это означает, что |
при |
||||||
переходе через точки |
гт іп и ггаах |
радиальная |
компонента скорости |
||||||||
меняет знак: если до точки гт1п радиальная скорость |
|
ѵг= - ^ ~ |
|||||||||
была положительной |
^ |
> 0 |
j , |
т. е. если движущееся |
тело |
||||||
удалялось |
от центра |
тяготения, |
то |
после |
прохождения |
точки |
гтіп |
||||
величина |
dr |
|
|
' |
, |
/ |
dr |
„ \ |
11 |
расстояние |
|
станет |
отрицательной |
< - ^ - < 0 ) |
между телом и центром тяготения будет уменьшаться. Если Е < 0, то расстояние движущейся точки от центра тяготения изменяется в определенных границах:
|
:• |
шах- |
Движение в этом случае является, |
как говорят, финитным. |
|
В |
случаях Е = 0 и Е > Ö расстояние г ограничено только |
|
снизу, |
оно не может быть меньше |
гт іпСо стороны больших зна |
чений расстояние не ограничено. Это значит, что тело может уда литься от центра тяготения как угодно далеко.
Такое движение называется инфинитным: тело приходит из бес конечности и,'достигнув наименьшего расстояния, уходит снова в бесконечность.
Эти общие соображения подтверждаются и строгим решением задачи: как говорилось выше, при Е < 0 траекторией является эллипс, при Е — 0 — парабола, при Е > 0 — гипербола.
Вернемся после этого к анализу строгого решения задачи, т. е. к формуле (5.23) с учетом обозначений (5.22). Рассмотрим случай, когда е < 1, т. е. Е < 0, и движение происходит по эллипсу. Это соответствует движению спутников центрального тела, как искус ственных, так и естественных.
144
Вычислим параметры эллиптической орбиты — большую и ма лую полуоси, наибольшее и наименьшее расстояния тела от центра тяготения, период обращения. Заданы сохраняющиеся величины — полная энергия Е и момент импульса L. Согласно формулам ана литической геометрии полуоси эллипса связаны с его параметром Р и эксцентриситетом е следующими соотношениями:
а = —^-— , |
Ъ= Р |
|
(5.25) |
|
1— е2 |
|
У1.-— е2 |
|
|
Подставив сюда р и Е из формулы |
(5.22), |
получим: |
|
|
а = ~ ^ — , |
Ь= |
L |
-. |
(5.25') |
2 |£| |
|
у 2т |£| |
|
|
Видно, что большая ось эллипса 2а зависит только от полной энер гии и не зависит от момента импульса. При движении по эллипсу полная механическая энергия связана с большой его осью 2а соот ношением
Как видно, полная энергия отрицательна. Это очень важное обстоя тельство. Малая ось эллипса зависит не только от полной энергии,
но н от момента импульса. Если момент |
импульса |
равен |
нулю |
(L = 0), то b = 0 II эллипс вырождается |
в прямую. |
Так |
как по |
определению L = ry^mv, то равенство нулю момента импульса
означает, что г X ѵ = 0, т. е. что ѵЦг\ направление скорости про ходит через центр тяготения. Поскольку L должен оставаться рав ным нулю все время, то направление скорости будет оставаться одним и тем же. При L = 0 тело будет двигаться все время по прямой, проходящей через центр тяготения. Если спутник запу стить вертикально вверх, то он, поднявшись на некоторую макси мальную высоту, по этой же прямой упадет обратно на Землю. Так запускают исследовательские, геофизические или метеорологи ческие ракеты. Спутники так запустить, очевидно, нельзя: падение спутника на Землю — аварийная ситуация для данной задачи. Значит, одно из условий, которое должно быть выполнено при за пуске ИСЗ (искусственного спутника Земли), состоит в том, что, помимо подходящей энергии, спутнику необходимо сообщить еще и подходящий момент импульса.
Наименьшее расстояние от вершины до фокуса, в котором на ходится центр тяготения, называется перигеем для околоземной орбиты и перигелием для околосолнечной орбиты. Пользуясь ри
сунком 30, можно показать, что |
|
rmln= a - c = a ( l — j - ) = 0 ( 1 - 8 ) = - ^ . |
(5.26') |
10 З аказ № 7681 |
145 |
Наибольшее расстояние до центра тяготения от вершины траекто рии называется апогеем для околоземной и афелием для околосол нечной орбиты. Учитывая, что rmin + ггаах = 2а, получим:
т а х ^ 2 2й — Гmin = 0 (1 -|-е ) = ———----- . |
(5 .2 6 //) |
На основании очевидного соотношения
Гmln-Ь г max = 2 а
можно, зная высоты перигея и апогея орбиты спутника от поверх
ности Земли /ітіп и /іщах, найти большую |
ось орбиты |
спутника: |
2 а = /ітіп ~|~^ т а х ~ г 2 /? , |
|
|
где R — радиус Земли. А уже зная большую ось, можно на осно |
||
вании (5.26) вычислить полную энергию |
спутника, |
если известна |
его масса. |
|
|
Приведенные выше выражения для гт іп и гтах можно было бы, |
||
конечно, получить и как корни уравнения |
(5.21). |
|
Наименьшее значение полной энергии Аты, как видно из ри сунка 32, соответствует «дну» потенциальной кривой. В этом слу чае апогей и перигей сливаются (rmin = гтах) ; эксцентриситет эл липса обращается в нуль, и он вырождается в окружность, радиус которой согласно (5.26') и (5.22) равен:
г = р = — . |
. |
(5.27) |
та |
|
’ |
Скорость, при которой движение происходит по окружности, на зывается круговой или первой космической скоростью (дляИСЗ). Ее легко вычислить для ИСЗ, учитывая, что при круговом движе нии модуль момента импульса выражается формулой
L = mvir.
Подставив это выражение в (5.27), получим:
/п2щ2г2
т ■утМ ’
откуда |
|
’ „1 = у ^ = у £ Г |
(5.28) |
где g = y — ускорение, сообщаемое |
силой тяготения, М — |
масса Земли, г — радиус орбиты. Для орбиты, прилегающей к по верхности Земли (r — R ), круговая скорость может быть найдена по следующей формуле:
146
“‘'"= У ѴТ ” |
У ^ Л = У г » Л . |
(5.28') |
|
|
|||
Подставив числа, получим: |
|
|
|
» 1 ,0 = 7 ,9 4 |
км |
8 км_ |
|
сек |
сек |
|
В выражение для круговой скорости масса спутника не входит; это значит, что на заданной круговой траектории спутники любых масс будут двигаться с одинаковой скоростью. Энергии у них будут неодинаковыми, и спутник с большей массой технически труд нее вывести на данную орбиту — потребуется затрата большей энергии.
Наконец, докажем, что третий закон Кеплера содержится в общем решении.
Для этого вернемся снова ко второму закону Кеплера и его
связи с законом сохранения момента |
импульса: |
|
|
L= 2/n |
dS |
(5.10) |
|
dt |
’ |
или
L -d t= 2 m -d S .
Если положить промежуток времени dt равным периоду обраще ния Т, т. е. времени, в течение которого точка описывает эллипс, то площадь в правой части — это площадь S, ограниченная ор битой:
LT=2mS. |
(5.29) |
Но для площади эллипса известна формула |
|
\ |
|
S = nab. |
|
Подставив это выражение в (5.29), получим: |
|
Т— 2т■nab. |
(5.29') |
L |
|
Наконец, выразим малую полуось b через большую полуось а согласно (5.25'):
L |
L L y а |
Ь = |
Ута |
у Ш Щ |
Подставив полученное выражение в (5.29'), получим:
„ 2т |
L y а |
У ^ ~ а \ |
Т— ------па — '—: -2п |
Угла
ш* |
147 |