Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

На основании объединенного закона Фарадея для электролиза, для выделения киломоля меди требуется заряд, равный числу Фарадея qF = 9,65 • ІО7 к/кг-экв. Поскольку валентность меди равна двум, то для выделения киломоля меди потребуется в 2 раза больший заряд, чем для выделения одного 1 кг-экв: 2qF —

—2.9,65 • ІО7 к/кмоль.

Если считать, что выделяющееся тепло превращается непо­

средственно в энергию электрических зарядов, т. е. в энергию электрического тока, то, разделив количество выделяющегося в элементе тепла Q на заряд 2qF, найдем энергию; проходящуюся на единицу заряда, т. е. найдем э.д.с. источника:

Q2,22ІО8 дж/кмоль

^2qF 2-9,65- ІО7к/кмоль ’

'<§ = 1,15——= 1,15 в.

/С

Эта рассчитанная величина, как видим, находится в хорошем со­ гласии с опытом.

Таким образом, химические источники тока представляют со­ бой преобразователи внутренней энергии в электрическую, при­ чем весьма экономичные. Правда, все они дороги, так как рас­ ходуют дорогие цветные металлы. В настоящее время уже созданы так называемые топливные элементы — устройства, непосредст­ венно преобразующие теплоту сгорания топлива в энергию элект­ рического тока. Эти устройства выгодно отличаются от современ­ ных электромеханических генераторов тем, что в них нет какихлибо вращающихся частей.

В заключение рассмотрим изменение потенциала вдоль замк­ нутой цепи электрического тока. Для этого построим так называе­

Р а з д е л IV ФИЗИКА АТОМОВ, МОЛЕКУЛ

И ТВЕРДОГО ТЕЛА

ГЛАВА 7

/СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

История становления молекулярно-кинетической теории в фи­ зике представляет собой наглядный пример того, что история фи­ зики — это история ожесточенной борьбы новых идей и теорий со старыми. Прежде чем та или иная физическая теория становится общепризнанной и входит в учебники, ей приходится выдерживать тяжелую борьбу. Эта борьба нового со старым многих выдаю­ щихся ученых приводила к жизненным драмам. Так, одни из со­ здателей кинетической теории газов, профессор теоретической фи­ зики в Мюнхенском университете Людвиг Больцман, имя которого ѵвековечено в «постоянной Больцмана», жил в атмосфере насме­ шек и травли за свои работы по молекулярно-кинетической теории и в конце концов, доведенный до отчаяния, покончил жизнь са­

моубийством.

Атомизм получил в физике всеобщее признание' лишь к концу первого десятилетия XX в. До этого молекулярно-кинетическая теория считалась искусственным построением, относящимся к «ги­ потетическим» частицам ■— атомам и молекулам.

Так, физик Э. Мах, создатель философского направления, раз­ венчанного В. И. Лениным в его знаменитой книге «Материализм и эмпириокритицизм», даже в начале нашего века еще отрицал реальность атомов и молекул, называл учение.об атомах «шаба­ шем ведьм».

Активным противником атомизма был и крупный физико-химик В. Оствальд, создатель философии энергетизма, также развенчан­ ной В. И. Лениным. Оствальд в 1895 г. объявил атомистику раз­ рушением научного материализма (!).

И тем не менее к концу первого десятилетия нашего века молекулярно-кинетическая теория получила всеобщее признание.

Выдающаяся роль в этом отношении принадлежит объясне­ нию природы броуновского движения. Теория броуновского дви­ жения, созданная Альбертом Эйнштейном и Мариамом Смолуховским в 1905 г., привела к окончательному утверждению в физике молекулярно-кинетической теории. Даже Оствальд признал, что «со­ впадение броуновского движения с требованиями кинетической гипотезы . . . дает теперь право самому осторожному ученому гово­

213

рить об экспериментальном доказательстве атомистической теории ■материи. Таким образом атомистическая гипотеза возведена в ранг научной прочно обоснованной теории»

В настоящее время теоретический вывод законов молекуляр­ ного движения и теоретическое объяснение многих свойств тел в различных агрегатных состояниях на основе молекулярно-кине­ тических представлений составляет предмет н содержание особой 'физической науки — статистической физики. Мы рассмотрим осно­ вы теоретического метода изучения молекулярных явлений — ста­ тистического метода.

При этом следует иметь в виду, что при изучении кинетиче­ ской теории газов учащиеся должны совершить скачок в мышле­ нии, подняться на более высокую его ступень. Таких скачков в школьном курсе физики несколько. Примерами могут служить переход от представлений классической физики к представлениям квантовой теории, от ньютоновской физики — к теории относи­ тельности, от динамических закономерностей «обычной», макроско­ пической физики — к статистическим законам молекулярной фи­ зики и квантовой теории.

Применительно к молекулярной физике речь идет о совершенно ином мире — о мире, где господствует случай, о мире, законы ко­ торого носят совершенно иной, статистический характер. Статисти­ ческая физика базируется на теории вероятностей, являющейся математическим аппаратом статистической физики.

§ 2. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Молекулярное движение — это качественно иной тип движе­ ния по сравнению с механическим движением. Это беспорядочное, хаотичное движение колоссального числа частиц — атомов или молекул. В дальнейшем для краткости вместо слов «атомов и молекул» будем говорить «молекул», считая атомы частным слу­ чаем молекулы — одноатомной молекулой. В механике с помощью второго закона Ньютона и начальных условий мы можем точно, •однозначно предсказать положение и скорость движущегося тела в любой последующий момент времени. В молекулярной физике невозможно, да и не нужно точно знать движение каждой моле­ кулы. Казалось бы, для молекулярной физики вполне достаточно лишь одной механики: ведь молекулы могут считаться материаль­ ными точками, к которым применимы законы ньютоновской меха­ ники. С помощью этих законов,' зная начальные условия для каж­ дой молекулы, казалось бы, можно точно рассчитать движение всех молекул, например, газа. Поэтому на первый взгляд кажется, что -молекулярная физика сводится целиком к механике, что это про-

ЧЯсторическая справка дана по «Истории физики» Б. И. Спасского. Изд-во ІМГУ, 1964, ч. 2.

214

сто механика большого числа частиц, другими словами, что раз­ личие между механикой и молекулярной физикой чисто количест­ венное. Однако это не так: разница между механикой и молекуляр­ ной физикой не только количественная, но и принципиальная,, качественная. И причиной этого является важнейшая особенность. молекулярного движения — его массовость, колоссальное коли­ чество движущихся частиц, порождающее беспорядочный харак­ тер движения каждой данной молекулы. О массовости молекуляр­ ного движения могут дать представление следующие числовые оценки: в одном кубическом сантиметре любого газа при нор­ мальных условиях содержится 2,7 • ІО19 молекул. Это число назы­ вается числом Лоишидта, по имени австрийского физика Лошмидта. Каждая молекула при нормальных условиях испытывает примерно ІО9 столкновений с другими молекулами в течение каж­ дой секунды. В результате каждого столкновения скорость моле­ кулы меняется случайным образом. Поэтому невозможно точно предсказать, какова будет скорость данной молекулы по величине и направлению после столкновения ее с другой молекулой. Поэтому если бы мы и смогли написать второй закон Ньютона для каж­ дой из 2,7- ІО19 молекул, то мы не смогли бы решить его: в этот закон войдет сила, действующая на данную молекулу со стороны других молекул. Задать аналитически выражение для этой силы невозможно. Можно, как это часто делается в молекулярной фи­ зике, ограничиться случаем так называемых парных взаимодейст­ вий, т. е. учитывать взаимодействие данной молекулы с другой,, ближайшей к ней молекулой. Такое ограничение возможно вслед­ ствие того, что силы молекулярного взаимодействия резко умень­ шаются с увеличением расстояния между молекулами. Но и тогда мы не сможем точно узнать силу: она зависит от расстояния между молекулами весьма сложным образом. Кроме того, начальныеусловия для каждой молекулы являются совершенно случайны­ ми, непредсказуемыми. Неразрешимость задачи обусловлена не­ только и не столько тем, что сводится к необходимости решать, колоссальное число уравнений, равное числу молекул: человека в этом отношении могла бы заменить счетно-решающая машина. Дело в том, что мы не можем заложить в машину точных данных о движении каждой молекулы и не можем поэтому получить точного решения задачи о движении каждой молекулы. Как видим, затруд­ нения носят не просто количественный, а принципиальный, качест­ венный характер. В этом проявляется то, что молекулярное движе­ ние — это качественно иной тип движения по сравнению с механи­ ческим движением.

Законов механики недостаточно для молекулярной физики. Дело в том, что особенность молекулярного движения прояв­

ляется по сравнению с механикой в том, что1о молекулах, содер­ жащих в данном объеме газа, важно знать не то, как ведет себя каждая, молекула, а то, как-они ведут себя в целом, как коллектив.

215.

дованпя представляет собой синтез двух наук: механики н теории вероятностей.

Исторически теория вероятностей возникла как наука в сере­ дине XVII в. в связи с попыткой создать теорию игр. Позднее теория вероятностей развивалась под влиянием запросов физики (например, теории ошибок измерений), военного дела (теория стрельбы), статистики (статистика народонаселения) и др.

Случайные явления, т. е. такие, каждое из которых невозможно предсказать наверное, в силу своей индивидуальной случайности и массовости, подчиняются особым закономерностям, которые изу­ чаются с помощью теории вероятностей. То, что является факто­ рами, затрудняющими изучение с позиций механики, — случай­ ность и массовость, — для теории вероятностей является необхо­ димым условием.

Смысл математического определения вероятности случайного •события молено пояснить на примере с бросанием игральной кости

— кубика с цифрами от 1 до 6 на его гранях. Если кубик совер­ шенно симметричен, т. е. его центр масс находится в геометриче­ ском центре, то заранее совершенно невозможно точно предуга­ дать, какая грань кубика и какая цифра окажется сверху после подбрасывания его. Выпадение данной цифры является случайным событием. На первый взгляд кажется, что в этом ничего случай­ ного нет: ведь кубик движется по законам механики, и если знать начальные условия, то можно точно рассчитать движение кубика и узнать, какая грань окажется сверху. Но при внимательном рас­

никогда сознательно не можем подбросить кубик совершенно оди­ наково хотя бы два раза подряд, это может произойти лишь слу­ чайно). Даже одной случайности из трех названных было бы до­ статочно для того, чтобы выпадение данной цифры оказалось случайным событием.

Кроме названных, здесь действуют и другие факторы, усугуб­ ляющие случайный характер данного события: например, ловим ли мы кубик рукой, или он ударяется о стол и катится по нему, де­ лая случайное число оборотов.

Итак, выпадение данной цифры — событие случайное. Вслед­ ствие симметричности кубика все цифры совершенно равноправны и каждая из них имеет одинаковую возможность, или одинаковую вероятность выпасть. Это равноправие цифр проявится в том, что при многократных бросаниях кубика все его грани будут выпадать в среднем одинаково часто. Правда, случайность выпадения каж­ дой грани проявится в том, что при 60 бросаниях, например, все грани выпадут не ровно по десяти раз, а с теми или иными откло­ нениями от 10. На практике оказывается, что, чем больше броса­ ний производится, тем ближе число выпадений данной цифры,

216

например шестерки, приближается к одной шестой от числа всех бросаний. Говорят, что 7G представляет собой вероятность выпа­ дения шестерки или другой какой-либо цифры при одном бросавероятностп данного события — вводят вспомогательную величину, пин. Для более аккуратного определения основной величины — которую можно определить на практике, — частоту проявления данного события. Частота — это величина, равная отношению числа реализаций данного события к общему числу событий пли числу испытаний. Так, если при п бросаниях кубика шестерка вы­ пала пг раз, то частота появления шестерки будет равна со = т/п. При различных п величина частоты будет различной, но при воз­ растании числа бросаний частота выпадения данной цифры стре­ мится к вполне определенному пределу, равному в данном случае 7бПредел отношения числа осуществлений данного события к общему числу испытаний при неограниченном возрастании послед­ него и называется по определению вероятностью данного события при единичном испытании:

В нашем примере вероятность появления каждой цифры при единичном бросании одинакова для всех цифр и равна 7б-

Другой пример — выпадение герба или «решетки» при под­ брасывании монеты. Обе стороны монеты совершенно равноправны в смысле выпадения, поэтому при возрастании числа бросаний ча­ стота выпадения каждой стороны будет стремиться к половине. Следовательно, на основании (7.1) вероятность выпадения герба при единичном бросании равна ]/2, как н вероятность выпадения решет­ ки. Вот конкретные числа, характеризующие результаты непосред­ ственных опытов с бросанием монеты. Французский математик Бюффои бросал монету 4040 раз. Герб выпал 2048 раз. Этому числу испытаний соответствует частота 0,5080. Другой математик, Пирсон, провел две серии бросаний монеты: 12 000 и 24 000 раз. Из 12 000 бросаний герб выпал 6019 раз, чему соответствует частота 0,5016. А из 24 000 бросаний герб выпал 12 012 раз, что дает для частоты величину 0,5005. Если сравнить эти три частоты, то видно, что при увеличении числа испытаний частота появления желае­ мого события приближается к вероятности данного события, рав­ ной 0,5. Между прочим, эти данные иллюстрируют предельный характер вероятности: она равна пределу частоты, а не самой частоте; при конечном же числе испытаний, как бы велико оно ни было, частота отличается от вероятности.

В дальнейшем нам понадобятся два простых, но важных ут­ верждения, называемых теоремами сложения и умножения вероят­ ностей.

Теорема сложения вероятностей

Если вероятности двух независимых событий А и В равны со­ ответственно ад (А), и ѵа(В), то вероятность третьего события, со-

217