Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

и возникает задача отыскания распределения вероятностей между случайными событиями. Например, каждая молекула газа может иметь любую скорость, однако вероятности различных скоростей различны. Поэтому возникает задача нахождения вероятностей различных скоростей, или отыскания распределения молекул по скоростям.

Ответ на поставленный вопрос дается законом Максвелла; мы его получим несколько позже.

Случайная величина может принимать в одних случаях дис­ кретный ряд значений, в других — непрерывный. Например, в слу­ чае игральной кости этот ряд дискретен: 1, 2, 3, 4, 5, 6. В физике этому соответствует ситуация в квантовой механике, в теории микромира, когда различные физические величины (энергия, мо­ мент импульса и др.) в ряде случаев могут иметь лишь дискретный ряд значений (квантуются).

- В классической же физике физические величины могут иметь непрерывный ряд значений. Например, скорость газовой молекулы в результате столкновения может измениться на непредсказуемую величину Ди, могущую иметь непрерывный ряд значений.

Введем следующее определение: вероятность того, что скорость

Функция Q (V ) называется плотностью распределения вероят­ ностей случайной величины ѵ: Ее смысл можно установить из опре­ деления (7.5):

dw(v)

Плотность распределения вероятностей представляет собой ве­ роятность того, что случайная величина ѵ заключена в единичном интервале около величины а, так как, разделив dw на dv, мы тем самым относим вероятность к единичному интервалу dv = 1.

Мы взяли скорость в качестве случайной величины только для наглядности; в (7.5) вместо ѵ может быть взята любая случайная величина (координата, импульс, энергия и др.).

Рассмотрим важное для дальнейшего изложения нормальное,

где С, а, а — постоянные, смысл которых сейчас определим. Коэффициент С называется нормирующим множителем. Он

может быть найден из так называемого условия нормировки, со­ стоящего в том, что вероятность получения случайной величиной какого-нибудь из дозволенных значений —оо ^ х +оо равна единице. Если (7.6') дает вероятность того, что случайная вели­

2 2 2

чина X имеет какое-нибудь значение между х и х-\- dx,. то вероят­ ность, что она имеет какое-нибудь значение между —оо и -j-oo, по теореме сложения вероятностей найдется интегрированием:

+0°

Jdw(x).

—оо

По условию нормировки эта вероятность как вероятность досто­ верного события должна быть равна единице:

+ .0 0

jdw{x) = I,

или

Интеграл в левой части называется интегралом Пуассона; его

величина равна \/2л. Тогда получим:

СоУ2я = 1..

Отсюда найдем нормирующий множитель С:

С= — —1 .

оУ2л

Теперь можно записать нормальное распределение в окончатель­ ном виде:

ставлены графики распре­ деления Гаусса для двух

X — величина случайная, то X — а представляет со­ бой случайное отклонение некоторой величины х от

223

ее постоянного значения х = а . Гауссово распределение можно по­ лучить на практике, производя аккуратные многочисленные измере­ ния одной и той же физической величины или сделав много при­ цельных выстрелов по одной мишени, все время целясь в десятку. В обоих случаях при всей тщательности измерений или стрельбы вследствие наличия случайных факторов результаты последова­ тельных измерений или выстрелов будут несколько отличаться друг от друга: они будут «разбросаны» около истинного значения физической величины в первом случае и около десяти — во вто­ ром. Наличие разброса неизбежно. Разброс есть результат прояв­ ления различных случайных факторов, предвидеть и учесть кото­ рые принципиально невозможно. Разброс обязательно будет полу­ чаться, как бы тщательно мы ни выполняли измерения или вы­ стрелы.

Наша старательность проявится в степени разбросанности, или, как говорят, в величине дисперсии: чем тщательнее будет произ­ водиться каждое измерение пли каждый выстрел, тем гуще, кучнее будут результаты, тем меньше будет их разброс.

Распределены же результаты будут по закону Гаусса. Для уяснения того, что это значит, рассмотрим результат стрельбы. Пусть произведено 145 выстрелов, из них было попаданий: в де­ сятку — 40, в девятку — 38, в восьмерку — 26, в семерку — 15,

вшестерку — 10, в пятерку — 6, в четверку — 4, в тройку — 3,

вдвойку — 2, в единицу — 1. Пусть радиус центрального круга

мишени — 1 см, радиусы последующих кругов увеличиваются на 1 см. Тогда попасть в десятку — это значит попасть в любую точ­ ку, но не далее 1 см от центра мишени; попасть в девятку —■зна­ чит послать пулю в какую-нибудь точку, удаленную от центра ми­

кладывать расстояние от центра мишени, а по оси ординат — число попаданий в соответствующие круги мишени; получим сово­ купность ступенек. Если середины ступенек соединить плавной линией, то получится кривая, близкая к гауссовой (рис. 58). Сту­ пеньки получаются потому, что на практике рассматривается, во-

стягивая ступеньки к точкам.

График гауссова распределения называется еще кривой слу­ чайных погрешностей или кривой случайных ошибок. Это дейст­ вительно «нормальное», естественное распределение случайных от­ клонений от того, «что должно быть». Ведь мы в двойку попадаем не нарочно. Мы целимся в десятку. Но случайно дрогнула рука или мы не задержали дыхания при выстреле — и пуля прошла мимо десятки. »

224

Рис. 58.

Найдем математическое ожидание случайной величины, рас­ пределенной по закону Гаусса. Поскольку случайная величина х может принимать непрерывный ряд значений, то в определении ма­ тематического ожидания (7.2) вместо суммирования нужно взять интеграл:

Таким образом, параметр а в гауссовом распределении равен мате­ матическому ожиданию случайной величины, т. е. среднему значе­ нию ее при бесконечном числе испытаний.

Это обстоятельство позволяет глубже вникнуть в процедуру обработки результатов измерений.

Мы стараемся как можно тщательно измерить некоторую фи­ зическую величину. Но любое единичное измерение не дает истин­ ного результата, единичные результаты распределены по нормаль­ ному (гауссову) закону и разбросаны относительно математиче­ ского ожидания данной величины. Значит, истинным значением измеряемой величины является ее математическое ожидание. Но оно требует бесконечного числа измерений: ведь математическое ожидание — это среднее значение из бесконечного числа измере­ ний. Однако можно обойти это затруднение.

На практике следует произвести достаточно большое число из­ мерений, такое, чтобы их распределение отчетливо обозначило гауссову кривую. Тогда максимум этой кривой и определит мате­ матическое ожидание физической величины, т. е. ее истинное зна­ чение.

На практике часто поступают иначе. В качестве истинного зна­ чения измеряемой величины берут среднее арифметическое из не­ большого числа измерений (трех—пяти). Это дает и должно дать, как теперь можно понять, неверный результат: ни при каком конеч­ ном числе измерений среднее арифметическое не является истин­ ным значением, поскольку оно является таковым только при бес­ конечном числе измерений. Однако, чем больше число измерений, тем ближе среднее значение к истинному. Вот почему для полу­ чения более точного значения измеряемой величины требуется делать по возможности много измерений. Вообще нужно иметь в виду, что нахождение истинного значения по результатам конеч­ ного числа измерений — задача не простая. Она рассматривается особой наукой — теорией погрешностей, пли теорией ошибок, бази­ рующейся на теории вероятностей.

В частности, существуют таблицы, содержащие множители, на которые нужно умножить среднее значение, полученное из конеч­ ного числа измерений, для нахождения истинного значения изме­ ряемой величины.

Наконец, третий параметр гауссова распределения — коэффи­ циент а — характеризует, как видно из рисунка 57, «ширину» кривой, степень разбросанности, или дисперсию результатов из­ мерений или выстрелов. Симметричная кривая имеет точки пере­ гиба при X = +СТ. Чем меньше о, тем «тоньше» и выше кривая, тем меньше разброс случайной величины, тем ближе в общем результаты измерений к истинному значению, а стрельба — более меткая.

§ 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА

Применим изложенные выше сведения из теории вероятностей для решения физической задачи — нахождения закона распреде­ ления скоростей газовых молекул. Этот закон был получен в 1860 г. великим английским физиком-теоретпком Джемсом Кларком Макс­ веллом и носит его имя.

Пусть имеется сосуд, содержащий некоторое количество газа при определенной температуре. Обозначим через п общее число

2 2 6

Уг|-dv, будет по определению вероятности равна как раз доле

ÉÜL-' Это запишем следующим образом:

п

(7 .5 0

Скорость молекулы, как уже отмечалось ранее, меняется случай­ ным образом в результате беспорядочных столкновений данной молекулы с другими, т. е. скорость молекулы — величина случай­ ная. И задача состоит в нахождении функции dw(v) распределе­ ния вероятностей случайных скоростей газовой молекулы или в нахождении плотности Q(Ü) распределения вероятностей различ­ ных скоростей молекулы, так как

Начнем с того, что молекулы движутся совершенно беспоря­ дочно, но центр масс всех молекул все время остается неподвиж­ ным, поскольку сосуд с газом стоит на месте. Значит, средняя скорость молекул по всем направлениям одинакова. И если какоенибудь направление взять за ось координат, например ось х, то средняя скорость молекулы в положительном и отрицательном на­ правлениях оси X будет одинаковой. Отсюда следует, что среднее

значение проекции ѵх, скорости на ось х равно нулю ѵх = 0. Вследствие равноправия всех направлений то же самое имеет

место и для других осей координат: ѵу = 0, vz — 0.

Конечно, равенство нулю средних значений проекций скоростей на любую ось не означает отсутствия всякого движения вдоль этой оси; оно говорит о том, что движения в положительном и отрица­ тельном направлениях оси происходят одинаково часто и с одина­ ковыми скоростями.

Далее, отклонение проекции скорости от ее среднего значенияч

(величина ѵх — ѵх, просто равная проекции ѵх, так как ѵх = 0) является случайной величиной и может быть как положительной, так и отрицательной. В основе дальнейшего изложения лежит предположение о том, что для проекции скорости'на любую коор­ динатную ось справедливо нормальное, или гауссово, распреде­ ление:

dwz(vy) - -----— е 2tTr dvv,

стуу2я