Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

стоящего в появлении события А или события В, равна сумме ве­ роятностей появления каждого события:

w(A или В) = w {А)-\-w(В).

-Мы используем эту теорему, приобретая "несколько лотерейных билетов вместо одного и тем самым увеличивая вероятность выиг­ рыша.

Теорема умножения вероятностей

Если вероятности двух независимых событий А и В равны соответ­

w (Л и B ) = w ( A ) -w(B).

Поясним смысл этих теорем примерами с бросаниями игральной кости.

Вероятность выпадения каждой цифры равна 76: w(A) — = го (В) = ѵ6.

Будем одновременно бросать две кости или одну кость бросать два раза подряд. Тогда вероятность того, что при двух бросаниях

.выпадет какая-нибудь одна из двух назначенных цифр, например

вероятностей).

Вероятность же того, что при двух бросаниях одновременно выпадут обе названные цифры (именно двойка и тройка и никакие

С вероятностью случайной величины связана другая величина, имеющая очень важное значение для практических приложений теории вероятностей — математическое ожидание случайной вели­ чины (не события, а именно величины, связанной с этим событием). К нему можно просто прийти путем решения следующей практиче­ ской задачи, которую можно сформулировать в стиле восточных

.легенд.

Шах предложил работнику следующую форму оплаты произве­ денной работы: пусть работник бросает игральную кость 100 раз. Шах обязуется выдать работнику столько золотых монет, какой •окажется сумма-цифр, выпавших при всех 100 бросаниях. Спра­ шивается: какая плата ожидает работника, хотя бы приближенно?

,Оказывается, приближенно ее можно оценить и не производя самих бросаний.

Обозначим через і цифру на і-й грани-кубика. Очевидно, і мо­ жет иметь дискретные значения от 1 до 6. Обозначим для общно­ сти число всех бросаний через п. Пусть цифра 1 выпадет іщ раз, цифра 2 — ш2 раз, вообще цифра і — пц раз (г = 1,2,3,4,5,6).

:218

Тогда сумма выпавших цифр при всех бросаниях будбт равна:

6

А = \ ■ті+ 2 • іщ-'г . ■. 6іп6= І=11• mi-

Однако нам неизвестны числа пц выпадений каждой цифры і. Чтобы обойти это затруднение, разделим сумму цифр на полноечисло бросаний п. Мы получим таким образом среднее значениегСр цифры, приходящееся на одно бросание:

где соi — частота выпадения цифры i.

Но нам неизвестна частота соі выпадения любой цифры і. Что­ бы обойти и это затруднение, перейдем к пределу, устремив пол­ ное число бросаний к бесконечности:

вв

По определению предел среднего значения случайной величины \ при бесконечном возрастании общего числа испытаний называется

математическим ожиданием і случайной величины і:

lim i'cp=t.

П - H X )

Полученное соотношение является определением математиче­ ского ожидания и справедливо для всякой случайной величины £,. а не только для цифр на игральной кости: математическим ожи­ данием случайной величины |, могущей принимать дискретный ряд значений |], | 2> • • ■, £s с вероятностями, равными соответственно.

Wi, w2, . . . , ws, называется величина |, равная сумме произведенийдискретного значения случайной величины на вероятность этого ее значения:

Соотношение (7.3) позволяет установить смысл математиче­ ского ожидания'случайной величины: математическое ожидание случайной величины — это предел среднего значения этой вели­

Этим широко пользуются, в частности, в молекулярной физике. Например, мы хотим вычислить среднюю арифметическую ско­ рость молекулы газа. В дальнейшем мы увидим, что сравнительно­ просто вычислить математическое ожидание скорости молекулы,, являющейся случайной величиной. Тогда, ссылаясь,.на (7.4), мьь

219s

скажем, что средняя скорость молекулы равна ее математическому ожиданию. Это не вполне строго: ведь математическое ожидание скорости — это предел средней скорости при бесконечном возраста­ нии числа испытаний, в которых проявляется случайная величина, в нашем случае — при бесконечном росте числа молекул.

Однако в действительности число молекул в любом объеме не бесконечно, хотя и очень велико, так что средняя скорость моле­ кулы в коллективе, состоящем из конечного числа молекул, отли­ чается от математического ожидания скорости. Однако это отли­ чие практически несущественно, так как число молекул чрезвы­ чайно велико.

На данном примере мы познакомились с очень важным в прин­ ципиальном отношении положением, которое называется законом больших чисел. Смысл его состоит в следующем.

Случайные величины при достаточно большом числе их про­ явлений обнаруживают особые, статистические закономерности, предсказываемые теорией вероятностей и наблюдаемые в действи­ тельности.

Другими словами, закон больших чисел устанавливает усло­ вия эффективного применения теории вероятностей на практике: чем больше число случайных величин или случайных явлений, тем с большей вероятностью осуществляются на практике предсказа­ ния теории вероятностей.

Поясним это примером.

Опыт показывает, что при неизменных температуре, объеме и массе газа его давление является величиной постоянной. Этот же выво^ о постоянстве давления можно получить и теоретически, на основе законов динамики и с привлечением теории вероятностей. При этом выясняется, что давление газа является параметром со­ стояния, статистически усредненным, что его постоянство обуслов­ лено массовостью молекулярного движения, громадностью числа молекул, которые ударяются за секунду о мембрану манометрД или стенку сосуда. Разобьем секунду на тысячу миллисекунд. Ко­ личество молекул, ударяющихся о стенку в течение миллисекунды, будет величиной случайной, различной для разных миллисекунд вследствие беспорядочности молекулярного движения. Но эти слу­ чайные величины колеблются в обе стороны около устойчивого среднего значения. Устойчивость среднего числа молекул, ударяю­ щихся о стенку за данный промежуток времени, обусловливает стабильность давления. Получается «порядок в беспорядке»: пове­ дение каждой индивидуальной молекулы случайно, непредсказуе­ мо, но поведение коллектива из громадного числа молекул законо­ мерно. Случайности поведения отдельных молекул приводят к

определенным закономерностям, присущим не отдельным молеку­ лам, а их коллективу.

Стабильность средних значений случайных величин, предска­ зываемая теорией вероятностей, на заре ее развития казалась столь ошеломляющей, что противники теории вероятностей исполь­ зовали эту стабильность как аргумент против теории вероятностей:

2 2 0

ведь должна же все-такн случайность привести к каким-то неста­ бильностям, отклонениям от среднего значения! Однако эти сооб­ ражения лишь подтверждают выводы теории вероятностей. Дей­ ствительно, случайный характер движения молекул приводит, строго говоря, к нестабильности давления газа в разные моменты времени. Но эта нестабильность проявляется в виде случайных отклонений мгновенного давления от его среднего значения. Эти отклонения называются флуктуациями. Случайный характер, бес­ порядочность молекулярного движения проявляется в флуктуа­ циях, случайных отклонениях от устойчивых средних значений дав­ ления и других физических величин, характеризующих поведение коллектива молекул. Теория флуктуаций использует аппарат тео­ рии вероятностей. Один из выводов теории флуктуаций представ­ ляет собой иную формулировку закона больших чисел: чем больше число исследуемых случайных величин, тем меньшими оказыва­ ются их флуктуации и тем отчетливее проявляются статистические закономерности, даваемые теорией вероятностей.

Учащимся интересно будет узнать, что голубой цвет ясного неба обусловлен флуктуациями плотности атмосферы на больших высотах. При малой плотности даже небольшие ее флуктуации приводят к заметной оптической неоднородности атмосферы. Сол­ нечный свет рассеивается на флуктуациях, подобно рассеянию на каплях воды облаков или на частичках табачного дыма. То обстоя­ тельство, что при рассеянии одного и того же солнечного света дым кажется голубоватым, а облака — белыми, связано с различ­ ным рассеянием света на частицах воды и дыма. Капельки воды в облаках пли в тумане рассеивают все длины волн солнечного спектра примерно одинаково. Частицы дыма по размеру во много раз меньше частиц воды и рассеивают разные частоты по закону Рэлея: интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины волны. В этом случае при освещении лу­ чами Солнца в рассеянном частицами свете будет сильнее пред­ ставлена коротковолновая часть солнечного спектра и среда в рас­ сеянном свете будет казаться сине-голубой.

Флуктуации плотности земной атмосферы на больших высотах являются теми «частицами», которые рассеивают свет по закону Рэлея и обусловливают голубой цвет ясного неба.

Если число проявлений случайной величины (число испытаний) невелико, то нельзя применять выводы теории вероятностей:'здесь еще господствует случай с его непредсказуемыми последствиями. Чем меньше число случайных явлений, тем хуже «работает» тео­ рия вероятностей.

§ 3 . 'ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

До спх пор мы иллюстрировали положения теории вероятно­ стей, рассматривая события А и В с одинаковыми вероятностями: w ( A ) = w ( B ) . Такие события называются равновероятными. Во­ обще говоря, разные события обладают различной вероятностью,

221 -