Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

Вследствие равноправия всех осей координат дисперсия распре­ деления должна быть положена одинаковой для всех осей:

СТ.ѵ— О у — О'z— O’.

Однако гауссово распределение не решает поставленной за­ дачи: оно дает вероятность того, что молекула имеет данную про­ екцию скорости (ѵх, или v,j, или ѵг) . Нам же нужно найти вероят­ ность того, что молекула имеет данное значение модуля скорости V. Но иметь данный модуль скорости — это значит прежде всего иметь три заданные проекции скорости. Значит, вероятность dw(v) того, что молекула имеет данный модуль скорости ѵ, — это есть вероятность того, что проекции скорости имеют одновременно опре­

Остается сделать последний шаг: вместо dvxdvydvz ввести бес­ конечно малое изменение модуля скорости dv. Это можно сделать, если ввести обычное для статистической физики, но абстрактное понятие о так называемом фазовом пространстве скоростей.

В обычном трехмерном пространстве положение точки опреде­ ляется тремя координатами, например декартовыми х, у, г. Про­ изведение dx - d y - d z есть объем элементарного, бесконечно малого кубика с бесконечно малыми сторонами dx, dy, dz. Говорят, что ■величина dxdydz есть элемент объема обычного, координатного пространства в декартовой системе координат.

Точки внутри этого элемента имеют координаты, заключенные мслѵду л и x-f-ax, у и угтйу, z и z-j-az, а про сам элемент ооъ-

ема можно сказать, что он расположен в определенном месте про-

2

228

странства, которому соответствуют координаты, равные х, у, z (рис. 59).

Полезно найти величину элементарного объема, все точки ко­ торого будут удалены от начала координат на одно н то же рас­ стояние г, точнее, на расстояние, заключенное в интервале между г и г --j- dr. Очевидно, это будет объем dV, равный разности объ­ емов шаров с радиусами r-\-dr и г (рис. 60):

d V = - ^ n (r-\-dr)'3---- лх3= 4 д г2 dr.

(Величиной 4лrdr- пренебрегаем как бесконечно малой второго порядка по dr.) Объем dV находится по обычному правилу как произведение площади основания на высоту dr, причем основанием является сфера радиуса г. Хотя dxdydz и 4лr2dr представляют собой элементарные, бесконечно малые объемы, фактические их величины не равны друг другу, как величины третьего и первого порядка малости.

В статистической физике, кроме обычного пространства, про­ странства координат, рассматривают еще пространство скоростей (пли импульсов). Координатами точки этого пространства являют­ ся компонента скорости vXl ѵѵ, vz. Произведение dvxdvydvz пред­ ставляет собой элемент объема фазового пространства скоростей, соответствующий определенным «координатам» ѵх, ѵу, vz, т. е.

определенным величине и направлению вектора ѵ.

Распределение (7.7) дает вероятность того, что молекула имеет компоненты скорости, заключенные в пределах о*, ѵх + dux, vu,

Ѵу -(- dvy; vz, vz -|- dvz, т. e. что вектор v скорости молекулы за­ ключен внутри элемента объема dvxdvydvz (рис. 61), имеющего «координаты» vx, ѵу, vz. Другими словами, формула (7.7) дает вероятность того, что молекула имеет заданные величину и направ­ ление скорости. В поставленной же задаче требуется найти ве­ роятность того, что молекула имеет данную величину скорости, направление же скорости мо­ жет быть при этом любым.

Нетрудно понять, что нужно сделать: вместо «ориентиро­ ванного» элемента объема dvxdvydvz нужно взять элемент объема пространства скорос­ тей, соответствующий постоян­ ному значению модуля скоро­ сти и всевозможным его на­ правлениям. Таким является элемент объема, внутри кото­ рого расположены концы век­ торов скорости, модули кото-

229

рых заключены между ѵ и vr[-dv, а направления всевозможные (рис. 62):

сіѴ(и) = 4 я v2dv.

Подставив в (7.7) этот элемент объема пространства скоростей вместо dvxdvydvz, получим математическое решение поставленной задачи:

Это, в сущности, и есть закон Максвелла. Правда, пока неясен смысл коэффициента а. Но и без этого из анализа (7.8) можно по­ лучить важные выводы. Это даже поучительно: не привлекая фи­ зики, силами только математики можно получить результаты, важ­ ные для физики.

Если построить график плотности Q (V ) максвелловского рас­ пределения в функции скорости при определенном значении а, то получится кривая, вид которой приведен на рисунке 63. В проти­ воположность гауссову распределению кривая распределения Макс­

,симума при некоторой скорости и при дальнейшем росте скоро­ сти уменьшается, асимптотически стремясь к нулю. Это значит,

что молекула может иметь любую скорость, как очень малую, так и очень большую, однако вероятности различных скоростей различны. Беспорядок беспорядком, а молекула все-таки одни скорости «предпочитает» другим. При некоторой скорости пв кри­ вая распределения имеет максимум. Эта скорость называется наивероятной скоростью. Наивероятная (или наивероятнейшая) ско­ рость — это скорость, вероятность которой больше, чем любой дру­ гой скорости. Это значит, что если мы наугад «вытащим» моле­ кулу, то более вероятно, что ее скорость будет близка к нанвероятной скорости, чем к любой другой.

230

Вычислим напвероятную скорость. Для этого нужно прежде всего найти производную от плотности распределения п о скорости и приравнять ее нулю:

Производная будет равна нулю, если разность в скобках обра­ тится в нуль; вынеся 2ѵ за скобки, получим, что производная равна

V2

Для исчерпывающего решения поставленной задачи нужно знать, от чего зависит величина а. Это можно установить из физи­ ческих соображений.

Безразмерный показатель степени в (7.8) представляет собой отношение кинетической энергии молекулы к температуре газа:

Абсолютная температура выражается в градусах шкалы Кель­ вина (СІ\)1. Величина Ѳ тоже представляет собой абсолютную тем-

'пературу, но выраженную в энергетических единицах (джоулях в системе СИ). Коэффициент k = 1,38-10-23 дж/град — это постоян­

ная Больцмана.

В современной физике имеется? тенденция выражать темпера­ туру не в градусах Кельвина, а в энергетических единицах, обычно

шейся в октябре 1967 г., вместо названия единицы температуры «градус Кель­

231