Файл: Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей.pdf

Эта энергия идет на увеличение энергии тепловых колебаний ионов относительно узлов решетки, т. е. на повышение температуры про­ водника. Такую энергию передает решетке один электрон при од­ ном столкновении с моном. Чтобы найти количество тепла, выде­ ляемое за единицу времени в единице объема проводника с током, нужно энергию W\ умножить на среднее число столкновений элект-

рона с нонами в секунду Z = — и на число электронов в единице

объема проводника щ\

Коэффициент пропорциональности перед Е2 представляет со­ бой согласно (11.5) удельную проводимость металла а. Следо­ вательно, полученное теоретическим путем соотношение (11.8) со­ впадает с законом Джоуля—-Ленца (11.7). Выведя теоретически закон Ома и закон Джоуля—Ленца двумя независимыми путями, мы получили одинаковые выражения для'проводимости металла. Вывод основных законов электрического тока с единых позиций явился в свое время триумфом классической электронной теории. Однако ее триумф на этом и кончился.

Вскоре обнаружилось, что имеется ряд опытных фактов, объ­ яснить которые классическая теория не могла. Один из таких опытных фактов связан с теплоемкостью металлов.

Как уже указывалось ранее, молярная теплоемкость всех атом­ ных кристаллов одинакова и равна "примерно 6 ккал/кмоль0К (за­ кон Дюлонга и Пти). Это число, найденное сначала из опытных данных, как было ранее показано, может быть легко, получено тео­ ретически для атомных кристаллических диэлектриков, таких, на­ пример, как сера или фосфор. Но именно для диэлектриков, а не для металлов.

Для теплоемкости металлов теория давала не 6, а 9 ккал/кмоль °К, из которых 6 ккал/кмоль °К — это теплоемкость кристаллической решетки в согласии с законом Дюлонга и Пти, а 3 ккал/кмоль °К — это теплоемкость электронного газа в металле. (Кинетическая теория идеальных газов давала для молярной теп­ лоемкости одноатомных газов значение 3 ккал/кмоль°К■) С дру­ гой стороны, опытные данные свидетельствовали о ..том, что ме­ таллы, как и диэлектрики, тоже подчиняются закону Дюлонга и Пти. Выходило, что электронный газ, вопреки теории, совершенно не вносит вклада в теплоемкость. Классическая теория оказалась -бессильной перед этим опытным фактом. Это явилось настоящей

393

катастрофой для классической электронной теории. Под впечатле­ нием ее безысходности создатель -этой теории Г. Л. Лоренц заявил на одном из конгрессов физиков в отчаянии: «Я жалею, что не умер раньше, чем обнаружилась эта .катастрофа».

§ 3. УСТРАНЕНИЕ «КАТАСТРОФЫ» КВАНТОВОЙ ТЕОРИЕЙ

Выход из тупика указала только квантовая механика. Как уже отмечалось в главе 7, электронный газ в металле вплоть до температур в тысячи градусов Кельвина является вырожденным газом. Все энергетические уровни ниже верхней границы — уров­ ня Ферми — заняты электронами. Строго говоря, занятыми ока­ зываются уровни энергии, лежащие вне интервала шириной x k T ниже уровня Ферми. Поэтому электроны, энергии которых лежат вне этого интервала, не могут заимствовать энергию у нагрева­ теля и потому не будут участвовать в создании теплоемкости. Ведь сущность теплоемкости как раз и состоит в способности си­ стемы частиц принимать энергию от внешнего тела — нагрева­

уровню Ферми: каждый из таких электронов может получить от нагревателя энергию порядка kT и перейти на верхний, свободный энергетический уровень. Эти электроны, следовательно, будут уча­ ствовать в создании теплоемкости. Только их немного, примерно 2—3% от общего числа. Поэтому и вклад электронов в теплоем­ кость металла может составлять всего 2—3% (при комнатых тем­ пературах) от 3 -ккал. Опыт прекрасно подтверждает это пред­ сказание теории — небольшое отличие теплоемкости металлов от закона Дюлонга и Пти.

Еще одно затруднение классической теории проводимости ме­ таллов, преодолеть которое смогла тоже только квантовая меха­ ника, состоит в следующем.

Выразив среднее время свободного пробега электрона т через

среднюю длину свободного пробега Я и среднюю тепловую ско­

рость его и:

т= Я /и,

можно формулу (11.5) длй проводимости металла записать в та­ ком виде:

Подставив в эту формулу опытное значение удельной прово­ димости а какого-нибудь металла (важен лишь порядок вели­

чины) и примерные значения п0 и и, получим, что средняя длина

3 9 1

свободного пробега электрона в металле К в сотни (!) раз превы­ шает расстояние между узлами решетки! Это значит, что электрон странным образом проходит без столкновений сотни межузельных

расстояний. Согласно же классической теории X должна иметь тот же порядок величины, что и межузельное расстояние. Выход из этого затруднения был также найден только квантовой механикой.

В квантовой механике движение электрона в металле, как,

.впрочем, и в любой другой среде, а также в вакууме, трактуется как распространение волны де Бройля, связанной с электроном. Электрическое сопротивление обусловлено рассеянием: электрон­ ных волн. Вследствие рассеяния энергия электронных волн умень­ шается по мере увеличения пути волны в металле. Для восполне­ ния энергетических потерь необходимо воздействие на электроны внешнего электрического поля, поддерживаемого работой источ­ ника э. д. с.

Дебройлевские электронные волны, как, впрочем, и любые «обычные» волны, например световые, рассеиваются на наруше­ ниях структуры той среды, в которой они распространяются. Рас­ смотрим с физической точки зрения понятия прозрачной и мутной среды. Прозрачная среда, например чистая вода или стекло, — это такая среда, которая не рассеивает распространяющийся в ней свет: если мы посмотрим на луч света, идущий в прозрачной среде, сбоку, то мы луча не увидим. Световые лучи сами по себе неви­ димы! Чтобы луч увидеть, нужно среду замутить, т. е. поместить в нее большое число мелких частиц постороннего вещества. Отра­ жение света от границ раздела «своей» среды и «чужих» частиц, происходящее многократно по разным направлениям и представ­ ляет собой явление рассеяния света мутной средой. Оно приводит к уменьшению интенсивности волны по мере увеличения ее пути в среде. Напомним, что интенсивность волны — это величина, рав­ ная энергии, переносимой волной за единицу времени через еди­ ничную площадку, перпендикулярную потоку энергии. «Чужая» среда для света — это среда с другим показателем преломления. Можно высказать общее важное утверждение: свет отражается от границы раздела двух сред с разными показателями преломления, или, коротко, свет отражается от скачка показателя преломления. Для отражения важен именно скачок показателя преломления. При плавном же изменении показателя преломления в среде про­ исходит не отражение, а искривление светового луча. Примером может служить так называемая горизонтальная атмосферная ре­ фракция — искривление световых лучей, идущих от заходящего Солнца, вследствие изменения показателя преломления атмосфер­ ного воздуха с высотой, обусловленного изменением плотности ат­ мосферы с высотой по барометрическому закону.

Рассеяние световой волны средой происходит на нарушениях ее однородной структуры: капельки воды в тумане или шарики жира в молоке представляют собой нарушения однородности ос­ новной среды — воздуха и воды. Благодаря рассеянию света на

395

этих капельках п шариках мы, собственно, и «видим» туман или молоко. Напомним, что иесамосветящиеся тела мы видим только потому, что они отражают зеркально или рассеивают (как гово­ рят, отражают диффузно) падающий на них свет от постороннего источника (Солнца или лампы).

Возвращаясь к рассеянию электронных волн в металле, по­ ставим вопрос: на чем они рассеиваются, на каких неоднороднос­ тях структуры металла? Казалось бы, ответ ясен: на ионах, колеб­ лющихся около узлов решетки. Однако это поспешное заключе­ ние: ведь в прозрачной воде световая волна тоже «сталкивается» с молекулами воды, однако не рассеивается. Дискретная, атомар­ ная структура вещества сама по себе не является причиной рас­ сеяния распространяющихся в нем волн. После этого замечания не будет казаться ошеломляющим следующий вывод квантовой меха­ ники: если бы правильность периодической структуры кристалла

электрическим сопротивлением при любой температуре. Наруше­ ние строгой периодичности структуры обусловлено тепловыми ко­ лебаниями частиц кристалла, так что согласно квантовой механике при Т — 0° К. сопротивление всех металлов должно равняться нулю. Собственно, такой же вывод может быть сделан и на основе фор­ мулы (11.5') классической теории: при 7 = 0 тепловая скорость й равна нулю и, следовательно, проводимость металлов бесконечна. Превосходство квантовой теории электрического сопротивления ме­ таллов перед классической в количественном отношении, не говоря о более правильной, современной трактовке самого явления, со­ стоит прежде всего в разрешении трудности, связанной с чрезмерно большой длиной свободного пробега электрона.

Квантовая теория электрического сопротивления приводит к следующей формуле удельной проводимости металла, внешне по­

Однако физический смысл входящих в эту формулу величин nF и XF и н о й , чем в формуле (11.5'). Величина uF — это скорость электрона, при которой его кинетическая'энергия равна энергии на

пробега электронной волны на уровне Ферми). Из изложенного ясно, что XF не связана непосредственно с межузельным расстоя­ нием и может во много раз превышать его. Наконец, квантовая теория разрешила затруднение классической теории, связанное с температурной зависимостью сопротивления металлов.

Поскольку X не зависит от температуры, а из соотношения

396

следует, что и ~ л/Т, то формула (11.5') проводимости металлов позволяет сделать вывод, что

о ~ І/УТ.

Опыт же свидетельствует о том, что

<т ~ 1 /Т,

а удельное сопротивление металлов пропорционально абсолютной

температуре ( д = — —■У ), а не квадратному корню из абсолют­

ной температуры.

Но именно такой результат дает квантовая теория. Величина %р обратно пропорциональна абсолютной температуре, а величина

Строго говоря, закон Q ~ Т выполняется при обычных комнатных температурах и более высоких. При низких же температурах, в области абсолютного нуля, температурная зависимость удельного сопротивления характеризуется законом е ~ Т5. Этот результат квантовой теории проводимости также подтверждается опытом.

/

§ 4. ПОНЯТИЕ О ЗОННОЙ ТЕОРИИ ПРОВОДИМОСТИ КРИСТАЛЛОВ

Кристалл представляет собой совокупность, систему атомов или молекул. Согласно квантовой механике энергия каждого уеди­ ненного атома квантуется, т. е. может принимать только дискрет­ ный ряд значений, достаточно далеко удаленных друг от друга. При объединении же атомов в кристалл взаимодействие атомов приводит к тому, что каждый уровень энергии изолированного атома расщепляется на N подуровней, число которых равно числу атомов в единице объема кристалла. Совокупность N подуровней образует, как говорят, разрешенную энергетическую зону. У кри­ сталла зон много — столько же, сколько дозволенных уровней у изолированного атома. Оценим энергетическое расстояние между соседними подуровнями.

Для ориентировочной оценки можно принять, что расстояние между соседними уровнями энергии изолированного атома равно по порядку величины 1 эв. Примерно такой же является и ширина энергетической зоны кристалла. Число подуровней в зоне, равное числу атомов в кристаллическом образце, по порядку величины такое же, как и число атомов в единице объема кристалла, т. е. ІО22 1 /см5 (считаем, что объем образца по порядку величины равен 1 см3). Следовательно, получим, что расстояние между соседними

397