§ 9.7] |
ПРИМЕРЫ О П РЕДЕЛЕН И Я СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ |
517 |
вместе с акселерометром А относительно плоскости горизонта. Вследствие этого на суммирующее устройство СУХ поступает составляющая —g0ß ускорения силы тяготения. В результате акселерометр А фиксирует кажущееся ускорение —g0ß |см. (183)]. Fin основании сказанного
V |
_± L + e |
Р = К — ßu — ^ + S — ~R R R ^ ’ |
T. e. мы получили выражение (191).
Этапы составления алгоритма фильтра Калмана состоят в сле дующем. 1) Выбрать параметры состояния, которые описывают систему в целом. 2) Составить динамические уравнения, описы вающие эти переменные. 3) Вывести уравнения, связывающие измерения с параметрами состояния. 4) Найти линеаризованные уравнения, описывающие погрешности системы. 5) Если можно предположить, что линейные аппроксимации ошибок удовлетво рительны и что все сигналы и начальные условия имеют гауссовы распределения, то имеются основания для использования урав нений алгоритма фильтра Калмана.
Чтобы воспользоваться в дальнейшем методом оптимальной фильтрации Калмана, приведем уравнение ошибок системы к кано
нической |
форме. Учитывая |
вид |
(182) корреляционной функции |
Ке(^), можно заметить, что уход |
е (t) |
|
|
является |
решением линейного диф |
т ) 0- |
|
ференциального уравнения |
|
|
e f t ) |
|
é = —jie + W^t), |
(9.192) |
|
|
где W (t) — так называемый порож дающий белый шум, корреляцион ная функция которого может быть записана следующим образом:
— _ / _ г
Рис. 9.10. Схема формирую щего фильтра.
М [ W(t) W (x)J = 2ца2§ (t — т). (9.193)
Заметим, что уравнению (192) соответствует формирующий фильтр, показанный на рис. 9.10. По аналогии с (54) и принимая во внима
ние, что fc = const, система уравнений (189), |
(191), (192) может |
быть записана в канонической форме |
|
m & = F ( t ) X ( t ) + U ( t ) , |
(9.194) |
при этом для вектора состояния X (t) имеем вектор-столбец |
X(t) = |
ъ |
(9.195) |
518 ВЫ БОР ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ [ГЛ. 9
Матрица рассматриваемой системы F (t) имеет вид
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
F(t): |
0 |
0 |
—go |
0 |
(9.196) |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
—f* |
|
Вектор помех U (t) имеет случайную природу; корреляцион ные функции его компонент имеют вид
M[U.(t)Ul (*)] = qJl(t)?i(t— z) |
|
|
(і, 1 = |
1 , 2 , . . . , 4 ) , |
(9.197) |
где матрица коэффициентов |
(і) обозначается через Q (t) |
|
С (*)=!</,/(*)А- |
|
(9-198) |
При этом матрица Q (t) имеет |
вид |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
Q(t)— |
0 |
0 |
0 |
0 |
• |
(9.199) |
0 |
0 |
0 |
00 |
|
0 |
00 0 22ра22 |
|
|
Начальная корреляционная матрица ошибки оценки |
|
P(t о) = »Ру,(*о)!, |
|
(9.200) |
где |
|
|
|
|
|
|
py,(f0) = M<xy( g x , ( g } |
|
|
(/, г = і, |
2, .... 4) |
(Э.гоі) |
имеет только ненулевые диагональные элементы.
Как было указано в условии примера, на объекте имеется другая навигационная система Лоран, дающая в дискретные моменты времени t1: t2, , tk измерения координат объекта, независимые от работы автономной ИНС. Таким образом, срав нение двух указанных источников определения координат объекта
тождественно наблюдению, вектор |
которого Z(t), |
по аналогии со |
второй формулой (61), определяется выражением |
|
Z ( t k) = H ( t k) X ( t k) + V ( t k). |
(9.202) |
Здесь матрица Н (tk) имеет вид |
|
|
Я (У = |1 |
0 0 0||. |
(9.203) |
Вектор V (t) представляет собой погрешность измерений коорди нат объекта системой Лоран, причем
М (V (tkf 1- R (tk) = (1000 Mf . |
(9.204) |
При наличии рассматриваемой комбинированной навигационной системы имеется возможность оптимальным образом использовать
§ 9.7] ПРИМ ЕРЫ ОП РЕДЕЛЕН И Я СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ 519
всю имеющуюся информацию. Использование алгоритма фильтра
Калмана позволяет получить оценку X(t) погрешностей коорди нат,^»определяемых комбинированной^ навигационной^ системой.
Рис. 9.11. Принципиальная схема оптимальной ком бинированной навигационной системы.
Корректируя показания автономной ИНС с помощью поправов
X(t), получают наилучшую оценку параметров, вырабатываемых комбинированной навигационной системой. Рассмотренный прин цип работы схематически показан на рис. 9.11. Алгоритм фильтра Калмана для дискретного случая был реализован на универсальной вычислительной машине *) с помощью классического метода Рунге—Кутта. Так как нами рассматривался ранее непрерывный фильтр Калмана, в связи с решаемой задачей следует привести алгоритм этого фильтра для дискретного случая. Линейная не стационарная дискретная динамическая система может быть за писана в виде системы векторных разностных уравнений
х (tM ) = |
ф (tk+v У X ( t k) + г ( у и (У, |
Z(tk) = |
H(tk) X ( t k) + V (t k), |
где X (tk)—и-мерный вектор состояния системы; TJ (tk) — г-мерный вектор, представляющий собой сигнал на входе системы; Z(tk) — иг-мерный вектор, который характеризует собой'выходной сигнал; Ф (tk) — матрица размерности [nX^] перехода состояний; Г (tk) — матрица размерности [п У г ] входных сигналов; Н (tk) —матрица
размерности |
[нгХУ выходных сигналов; 'V ( У — вектор "ошибок |
измерений. |
К* |
! |
Матрица Q (tk) коэффициентов корреляционных функций компо нент вектора U(tk) определяется выражением (199). Аналогичным образом погрешность V (tk) измерений координат объекта характе
ризуется |
дисперсией R (tk) [см. (204)]. При этом векторы U(tk) |
и V ( у |
являются случайными гауссовыми последовательностями |
*) См. подстрочное примечание на стр. 514,
5 2 0 ВЫ БОР ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ [ГЛ. 9
типа белого шума. Корреляционная матрица Р (t0) ошибок |
оценки |
в момент £0= 0 определяется выражением (200). Входящая |
в (205) |
матрица Ф (tk+1, tk) является переходной матрицей для системы уравнений (205); она выражается через матрицу F (t) непрерывной динамической системы (61) и удовлетворяет дифференциальному уравнению
= |
|
при Ф(0) = /. |
(9.206) |
Решение уравнения (206) Ф (if) | ыит= Ф (£fc+1, tk), |
где Т — период |
дискретности. Входящая в (205) |
матрица Г (tk) определяется через |
матрицу Ф(£) и матрицу |
G (t) |
непрерывной системы [см. (61)] |
следующим выражением: |
|
|
|
Г(**)= |
\ ® ( h +v X) G (X) dx. |
(9.207) |
Уравнения состояния рассматриваемой комбинированной ИНС, учитывая (194), (202) и (205), можно записать в виде
|
-“^"(^fc+l) ----® |
tie) -Я-(tie) |
TT(tk), |
(9.208) |
|
Z(tk) = H(tk) X ( t k) + V(tk). |
|
|
Ставится задача на основании заданной последовательности на блюденных значений Z(t0), Z ( t х), . . . , Z(tk) найти наилучшую оценку X (tk+i/tk) вектора состояния X (£fc+1), чтобы при этом ошибка определения оценки достигала минимума в смысле среднего квад ратического. По аналогии с непрерывным фильтром, устройство для получения оптимальной оценки можно рассматривать как линейный фильтр, на вход которого поступает последовательность значений реальных наблюденных величин Z (f0), Z ( t х), . . ., Z(tk). Этот фильтр рассматривается с точки зрения теории переходных состояний, т. е. вычисление оценок представляет собою процесс, протекающий в реальном масштабе времени при использовании только прежней оценки и последовательных значений наблюдае мых величин в какой-либо момент времени. В предположении, что в момент к-то наблюдения была вычислена оценка на основании (к—1 )-го (т.е. предыдущего) наблюдения, выводится, что уточненная оценка к к-щ моменту по результатам к наблюдений, должна представлять собой линейное выражение вида *)
Jt (к/к) = È (к/к — 1) + К (к) [ Z (к) — Н (к) X (к/к — 1)], (9.209)
*) В дальнейшем для упрощения вместо tk, г,.+1, . . . будем писать к, fc-j-1 и т. д.
5 9. 7 ] |
ПРИМЕРЫ ОП РЕДЕЛЕН И Я |
СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ |
521 |
где |
X (кік— 1)=:ф(/с, к — |
— Мк — 1). При этом весовая |
матрица К (к) фильтра определяется соотношением |
|
К {к) = Р {кік — 1) Н' {к) [Н {к) Р (Щ — 1) Я ' (к) + Я {к)у\ |
(9.210) |
Для корреляционной матрицы ошибки оценки имеем выражение
Р (к/к) = Р (к/к — 1) — К (к) II (к) Р (к/к — 1). |
(9.211) |
Соотношения (209)—(211) представляют собой дискретный алго
ритм фильтра Калмана. |
м |
Он был использован для |
моделирования фильтра |
|
на универсальной |
вы |
|
числительной |
машине. |
|
Определенная |
при |
этом |
|
корреляционная матри |
|
ца Р (к) применялась для |
|
оценки точности |
опти |
|
мальной навигационной |
|
системы. При рассматри |
|
ваемой коррекции ИНС |
|
по координате было до |
|
стигнуто улучшение ха |
Рис. 9.12. Средние квадратические значения |
рактеристик ИНС как по |
ошибок в определении навигационной систе |
положению, так и по |
мой пути объекта. |
скорости. На |
рис. 9.12 |
|
в качестве примера показаны кривые средних квадратических
ошибок в определении навигационной системой пути |
объекта: |
без коррекции (1), с коррекцией, |
включаемой через 1 час; (2), с |
коррекцией, включаемой через |
21 мин (3). Основная |
ошибка |
из-за влияния дрейфа гироскопа — уменьшается приблизительно в два раза по отношению к своему начальному значению.
Иногда применяют упрощенную коррекцию ИНС, при кото рой коррекция осуществляется лишь в отношении координат объекта. Вычисления, связанные с использованием подобного метода, являются более простыми, чем в случае оптимальной коррекции (т. е. по скорости и по координатам), при этом упрощен ная система в два раза хуже, чем оптимальная. Таким образом, из приведенного примера следует, что использование фильтра Калмана при совместной обработке данных автономной ИНС и дискретной коррекции положения объекта от другой навигаци онной системы позволяет существенно повысить точность навига ционного комплекса.
34 л. А . С в е ш н и к о в , С. С. Р и в к и н
