Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 204

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5 0 8

В Ы Б О Р О П Т И М А Л Ь Н Ы Х С Х Е М И П А Р А М Е Т Р О В Г У

[ Г Л . 9

времени наблюдения уменьшается. Если С1 и Т заданы на осно­ вании требований к работе системы, то выражение (152) дает минимально возможное значение дисперсии случайной составляю­ щей погрешности. Величина Сх обычно может быть определена, если известна допустимая погрешность воспроизведения заданной функции времени и наибольшее значение gmas первой производной этой функции, с которыми приходится считаться на практике, так как

(9.153)

где 8Д0И— допустимая скоростная погрешность.

Вслучае, если Сг и Т не даны, то на основании выражения

(152)можно определить их значения, исходя из требуемой точно­ сти системы.

Выражение для оптимальной передаточной функции L(s) в виде (147), очевидно, не может быть реализовано в линейной системе из-за наличия членов e~sT. Реальная система может только приближаться к оптимальной. Критерии приближения для различных систем"^могут быть разными. В [36] приводится

замена выражения е~аТ с помощью

дробно-рациональной функ­

ции Паде таким образом, чтобы

аппроксимирующее

выраже­

ние приближалось к величине е~аТ.

При этом допускаются неко­

торые фазовые погрешности, но при значении их в

несколько

градусов в полосе существенных частот системы неточностью аппроксимации можно пренебречь, поскольку случайная состав­ ляющая в полезном сигнале отсутствует, дисперсии же оптималь­ ной и квазиоптимальной систем совпадают. При большом числе членов аппроксимирующей функции квазиоптимальная система приближается к оптимальной, однако порядок ее передаточной функции при этом также возрастает и реализация такой системы затрудняется. В то же время, как это было отмечено А. Ю. Ишлинским, можно динамические свойства системы высокого порядка приближенно охарактеризовать с помощью эквивалентной си­ стемы третьего или даже второго порядка. Поэтому можно с до­

статочной точностью

принять [36]

 

(9.154)

 

1 + 2 s + 1 0 s 2 + 1 2 0 я3

Выражение (147)

с учетом (154) примет вид

(9.155)

§ 9.7] ПРИМ ЕРЫ ОП РЕДЕЛЕН И Я СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ 509

откуда передаточная функция разомкнутой квазиоптимальной

системы может быть

записана

в

виде

 

 

 

W (s)

L ( S)

1 6 0 s2 +

( т - * 0

S + 1

(9.156)

— L(s) ~~~ Су

( Тз

Г2

\*

1

 

U 2 0 6 ’/ 2 + 1 2 C / + V

соответствующем следящей системе с астатизмом первого порядка и добротностью по скорости

*. = £ .

(9-157)

Передаточную функцию TT(s) можно представить в виде (рис. 9.6)

W(S) = W0 (S)n /K(s),

(9.158)

где H^s) — передаточная функция неизменяемой части системы,

Ш) <7>—~ WJs)

Wn(s)

Z(t)

Рис. 9.6. К определению передаточной функции корректиующего устройства гироскопической следящей системы.

представленной гироскопом; WK(s) — передаточная функция цепи коррекции, когда выходной величиной является момент кор­ рекции.

На основании прецессионной теории гироскопа можно записать

 

^ о ( * ) = ш »

 

 

(9-159)

где Н — кинетический момент г и р о с к о п а Ѵ*

 

Тогда передаточная функция

цепи

коррекции примет вид

 

Т 2

/ Т

\

 

W M -

Н 60 s2 + ( 2 — С і) s + 1

(9.160)

Wo(s)'

2

 

fi

 

т

 

 

 

 

120С1

+ Ш і S + 1

 

Здесь коэффициент усиления цепи коррекции по моменту S=HIC1. Заметим, что пропорциональная коррекция не обеспечивает оптимальной точности ГСС при любых значениях S. Для сглажи­ вания помехи типа белого шума в цепь коррекции необходимо включить динамическое корректирующее устройство с переда­ точной функцией PFK(s). Выражение (160) представим в виде

ьр /<л

В

{ Т ',\S +

1) ( r 4s +

1)

(9.161)

а

Сд

(?> +

1 )(7 у +

1) >

 

510 ВЫ БОР ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ [ГЛ. 9

т

т 1

т

т 1

1 1 ~ 5 1 — Е ’

2 ~ 5 1 + Е •

1 3

Г2

1

гг

TZ

1

(9.162)

30

 

•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е

= | / і - 4, 8

F = V & - ^ ) ' - T ,

(9.163)

 

 

 

т. е. корректирующее устройство должно включать в свой состав два апериодических и два форсирующих звена. Реализация такой системы принципиальных трудностей не представляет. Например,

при С1 =0,3 сек и 7’=30 сек

w ( Л— Н

(1 2 »+ !)(» + !)

(9.164)

К\Ъ) — 0)3

(247s + 1) (3s + 1) ’

 

т. е. система практически может быть осуществлена.

Пример 9.4. Пользуясь методом фильтрации Калмана, найти оптимальные оценки составляющих 8^, 8 вектора малого

поворота 8 выставляемой платформы относительно базовой, если координатная система 0 £т£, связанная с базовой платформой, ориентирована так, что ее оси (при отсутствии ошибок ориентации) направлены соответственно на восток, на север и по вертикали (см. рис. 3.23), а для начальной выставки платформы использу­ ется сравнение показаний двух пар акселерометров, расположен­ ных на базовой и выставляемой платформах и ориентированных (при отсутствии ошибок) таким образом, что их оси чувствитель­ ности совпадают с осями и Orj*).

Д а н о : акселерометры измеряют компоненты кажущегося уско­ рения объекта с ошибками Ь , Ьщ, обусловленными смещением

нулей; выставляемая платформа имеет уход, составляющие угло­ вой скорости которого е^, е , ес; измерение разностей показаний

скоростей, найденных по

данным

акселерометров,

производится

с ошибками Ѵ1 и

Ѵ2.

Предполагается,

что

b^,

b^, е5, e^, ef —

независимые нормальные случайные процессы

типа белого шума;

Ѵх и

Ѵ2 — независимые гауссовские

белые шумы измерений.

Р е ш е н и е .

Примем

за основу

решение

подобной задачи,

данное А. Сатерлендом **).

 

 

 

 

 

*)

См. А. Л и п т о н,

Выставка

инерциальных

систем на подвижном

основании, «Наука», 1971.

А.,

The Kalman

Filter

in Transfer Alignment

**)

S u t h e r l a n d

of Inertial Guidance System, Journal Spacecraft and Rockets, vol. 6, № 11, 1968. См. также Дополнение к книге А. Липтона, написанное Л. Г. Клибановым и В. Л. Леонидовым,

§ 9.7]

ПРИМ ЕРЫ ОП РЕДЕЛЕН И Я СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ

511

Обозначим значения горизонтальных составляющих кажуще­ гося ускорения вдоль осей 04 и Отщереза^и а^. Малому повороту

выставляемой платформы относительно базовой соответствует кососимметричная матрица

0

к

 

-h

0

(9 .1 6 5 )

\- C o!

Тогда восточная и северная разности АѵЕ и AvN показаний аксе­ лерометров по осям 0 ^ и Or] соответственно определяются урав­ нениями [см. (165)]

Аѵе = —aß', - f gb^ + bv

( 9 .1 6 6 )

A v n = a £8{ — g \ + b n,

где g — ускорение силы тяжести.

Для угловых скоростей взаимного рассогласования двух платформ имеем очевидные формулы

 

 

•

 

аі/ \т

 

— ш8

-4- е,,

 

 

 

 

 

В» = ■ ---- - — I—to S

 

 

 

 

 

«

 

 

R

‘

Vс

t

ч т

£’

 

 

 

 

 

8 =

R

— со,8 -I- си 8е -4- s

’1

 

 

( 9 .1 6 7 )

 

 

П

 

 

«

С~

С?

'

 

 

 

 

 

 

= I T

 

*Р + ше8 ч — “ Л + е с>

 

 

 

где

<р— географическая

широта

места;

R — радиус Земли;

ш ,

«о ,

со— составляющие переносной угловой скорости осей 0 £ , обу­

словленной вращением объекта и собственным движением

объекта

относительно Земли; e^, s^,

 

— угловые скорости ухода выс­

тавляемой

платформы из-за погрешностей гироскопов.

 

 

 

Составляющие со

 

 

со определяются известными формулами [53]

о>е= —

% =

 

if +

U cos

cuc = ^ t g < p + f/sin <p,

(9 .1 6 8 )

где ve, vn — восточная и

северная составляющие

скорости

объ­

екта относительно

Земли;

U — угловая

скорость

суточного

вра­

щения Земли.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для использования формул метода Калмана приведенные

выше выражения должны быть записаны в виде уравнений

 

 

 

^

 

=

F (t)X(t) + G

( t ) U

( t ) , 1

 

(9.169)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z{t) = H{ t ) X ( t ) + V { t ) ,

]

512 В Ы БО Р ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМ И ПАРАМЕТРОВ ГУ [ГЛ. 9

где в нашем случае вектор-столбец

состояния X(t) определяется

равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hvE

 

 

 

X( t)

Д VN

 

(9.170)

 

 

 

 

Матрица G (t) — единичная

 

 

 

 

 

 

 

G =

I.

 

 

 

Вектор-столбец помех

U (t)

определяется выражением

 

 

 

 

Ьг

 

 

 

 

U(t) =

 

 

 

(9.171)

Матрица системы F(t)

в данной

задаче

имеет вид

 

 

0

0

0

е

— 1

 

 

0

0

— g

0

а.

 

 

 

1

 

 

 

 

т =

0 -

7Г

0

— “ С

(9.172)

“

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

0

“ С

0

- с о ,

 

 

 

 

 

 

 

t g c p

 

 

 

 

 

 

R

0

“ ч

 

0

 

 

-

 

 

 

Матрица Н (t) вектора измерений может быть записана следующим образом:

*(*>= J! 2

2 21-

<9-173)

а вектор V (t) помех измерений имеет

вид

 

V(t)= Fl

 

(9.174)

Для дальнейшего решения задачи|следует использовать вероят­ ностные характеристики ошибок b^, из-за смещения нулей

акселерометров и е$, е^, е? из-за ухода платформы, а также помех

измерений Fx и Ѵ2, которые были указаны в условии рассматривае­ мой задачи. В методе Калмана корреляционные функции компо­ нент вектора помех U (t), по аналогии с (55), можно записать в виде

=<?„(*)& (*-*)

(/, г = 1, 2, .... 5), (9.175)

Смотрите также файлы