Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 198
Скачиваний: 1
§ 1.1] Т Е О Р И Я В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й 13
где через Ф (х) обозначена интегральная функция |
Лапласа, |
опре |
||
деляемая равенством |
X |
£2 |
|
|
|
|
|
||
Ф (X) = |
j* е |
2 dt, |
(1.21) |
|
|
о |
|
|
|
таблицы которой можно найти в ряде работ (см., |
например, |
I11], |
||
[83]). Нормальный закон полностью определяется двумя момен тами: математическим ожиданием и дисперсией. Все моменты для этого закона существуют, причем все центральные моменты нечет ного порядка равны нулю, а четного порядка выражаются через дисперсию.
Совокупность случайных величин или, как говорят в теории вероятностей, система случайных величин может быть охарак
теризована |
функцией |
распределения (например, |
F (х , у, z) = |
|
-=Р {X И х, |
У <С у, |
Z <С z} — для системы случайных величин |
||
X, Y, Z) |
или многомерной полотностью вероятности (/ (х, у, z) = |
|||
=<d3F (X, |
у, |
z)/dx ду dz — в данном примере). |
вероятности |
|
Для независимых |
случайных величин плотность |
|||
системы распадается на произведение плотностей вероятностей
отдельных случайных величин. Например, если X, Y, |
Z — не |
зависимы, то |
|
f(x, у, Z) = f(x)f(y)f(z). |
(1.22) |
Если значение одной или нескольких случайных величин, вхо дящих в систему, закрепить, то плотность вероятности оставшейся подсистемы случайных величин (условная плотность вероятности), например для системы двух случайных величин, определится формулой
/ ( * Ы = % Г ’ |
(1-23) |
где / (х I у) — условная плотность вероятности случайной вели чины X при фиксированном У; / (у) — плотность вероятности У, связанная с двумерной плотностью вероятности / (х, у) формулой
СО |
|
f { y ) = \ fH , y)dx. |
(1.24) |
— СО
Понятие моментов случайных величин сохраняется и примени тельно к системе величин. Наиболее важными для приложений являются первые и вторые моменты. Первые начальные моменты (математические ожидания) систем случайных величин Ху, Х 2, ■■■
. . Х п в соответствии с (16) определяются формулой
СО |
СО |
xj = $ xjf (xj) dxj = j |
j Xjf(xv x2, . .., xn) dxxdx2 . . . dxn, (1.25) |
— CO |
— CO |
14 |
|
О С Н О В Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы |
[ГЛ. 1 |
а |
вторые |
центральные моменты (дисперсии), в соответствии |
|
с |
(17), — формулой |
|
|
|
СО |
|
|
|
~ 5 {X J |
f (x j) dx j = |
|
|
— СО |
со |
|
|
|
|
|
|
= $ |
• • • \ {Xj — Xj f f { xv х2, . . .,хп) dxxdx2 . . . dxn. |
(1.26) |
— СО
Кроме математических ожиданий и дисперсий для систем слу чайных величин весьма важными характеристиками являются кор реляционные моменты кх .Х[, определяемые формулой
kXjXl=.kJl = М [(Xj — Xj) (Xl — xt)} =
СО
= Jj (Xj — Xj) ( xt — x {) f (Xj, Xl) d X j d x t =
—■•Со
CO
= J • • • $ (Xj — Xj) (X , — Xi)f(xlt x2, . .., xn) dxxdx2 . . . dxn. (1.27)
— CO
При l = j формула (27) совпадает с (26) и, следовательно, kXjXj — = kjj = D [X .|. Совокупность корреляционных моментов называется корреляционной матрицей.
Закон распределения нормальной системы случайных величин полностью определяется их математическими ожиданиями и корре ляционной матрицей. Плотность вероятности нормальной системы
случайных величин Х х, |
Х 2, . |
. ., |
Х п имеет вид |
/ (Х\, х2, . . ., хп) -- |
|
|
|
1 |
1 |
|
A j l (Xj — X j ) ( x l — x l)\, (1.28) |
' (2ті)я/2 ѵ'д exp |
2Д |
^ |
j, i=i
где Д — определитель, элементами которого являются элементы корреляционной матрицы kjlt т. е.
* и |
*12 |
• |
• |
*1я |
|
д = *21 |
*22 |
• |
• |
*2я |
(1.29) |
*ЯІ |
*я2 |
• |
• |
*яя |
|
а A j t •— алгебраическое дополнение элемента kjt этого опре делителя.
Кроме функции распределения или плотности вероятности закон распределения случайных величин полностью определяется их характеристической функцией.
§ 1.1] |
Т Е О Р И Я В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й |
15 |
Характеристической функцией Е (и) одной случайной вели чины X называется математическое ожидание е'иХ, т. е.
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
Е (и) = |
М [е,мХ] = |
^ |
eiuxf (X) dx, |
(1.30) |
||
где и — вещественная |
переменная. |
|
|
харак |
|||
Аналогичным образом для систем п случайных величин |
|||||||
теристическая |
функция Е (ult |
щ, . |
. |
.,1и„) будет |
|
||
Е{иѵ н2, |
|
і 2 |
ujXj |
|
|
|
|
е J - 1 |
|
|
|
|
|||
S |
г 2 |
uj xj |
|
|
|
|
|
- e i |
|
/( * i. |
Ха, |
|
xn) dxxdx2 .. . dxn. |
(1.31) |
|
Между плотностью вероятности и характеристической функцией существует однозначное соответствие. Так, для одной случайной величины имеем
СО |
|
$ e~iuxE(n)du. |
(1-32) |
— СО
Для системы п случайных величин
/ (^ij |
• >Хп)--- |
|
|
СО |
*' 2 uJxj |
|
|
|
|
|
і—1 Е (н 1; и ,, . ,,u^dux . . . dun. (1.33) |
|
— СО |
|
Для нормальных случайных величин характеристические функции имеют вид
Е[(и) = exp I — у а|ц2 + iuz^ , |
|
|
П |
П |
(1.34) |
— у 2 |
kjlujul + i S |
ujxj |
1 j, 1=1 |
i=1 |
|
Моменты случайной величины (если они существуют) могут быть получены путем дифференцирования характеристической функции Е (и) по формулам
1 dJ'E(u) |
Р , = J _ Ü [е~іихЕ (и)] ||(=„. |
(1.35) |
т ; |
||
ди* м-0 |
U дці |
|
16 |
О С Н О В Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы |
[ГЛ . 1 |
Аналогичные формулы существуют и для системы случайных величин. Например, корреляционный момент к}^ может быть вы числен по формуле
К г |
д* |
[e-iujXj-iuixiE (р,ѵ щ |
яя)]|Мі=%=...=Ив=о. |
(1.36) |
|
dujdui |
|||||
|
|
|
Математическое ожидание и дисперсия линейной функции Z случайных величин X и Y,
Z = aX + bY + c, |
(1.37) |
|
вычисляются по формулам |
|
|
z — ах + by + |
с, |
(1.38) |
D [Z] = аЮ [X] + |
fe2D [Y] + 2abkxy. |
(1.39) |
Последние формулы имеют очевидное обобщение на линейные функции любого числа случайных величин.
Моменты случайной величины Z, являющейся полиномом более высокой степени, чем первой от заданной системы случайных вели чин, просто вычисляются только для нормальных величин. На пример, если Z = X 1 X 2, то, используя (34) для системы Х г, Х 2, получим
D [ZJ = D т |
D [Х2] + |
к\2+ |
**D [Х2] + |
x*D [XJ + |
2хЛ к12. |
|
(1.40) |
|||
Аналогичным образом для четырех нормальных |
величин |
имеем |
||||||||
М (AjAg-Xg-X^) = k lJc3i -f- к13к^ -)- кгік23 -f- k12x3xi -j- к13х^4 -|- |
|
|
||||||||
-j- k^x^x^ -j- k2 3 x ^ 4 |
к2 іхгх3 -f- к.мхгх 2 -|- x^x2 X^X4 . |
(1.41) |
||||||||
Плотность вероятности |
суммы случайных |
величин Z = Х |
Y |
|||||||
определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
СО |
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
f A z) = \ |
f(z — y> |
y)dy — |
$ |
f (х, |
z — X) dx |
(1.42) |
||||
или для независимых |
величин |
|
|
|
|
|
|
|||
|
00 |
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
/,(*) = |
J f A z — y)fy(y)dy = |
5 |
f A x)fy(z — x) dx- |
(143) |
||||||
|
— со |
|
|
— со |
|
|
|
|
|
|
Для случайной величины X, закон распределения которой отличается от нормального, часто с успехом может быть исполь зовано разложение плотности вероятности / (х) по производным от плотности вероятности нормального закона распределения
