Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 201
Скачиваний: 1
§ 1.1] Т Е О Р И Я В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й 17
<Р(Ф |
-е 2, определяемое |
формулой (ряд Шарлье) |
|
|
Ѵ2п |
|
|
|
+ ^ |
E x T- ( i z i ) + . . . } , |
(1.44) |
где «асимметрия» Sk и «эксцесс» Ех закона распределения выра жаются соотношениями
Sk |
и (#) |
Ех: іЛх |
3. |
(1.45) |
ГЗ |
Кроме нормального закона распределения в приложениях часто встречается закон равномерного распределения непрерывной случайной величины (иногда его называют «законом равной ве роятности») и закон Пуассона для целочисленной дискретной ве личины.
Плотность вероятности / (х) для равномерного закона распре деления случайной величины X определяется формулой
/(* ) = ( |
21 |
\ |
О, |
если |
\ х -- X I ^ /, |
если |
(1.46) |
\ х — г | > / . |
Дисперсия закона равномерного распределения определяется фор мулой
D [X ] = - ^ 2. |
(1.47) |
Для закона Пуассона целочисленной случайной величины X спра ведливы формулы
: Р {X = т) = ^ |
(m = 0 , 1, 2, ...) . |
(1.48) |
Дисперсия закона Пуассона равна его математическому ожиданию
D [ X \= x . |
(1.49) |
При рассмотрении системы случайных величин вводят понятие условного математического ожидания и условной дисперсии, т. е. математического ожидания и дисперсии одной случайной величины при закрепленном значении других случайных величин, входящих в систему. Для системы двух случайных величин
2 А. А. Свешников, С. С. Ривгаш |
1 НАУЧНО-ТЁХНИЧЕСКУ |
|
БИБЛИОТЕКА соср |
18 О С Н О В Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы [ГЛ. і
математическое ожидание и условная дисперсия X определяются равенствами
xv = |
U\ X \ y \ ~ |
J |
xf(x\y)dx, |
|
(1.50) |
|||
|
|
|
— СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
4 |y = |
D [Х\ у] = |
^ |
(х — х уУ f (х I у) dx. |
(1.51) |
||||
|
|
|
— 00 |
|
|
|
|
|
Математическое ожидание X и дисперсия D m |
связаны с M[X\Y] |
|||||||
и D [А | F] формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
* = M {M [X |F ]} = |
$ |
X j (у) dy, |
(1.52) |
|||||
D [X ]= M {D [X |yj} + |
D (^ ) = |
|
|
|
|
|
||
|
СО |
|
|
|
с о |
|
|
|
= |
\ |
°l\t/f(y)dy+ |
$ |
{xy — x ff( y) d y . |
(1.53) |
|||
|
— 00 |
|
|
|
— 00 |
|
|
|
§ 1.2. Основные формулы корреляционной теории |
|
|||||||
|
|
случайных функций |
|
|
||||
Основные положения теории случайных функций предпола |
||||||||
гаются известными читателю |
в объеме |
книг |
[в6], [50], [39], |
[72 ]. |
||||
Поэтому приводимая ниже сводка формул теории случайных функ ций не претендует на логическое изложение этой теории, а пред назначена только помочь читателю освежить в памяти основные формулы и служить”справочным материалом при дальнейшем чте нии книги.
Случайной функцией некоторого параметра t называется такая функция, ординаты которой при закрепленном значении ее аргу мента обладают свойствами случайной величины. Для обозначения случайных функций мы будем использовать, по возможности, большие буквы конца латинского алфавита, отмечая параметр t как аргумент функции, т. е. будем писать X (t), У (2), Z (t) и т. д.
Случайные функции непрерывного аргумента иногда называют случайными процессами, в отличие от случайных функций пара метров, могущих принимать только дискретные значения, которые в этом случае называют случайными последовательностями. Ар гумент t в теории случайных функций обычно называют «временем» даже в том случае, когда он имеет и другую физическую природу.
В данной книге мы будем иметь дело только со случайными процессами. В дальнейшем мы будем рассматривать только слу чайные процессы, ординаты которых являются непрерывными случайными величинами,
§ 1 . 2 ] К О Р Р Е Л Я Ц И О Н Н А Я Т Е О Р И Я С Л У Ч А Й Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й 19
Случайную функцию можно считать заданной, если известны законы распределения всех ординат этой функции для любых моментов времени tx, t2, . . ., например, известны плотности ве роятности / (а^), / (хх, х2), / (хъ х2, х3) и т. д., где х - — значение ординаты функции X (tj). Во многих приложениях достаточно знать только моменты первого и второго порядка системы случай ных величин X (£х) и X (t2) при любых значениях аргументов t1и t2 из заданного интервала изменения времени t. Разделы теории случайных функций, использующие только первые два момента ординат случайной функции, называются корреляционной теорией случайных функций.
Первый момент ординаты случайной функции — математиче ское ожидание случайной функции х (t), определяется формулой
СО |
|
я (0 = М 1-Х (*)] = 5 xf{x)dx, |
(1.54) |
где плотность вероятности ординаты случайной функции может зависеть от времени как от параметра. Таким образом, математи ческое ожидание случайной функции является неслучайной функ цией времени (или постоянной). Корреляционный момент между ординатами X (іг) и X (t2) случайной функции X (t), взятыми в два любых момента времени, в общем случае зависит от tx и t2и, следо вательно, является неслучайной функцией двух переменных, которая носит название корреляционной функции (или автокор реляционной функции). Обозначив эту функцию через К (tv t2), в соответствии с формулой (27) имеем
К (tu t2) = М {[Ä' (fj — X (fj)] [X {t2) — X (*2)]} =
00 |
|
== ^ ^ [^i я (£j)] \x2 • X (£2)] / (Яі> я2) dxydx2. |
(1.55) |
При ty=t2=t формула (55) дает выражение для дисперсии ор динаты случайной функции X (t), которая в общем случае может зависеть от t. Следовательно,
D [X (0 ]= a |= Ä (« , t). |
(1.56) |
При рассмотрении нескольких случайных функций, например функций X (t) и Y (t), корреляционную функцию К (tlt t2) мы будем снабжать соответствующим индексом, т. е. писать Кх (tv t2)
иh)-
Отношение
к(іѵ t2) = |
K(h, t2) |
(1.57) |
v/D [X (tx)l D [X (e2)] |
носит название нормированной корреляционной функции.
2*
20 |
О С Н О В Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы |
t r n . 1 |
Корреляционный момент между ординатой одной случайной функции, взятой в некоторый момент времени, и ординатой второй случайной функции, взятой в другой момент времени, называется взаимной корреляционной функцией (или корреляционной функ цией связи), для обозначения которой мы будем использовать букву R с соответствующими индексами, т. е., например, для вза имной корреляционной функции случайных функций X (t) и Y (t) примем
Rxy(*1. к) = м (IА7 (ft) —X (*,)]1Y ОУ — у (У1) =
= СОИ |
y(k)'\f (х ’ y)dxdy, |
(1.58) |
|
где / (X, у) — плотность |
вероятности |
системы величин |
X (£]) |
и Г ( д . |
|
|
|
Отношение |
|
|
|
Г, Л * 1. |
R х у (^ 1 * |
^2 ) |
(1.59) |
к) = ~ |
|
||
|
V D [X У ) ] 0 [ У ( У ] |
|
|
носит название нормированной взаимной корреляционной функции. Если ординаты случайных функций являются нормальными величинами, то такие случайные функции называются нормаль ными или гауссовыми. Для полной характеристики нормальной функции достаточно знать ее математическое ожидание и корреля ционную функцию, поскольку, согласно формуле (28), закон рас пределения любой системы нормальных случайных величин (лю бого числа ординат случайной функции) полностью определяется
первыми двумя моментами этих величин.
Таким образом, для нормальных случайных функций различие между корреляционной теорией случайных функций и общей тео рией исчезает.
Если свойства случайной функции X (t) не зависят от начала
отсчета времени, |
то такая |
функция |
называется |
стационарной. |
У стационарной |
случайной |
функции |
все законы |
распределения |
ординат зависят только от разностей моментов времени, для кото рых взяты эти ординаты. Следовательно, в этом случае
Ж( 0 = const, Kx{t„ t2) = K x (t2 — t1), |
(1,60) |
т. е. математическое ожидание стационарной случайной функции есть величина постоянная, а корреляционная функция является функцией одного аргумента. Очевидно, что дисперсия стационар ной функции будет величиной постоянной. Для стационарной си стемы двух функций взаимная корреляционная функция также является функцией одного аргумента, т. е., например, если X (t) и Y (t) образуют стационарную систему функций, то
(1.61)
§ 1.2] |
К О Р Р Е Л Я Ц И О Н Н А Я Т Е О Р И Я С Л У Ч А Й Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й |
21 |
Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если выполняются условия (60), т. е. если математическое ожидание случайной функции величина постоянная, а корреля ционная функция зависит только от разности моментов времени.
Система случайных функций называется стационарной в широ ком смысле, если каждая из функций системы стационарна в широ ком смысле, а кроме того, выполняется условие (61). Для стацио нарных и стационарно связанных случайных функций нормирован ная корреляционная функция к ( т) и нормированная взаимная корреляционная функция г ( Д будут также функциями одного аргумента.
Иногда приходится рассматривать комплексные случайные функции. В этом случае формулы (55) и (58), определяющие корре ляционную функцию и взаимную корреляционную функцию, за меняют формулами
K { tx, д = |
м([х*(«1) - я ‘ ( д і [ Х ( д - я ( д ] } , |
(i.62) |
t2) = |
M { [ r ( t 1) - x * ( t 1) l [ Y ( t J - y ( t 2)]), |
(1.63) |
в которых первый множитель под знаком математического ожида ния берется комплексно-сопряженным. При таком определении корреляционной функции ее значения при равных аргументах будут вещественными величинами.
Будем называть совокупность математических операций, с по мощью которых одной функции cp (t) приводится в соответствие другая функция ф (t), оператором. Если обозначить этот оператор буквой L, то можно написать равенство
ф (f) = Lcp (t). |
(1.64) |
Если для любых функций tpj (t) и <р2 (іt) справедливо равенство
L0 Lfl<Pi (t) + bf2 (t)\ = alvpj (t) + 6L0cp2 (t), |
(1.65) |
где а ш b — произвольные постоянные, то оператор L0 называется линейным однородным. Если оператор L связан с оператором L0 соотношением
L<P (t) = L0<p(t) + cpo (t), |
(1.66) |
где cp (i) — любая, а ср0 (t) — заданная функции, то оператор L называется линейным (но неоднородным). Примерами линейного однородного оператора являются оператор дифференцирования, оператор суммирования и т. д. Примером неоднородного линейного оператора может служить решение неоднородного линейного диф ференциального уравнения
dnY (t) |
dn~iY (t) |
+ ... + a n(t)Y(t) = X(t) |
(1.67) |
dtn + a i W |
dtn~1 |
