Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

при ненулевых начальных условиях (нри нулевых начальных усло­ виях этот оператор’становится линейным однородным).

Если случайная функция У (t) связана со случайной функцией X (t) соотношением

где L0 — однородная часть оператора L, а индексы tx и t2 показы­ вают, что в первом случае Кх (tx, t2) рассматривается как функция tx, а во втором случае — как функция t2. Если оператор L0 со­ держит комплексные выражения, то вместо формулы (70) имеет место формула

Следовательно, если дифференцируемая функция является стационарной (в широком смысле), то стационарной (также в широ­ ком смысле) будет и производная, так как последняя формула дает

где У0 (t) — общий интеграл однородного уравнения, соответствую­ щего уравнению (75), удовлетворяющий всем начальным значе­ ниям функции У (t) и ее первых (п—1) производных, а I (t, іх) — импульсная переходная функция (иногда ее называют весовой

функцией) рассматриваемой динамической системы *). Общий интеграл F0 (t) и импульсная переходная функция могут быть выражены через независимые интегралы yj (t) (у = 1, 2, . . п) однородного уравнения по формулам

где Cj — постоянные, линейно выражаемые через начальные зна­ чения Y (t) и первых (п—1) ее производных.

Применяя формулы (69) и (70) к этому случаю, получим

■^1 о

t2) — 2 kojcii/j {ti)Уі (t<i) j,

t2

о 0

(мы считаем начальные значения Y (t) и ее производных некорре­ лированными с ординатами случайной функции X (t)). Если коэф­ фициенты уравнения (75) постоянные, то частные интегралы не­ однородного уравнения x)j (t) имеют вид экспонент

В этом случае импульсная переходная функция будет функцией одного аргумента, т. е.

*) В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями: оператор будем обозначать большими латинскими буквами прямого шрифта, передаточные функции — большими курсивными буквами того же наименова­ ния, а импульсные переходные функции — соответствующими малыми буквами. Например, оператору L соответствует передаточная функция L (іш) и импульсная переходная функция I (t, гх) или I ( т).

24 О С Н О В Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы [ГЛ. 1

а весовую функцию I ( т) при больших значениях ее аргумента можно считать равной нулю. В этом случае формула (76) при­ нимает вид

где для получения последнего интеграла произведена замена пе­ ременных х=£—tx, а верхний предел интегрирования взят равным оо, а не t вследствие затухания функции £(т).

Если случайная функция X (t) стационарна, то формула (83) показывает, что решение уравнения (75) будет также стационар­

ОО

Вчастном случае, когда 1 ~ 1, т. е. когда уравнение (75) при­ обретает простейший вид

о 0

Наконец, если функция X (t) является стационарной, а началь­ ное значение Y (t) не случайно, то последняя формула принимает вид (t2 > tx)

= \i (t2 — x)Kx(z)d'z-}-\j (t1 — x)Kl(-z)dz— ^{t2 — t1 — z )K x(z)dz. (1.88)

0 0 0

Формула (86) показывает, что интеграл от стационарной случай­ ной функции уже не обладает свойством стационарности. В част­ ности, положив в последней формуле t2—tx, для дисперсии инте­ грала от стационарной функции получим

о

сываемой уравнением (75) (при ay=eonsl), определяется форму­ лой

СО

L (s) системы вычисляется относительно правой части линейного дифференциального уравнения типа (75), коэффициенты которого постоянные, для ее нахождения достаточно заменить в левой части равенства каждую производную на соответствующую сте­ пень аргумента s (считая саму независимую переменную производ­ ной нулевого порядка) и положить передаточную функцию рав­ ной обратной величине полученного таким образом полинома относительно s.

В ряде задач к функции X (t), являющейся входом для рас­ сматриваемой динамической системы, применяется линейный диф­ ференциальный оператор, т. е. уравнение системы имеет вид

Если все коэффициенты a,y и by постоянные, то передаточная функ­ ция системы Lx (s) по отношению к входной функции X (t) опре­ деляется формулой

где индекс х в обозначении передаточной функции показывает, что она вычисляется по отношению к входу системы X (t), а не по отно­ шению к правой части уравнения (99). В тех случаях, когда ли­ нейная система имеет несколько входов Х г (t), X 2 (t),. . ., X r (t), ее уравнение может быть представлено в виде

fc=-l к

где р обозначает оператор дифференцирования по времени, a Qn (р )

и{р) — полиномы степени п и соответственно тпк. Если коэф­

фициенты этих полиномов постоянные, то можно говорить о пе­ редаточной функции Lk (s) системы относительно каждого из рас­ сматриваемых входов. Передаточные функции Lk (s) определя­ ются формулами

В том случае, когда случайные функции Х к (t) в (101) независимы и стационарны, для спектральной плотности Y (t) (после окончания