Файл: Регулирование качества продукции средствами активного контроля..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 191
Скачиваний: 0
где |
суммирование |
производится |
по |
всем |
иі, |
. . . , |
иь |
так, |
что |
и, |
+ |
. . . + |
Us = N |
||||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, |
— |
< и 5 < Л ' . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность того, что в этом состоянии поднастройка не потребуется, соглас |
||||||||||||||||||||
но алгоритму (162), будет |
иметь |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/?о(.". |
Г)-Л |
— |
2 |
Ri (ri |
(I = + |
2; |
+ |
1; |
0; |
- |
1; |
- |
2). |
|
|
(171) |
|||
|
|
|
|
|
|
i = + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
основании |
(167) — (171) |
можно заключить, |
что |
вероятность |
перехода из |
||||||||||||||
одного |
состояния в другое |
Ri |
((х) |
при |
|
всех значениях і может быть |
представлена |
||||||||||||||
в виде явной функции от ц, не зависящей от номера детали |
п. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Вероятность перехода |
системы, находящейся |
в данный |
момент я |
в |
состоянии |
|||||||||||||||
г — а, в состояние г = ß в следующий |
момент (п + |
1) обозначим как Paß- |
|
Соглас |
|||||||||||||||||
но выражению |
(166), Р ^ФО |
может иметь |
место |
только |
для ß = a + a; |
ß = а + |
|||||||||||||||
+ а — А; ß = а |
+ |
а + Л; |
ß = а + а + |
2Д; |
ß = |
а |
+ |
а — |
2А. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Подставляя |
в |
выражение |
(166) |
значение |
Х([і) |
из |
(165) |
и |
учитывая |
(164), |
||||||||||
получим Я 0 р в виде явной функции а |
|
и ß параметров |
системы. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Таким образом, процесс изменения состояний системы образует простую од |
||||||||||||||||||||
нородную цепь Маркова с конечным |
числом состояний и дискретным |
временем. |
|||||||||||||||||||
Найденный закон этой цепи выражается матрицей перехода |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
W |
i |
i |
•••Pic |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РцРю |
• • • Ргс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(172) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
..Pc,
в которой все не равные нулю элементы расположены по пяти неглавным диаго налям. Переходные вероятности, образующие эту матрицу, управляющую процес сом изменения состояний системы, зависят от параметров о и а исходного техно
логического процесса и от параметров А, |
±Ьі |
и ± ô 2 |
системы |
регулирования. |
Из теории цепей Маркова [64, 126, |
132] |
можно |
показать, что матрица (172) |
|
не имеет несущественных состояний и является циклической. |
|
|||
Можно также показать, что все существенные состояния |
рассматриваемой це |
|||
пи могут быть выделены в одну неразложимую подматрицу матрицы (172), т. е.
матрица (172) не имеет изолированных подгрупп |
состояний. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Как известно из теории цепей Маркова [64, 126, 132], путем одновременной пе |
|||||||||||||
рестановки строк и столбцов с одинаковыми индексами матрица |
(172) |
может |
быть |
|||||||||||
приведена к нормальному виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
' о |
|
о |
, о |
0 |
о |
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
0 |
о |
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
о |
о |
*3, |
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
= 1 о |
|
о |
о |
о |
|
, 0 |
о |
|
|
|
|
(173) |
|
|
о |
|
о |
о |
о |
о |
|
і 0 |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
о |
о |
о |
о |
о |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
I |
о |
о |
о |
о |
о |
*7. |
|
|
|
|
|
где |
0 — обозначает нулевые |
подматрицы, |
a Ri, І+І (і = 1-т-6), #7,7 |
и |
RT,I— |
нуле |
||||||||
вые |
подматрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К а ж д а я |
из подматриц Ri, |
,+і и RT,I СОСТОИТ из элементов строк матрицы |
(172), |
||||||||||
соответствующих состояниям |
с |
номерами |
с = |
і + |
mD |
= i + d, |
где |
для |
заданно |
|||||
го і параметр m пробегает все целочисленные значения, удовлетворяющие |
условию |
|||||||||||||
0 < і + d^v. |
Подматрица #7,1 |
состоит из элементов |
строк матрицы |
(172), |
соот |
|||||||||
ветствующих |
состояниям с номерами с = |
mD |
= d, где 0 < d^.v. |
Очевидно, |
если |
|||||||||
в момент времени по процесс оказался в одном |
из |
состояний, |
принадлежащих |
|||||||||||
|
то в |
(«о + 1)-ый момент он |
обязательно |
перейдет в одно |
из |
состояний. |
||||||||
146
принадлежащих |
/?t-+i. <+2 и т. д. до |
последней строчки, |
в |
которой |
|
имеются, |
кроме |
|||||||||||||||||
единичной подматрицы RT,I, также неединичная подматрица |
|
Ri,i. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Рассмотрим более подробно процесс образования подматриц. Если в момент |
|||||||||||||||||||||||
времени |
п система находилась |
в состоянии |
|
1], то |
в следующий |
(п |
4- 1)-ый |
|||||||||||||||||
момент времени система перейдет в состояние |
[Х(ці) |
+ |
а, |
2] |
или |
[Х(цг), |
|
2] и |
во |
|||||||||||||||
обще, |
если |
і ^ Л ? |
(і = 6), то из |
|
состояния |
p f ( u j ) , |
і] |
система |
перейдет |
в |
состояние |
|||||||||||||
[X(]ij) |
+ a, |
і + |
1] или [X(\ij+l), |
|
|
і + |
1]. Если |
же |
t > |
N |
(і > |
|
6), |
то из |
состояния |
|||||||||
|
|
і] система может перейти только в одно из двух |
состояний: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
цы |
либо в состояние [X (ці+кЛ), |
|
1], |
где d — общий |
наибольший |
делитель |
матри |
|||||||||||||||||
(172), a |
k= |
± 1 или ± 2 . Эти вероятности |
заполняют |
подматрицу |
RT.I |
и |
ха |
|||||||||||||||||
рактеризуются осуществлением |
|
соответствующей |
подналадки; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
либо в |
состояние [X ( ц , + ! ) , |
7]. Эти |
вероятности заполняют |
подматрицу |
#7,7 |
||||||||||||||||||
и характеризуются отсутствием подналадки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пс |
||||||||||
|
При |
наблюдении процесса |
в течение |
времени |
обработки |
деталей |
от |
0 до |
||||||||||||||||
получим, что отношение числа попаданий процесса в некоторое состояние |
г |
(при |
||||||||||||||||||||||
чем г — 1, . . . , с) к числу всех |
наблюдавшихся |
деталей пс |
(при пс—>-оо) |
|
стремит |
|||||||||||||||||||
ся к пределу рг, |
не зависящему |
от начального |
состояния |
системы. |
через |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Обозначим характеристический |
определитель |
матрицы |
(172) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(к)^-[ХЕ |
— Р\, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(174) |
|||
где |
h — максимальный корень стохастической |
матрицы (172), к = |
|
1; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Е — единичная матрица |
порядка |
с; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Р — матрица |
(172). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Учитывая, что к = 1, выражение |
(174) можно |
переписать |
так |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P ( l ) = |
j £ - P | . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(175) |
|||
|
Величина р г |
, вычисляемая |
|
на основании заданной матрицы и характеризую |
||||||||||||||||||||
щая предельные переходные вероятности системы, |
определяется |
из |
соотноше |
|||||||||||||||||||||
ния |
[126] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рг=~ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(176) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
рп |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
РІІ |
— главный минор |
определителя |
Я (1), |
получающийся |
|
вычеркиванием |
|||||||||||||||||
|
|
|
в матрице строки и столбца с номером |
і. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
При |
достаточно большом |
пс величина рг может рассматриваться |
как |
вероят |
|||||||||||||||||||
ность пребывания системы в состоянии г. Путем суммирования всех рт, |
относящих |
|||||||||||||||||||||||
ся к состоянию, имеющему одно и то же значение Х(\и) |
(суммирование |
осуществ |
||||||||||||||||||||||
ляется по всем Т от 1 до N + |
1), найдена величина |
р(ц) |
|
—вероятность |
нахожде |
|||||||||||||||||||
ния центра группирования в точке с координатой Х(ц), |
т. е. предельная |
частота |
||||||||||||||||||||||
нахождения центра группирования в данном положении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Рассмотрев вопрос о формировании импульса регулирования, можно заклю |
|||||||||||||||||||||||
чить, |
что центр |
группирования |
размеров |
изделий |
занимает |
случайное |
положение |
|||||||||||||||||
s активной зоне, определяющей момент регулирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
На |
основании полученных |
|
значений |
р(ц) |
найден предельный |
(для |
достаточ |
||||||||||||||||
но большого rte) закон распределения регулируемого размера |
X: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
F (X) |
- |
2 |
Р (V-) ф \ х - |
х |
Ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(177> |
|||
Величина среднего квадрата этого размера определяется следующим образом:
|
* т а х + |
3 0 |
|
М(Х*)= |
^ |
X*dF(X). |
(178) |
*min-3*
Величина М(Х2) является наиболее удобной характеристикой для анализа точности, получаемой при различных значениях параметров рассматриваемой си
стемы и при других различных системах регулирования |
размеров. |
10* |
147 |
|
На основании выражения (177) |
и из очевидных физических соображений |
мож |
|||
но заключить, что функция F(X), |
а вместе с ней и величина М(Х2) |
постоянно |
||||
зависят от параметров системы: при заданной величине N и |
любом |
фиксирован |
||||
ном |
X приращения F(X) и М(Х2) |
от изменения параметров |
A, |
a, Ьі |
и Ьі могут |
|
быть |
сколько угодно малыми, если |
только указанные изменения |
достаточно |
ма |
||
лы. В результате этого можно графо-аналитическим путем построить зависимость М(Хг) от параметров системы и на основании ее найти оптимальные параметры, обеспечивающие минимум среднего квадрата X.
Нахождением предельного закона распределения регулируемого размера за канчивается расчет погрешности системы, так как по предельному распределению легко найти ее качественные показатели (дисперсию генеральной совокупности относительно размерной настройки системы С П И Д , процент бракованных изде лий и т. д.).
Следует отметить, что для многих встречающихся на практике систем автома тического регулирования размеров приведенные выше расчетные выражения мо гут быть значительно упрощены. В некоторых особо сложных случаях расчет та ких систем по приведенным выше выражениям, даже при использовании ЭВМ дискретного действия, затруднителен. При этом может оказаться целесообразным использовать метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), который в
рассмотренном случае сводится к моделированию системы на математической |
ма |
||||||||||||||||||
шине дискретного действия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Предложенная методика может быть использована также для выбора опти* |
||||||||||||||||||
мальных |
параметров других различных систем регулирования размеров. |
|
|
||||||||||||||||
|
Ниже приводится пример расчета и |
|
построения, |
выполненный |
на |
основании |
|||||||||||||
найденных выше общих соотношений при подстановке |
j V = |
1 и алгоритме |
выдачи |
||||||||||||||||
сигнала на подналадку по первой детали |
|
(общие соотношения |
при этом |
значитель |
|||||||||||||||
но упрощаются, так как правые части системы |
( 1 6 6 ) не |
зависят |
в данном случае |
||||||||||||||||
от Т и, следовательно, состояние системы в момент времени п полностью |
характе |
||||||||||||||||||
ризуется |
одной величиной — положением |
центра |
группирования |
Х0(п) |
|
= |
Х(\і). |
||||||||||||
На рис. 61 приведено семейство кривых, |
которые |
получены |
для |
данного |
примера |
||||||||||||||
на |
основании |
вычисленных предельных |
|
дифференциальных |
|
законов |
распреде |
||||||||||||
ления на |
Ц В М |
[119] и которые можно использовать как |
для |
анализа качества |
ра |
||||||||||||||
боты системы при заданной величине А, так и для выбора оптимального |
для |
за |
|||||||||||||||||
данных условий работы значения |
А. Кривые заканчиваются |
слева на линии мини- |
|||||||||||||||||
мально допустимых |
значении, уравнение |
которой |
V |
M{Xf |
|
|
! |
(А+ |
З з ) 2 + з 2 |
||||||||||
|
О |
|
— |
|
3 |
• |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
получается из того довольно очевидного |
обстоятельства, |
что при |
А = а |
кривая |
|||||||||||||||
f(X) |
получается из |
кривой |
Ф(Х) |
[уравнение |
( 1 6 3 ) ] |
путем |
сдвига |
последней |
|||||||||||
вдоль оси абсцисс на величину А + За. |
Наличие этой линии |
облегчает |
интерполя |
||||||||||||||||
цию семейства |
кривых (см. рис. 6 1 ) для |
случаев |
промежуточных |
значений |
а. |
|
|||||||||||||
|
Заштрихованная |
область |
соответствует |
расходящемуся |
|
процессу |
поиска |
||||||||||||
(в |
этой |
области условие Na^.A |
не выполняется). Как |
видно |
из |
рисунка, |
каждой |
||||||||||||
148
паре величин |
а и сг соответствует оптимальное значение А, обеспечивающее мини |
|||||||||||||
мально |
возможную при данных конкретных условиях величину |
М(Хг). |
|
|
||||||||||
|
Пусть, например, величины а и о, оставаясь |
неизменными |
в пределах каждой |
|||||||||||
партии, |
могут |
изменяться от |
партии |
к партии в |
пределах: О і ^ 0 ^ 2 о і ; |
|
— 1 , 5 о і ^ |
|||||||
ï S T a ^ o i , |
где |
ai — заданная |
постоянная. Требуется найти величину А, |
|
обеспечи |
|||||||||
вающую |
минимакс среднего квадрата X, т. е. минимальное значение М(Хг) |
для |
||||||||||||
наихудшей партии. Из рис. 61 видно, что М(Х2) |
увеличивается |
с ростом |
\а\ |
и а. |
||||||||||
|
Таким |
образом, наихудшая партия |
соответствует |
а = 2оі |
и |
\а\ = |
1,5о"ь |
при |
||||||
этом |
И |
|
= 0 , 7 5 . Минимуму |
М(Х2) |
при |
а |
|
|
|
А |
= |
1,3 |
(см. |
|
— |
|
— = 0 , 7 5 соответствует |
— |
|||||||||||
рис. |
61) |
и |
Лепт = 1,3a = 2,6о"і, а получающееся |
при |
этом |
значение |
|
~\jM(X'-) |
||||||
равно 4о"і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Расчет погрешности подналадки при отсутствии линейно изменяющегося возмущения (трента)
Для некоторых технологических процессов обработки, у которых монотонное систематическое смещение (линейный трент) настройки мало или совершенно от
сутствует, имеет место возмущение |
в виде нормальной стационарной |
случайной |
||
(функциональной) |
коррелированной |
последовательности. |
Наличие |
возмущения |
этого типа объясняется медленными изменениями уровня |
размерной |
настройки |
||
станка около его среднего значения. |
|
|
|
|
Значение регулируемого размерного параметра в этом |
случае определяется |
|||
уравнением (159) |
при линейном тренте ara = 0: |
|
|
|
|
* ( л ) |
= | і ( л ) + С ( л ) . |
|
(179) |
Ниже приводится расчет точности подналадки с помощью описанной ранее СКС
для этого |
случая. |
|
|
|
|
|
При возмущении в виде стационарной |
случайной коррелированной |
последова |
||||
тельности |
прогнозируемое |
значение р. (га + 1) |
зависит от всех предшествующих |
|||
значений |
р-(га), р(га — 1), |
р(га— 2) |
Для |
определения |
правила (алгоритма) |
|
вычисления коррелирующего импульса по |
прогнозируемым |
значениям |
р. (га + 1) |
|||
может быть применена теория линейного экстраполирования случайных последо вательностей [162], с помощью которой можно предсказать уровень размерной на стройки в подналаживаемом цикле.
Дл я случая, когда известно не все прошлое, а только h прошлых значений,
прогноз для неизвестного |
значения |
р.(га + 1) определяется |
как |
линейная комби |
|||||||
нация h известных значений [161]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
||
|
|
h |
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
•±(п+1)-^-- |
|
- |
ат |
[ji (л + |
1 — m) — [i.] + |
V (0, |
ij. |
|
(180) |
||
Область возможных |
значений |
прогноза |
ц ( г а + 1) |
ограничена |
областью |
воз |
|||||
можных значений случайной величины ѵ (0, |
a,J, а вероятность прогноза равна ве |
||||||||||
роятности этой случайной |
величины. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Коэффициенты ат |
в формуле |
(180) |
определяются |
из условия |
минимума |
сред |
|||||
неквадратичной ошибки прогноза |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
_ |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
M\\Ып^ |
|
{)-•,.]- |
|
V |
awl:i.(n+l--m)-y.W} |
|
= |
min |
(181) |
||
|
|
|
m = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и могут быть получены |
в результате |
решения системы линейных уравнений [161] |
|||||||||
|
|
|
|
ВНц*=І, |
|
|
|
|
|
(182) |
|
где H и—алгебраическое |
|
дополнение |
симметричной |
матрицы порядка h + |
1 из |
||||||
элементов H |
(і — /) (і, / — номера |
строк и столбцов): |
|
|
|
||||||
149
