Файл: Регулирование качества продукции средствами активного контроля..pdf

Формулы (195), (196), а также предположения о

статистиче­

ских характеристиках

последовательностей

{ц,п} и

{£п }

служат

исходным пунктом при синтезе оптимальных по точности

алгорит­

мов подналадки следящих подналадочных систем.

Общая постановка

задачи синтеза такова.

Изучается

дискрет­

теме, рассматриваются

лишь в дискретные

моменты

времени

t

= I, 2, ...,

п...

Значение любой из величин в момент

времени

t

= п снабжается индексом п.

Решается

байесовская

задача [146], т. е.

предполагается, что

управляющие технологическим процессом с учетом всей имеющейся

к моменту подналадки информации о ходе процесса. Физически это

означает,

что, формируя величину подналадочного импульса, под-

наладчик

принимает во внимание всю информацию о предыдущих

импульсах и размерах выпущенных изделий.

Введем

следующие

обозначения.

Условимся

записывать

со

стрелкой

наверху

последовательность величин, поступивших

в различные моменты

времени. Например, Un =

(Uu • •, Un)

—

последовательность уровней настройки,

поданных

до п-то момента

L'n=-U„[xn-u

Un-il

(197)

Уровень настройки инструмента

перед

выпуском

п-го

изделия

ІІп

слагается из п подналадочных импульсов,

подаваемых

перед

выпуском каждого

изделия

Un=

2 и,,

(198)

где

ui — подналадочный

импульс,

подаваемый

перед

выпуском

/'-го

изделия.

В теории

статистических

решений

[146] критерий оптимальности

принято именовать риском. В соответствии с этим в данном

случае

риск имеет вид

Dn =

M{x*},

(п=

1,

2,

. . . ) ,

(199)

где

M — символ

математического ожидания

равен дисперсии раз­

меров изделий.

Требуется определить последовательность решающих функций

[145,

146]

Г„ =

\\ [un\ Ûn-\,

Хп-\

), (я

=

1, 2,

. . . )

(200)

и,

соответственно,

подналадочных

импульсов

ип{п—\,

2 , . . . ) ,

доставляющих Dn

минимум при каждом п.

По определению, риск Dn

равен

Dn =

\х;*р{хп,

: п ,

à,,, ÛjdQ,

«

=

1,2

(201)

где

Р ( • ) — совместная

плотность

случайных

величин,

стоящих

в скобках;

Q (•) — область их изменения;

dÇ> — бесконечно малый элемент этой

области.

Условимся, что плотности Р (•), имеющие различные

аргумен­

ты, представляют собой различные функции.

Представим плотность Р (хп,

£„,

цп, Un)

в виде

произведения

плотностей, относящихся к п-му

изделию

и к предыстории

процес­

са

подналадки:

Р[Хп,

^п, rS, Ùj

=

P[xn-\,

Pn-l,

Ün-l)

P[xn,

Ji„,

Un\Xn-l,

Z-uV-n-uO^).

(202)

Физический

смысл

второго

сомножителя

в правой

части

форму­

лы

(202) — условная плотность

случайных

величин,

относящихся

к га-му изделию, при фиксированной предыстории процесса

подна­

ладки.

По теореме умножения

вероятностей

Р(хп,

С„,

| i e ,

Un

I Хп-\,

In-i,

Vn-U

Un-\)

=

Р[и„\

Х„-и

С„_і,

—1, ип—і,і

'

*

\wn J л:я—1,

~ я _ і ,

^л—и

ХРІрп

I х я _ і ,

С л ,

? я _ і ,

ÔJ

• Р(х„

I

х я _ і .

ln,

jl„,

£/„).

(203)

Рассмотрим подробнее

каждый

из

сомножителей

формулы

(203).

Первый

сомножитель — плотность

Р ( U n \ x n - i ,

£п-ь

м-п-ь

^ п - і ) —есть

не что иное, как решающая

функция

Гг е . Она должна

удовлетворять условию реализуемости

вида

P[U„

I x„_i,

In-i,

ln-\,

Ün-i)

=

l\{un

I

Ûn-x).

(204)

лений: « n = ип (Un-u

Хп-і)-

Именно это и отражает

формула

(204).

По предположению, последовательность {£п }

есть

последова­

тельность независимых случайных

величин.

Поэтому

условная

плотность Р (£,п\хп-и

Zn-i,

Ц

и -

і

,

Un)

совпадает

с безусловной (ап­

риорной) плотностью Р (£п):

Р (;и

I хп-и

С л - і ,

І - і ,

Un)=P

(205)

Далее, поскольку

последовательность

{\х,п}

— марковская,

то

при фиксированной совокупности цп-і

— (цо, (л>

Vn-i)

величина

f i n не зависит от хп-і,

£ n - i >

Un,

так

что

Р(ря

I Хп-и

Ся>

p„-i,

Û„)

=

Р ( а „

I

(206)

( * = 1 .

2

)

Рассмотрим последний сомножитель в формуле (203). Из фор­

мулы

(195) следует,

что при заданных

{ і і п ,

£ « , Un}

и

известном

(детерминированном)

значении

/„

плотность

Р (

i / n ) обращается

в

ô-функцию:

р ( х „ I х а - и

С л - і ,

=

8 [ х „ - ( / „ +

[*„

4

-

:

п ( 2 0 7 )

Подставляя выражения

(204) — (207)

в формулу

(203), находим

Р{ХП,

^я- !*„, ^ л

I Х„-\,

(А„_1,

£/л _і)

= Р{',п)

•

Р{ра

I Ѵп-і)

X

X 8 U„ -

(/„ +

н-я 4 - С„ +

^ я

)

I • Г я

(t/„

I х„-і,

£ / я - і ) .

(208)

Первый сомножитель, стоящий в правой части равенства

(202),

отличается от левой лишь

на единицу меньшим номером

при

соот-

X / / S Ui —

fr-b-^-Ui)]

• h v t [ut I

Ui-,),

(209)

/ = і

і=і

ным характеристикам, а цо — начальное

значение

процесса

Подставляя выражение (209) в формулу

(201),

находим

следую­

щее выражение для

риска

А , = f х„*РЫ-

я я ( ^ |

ПР^)

• /

n

^ - U

- b ^ - f

+

•

2=1Я Г ;

({/, I Хі-г,

Ui-ùdQ.

(210)

Представим выражение

(210)

в следующем

виде

Dn

= j

"Л Гг (ut

1 (/,_,,

*, _ ,) {

J

Ы

•

U I

X

^

( * я _ і .

п

Q (х„,

и п ,

гп)

ХПР(ч)

• ПИх,-

(/, +

vi +

L. + f/,)!

X

І=\

І=\

X r „ ( ( / j L . , t / J 4 ^ -

(211)

Перепишем плотность ô[x, — (Ц + и.* +

у + Ui)]

(i =

1, 2,

n)

в следующем

виде:

8 К , - ( я , - - £ / ,

) ] ( * =

1,

2,

п).

(212)

Подставляя выражение

(212)

в формулу

(211),

производя

ин­

тегрирование выражения в фигурных скобках по вектору

£ п и пола­

гая, что подналадчик обладает относительно управления

регуляр­

ной стратегией [146], находим, что оптимальный подналадочный

им­

пульс на п-ом такте определяется из условия минимума по Un

сле­

дующего выражения

«„=

ГѴ

^ Ы • П Р(ъ

I

• П

P(Xi

I Uh

îx;-,

(213)

I J

^

\

О ir

il. 1