Файл: Регулирование качества продукции средствами активного контроля..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 195
Скачиваний: 0
где Р (Xi\Ui, |
\Xi, Ii) —-условная плотность |
случайной величины л\- |
|
|
при фиксированной совокупности (Ui, ц.,-, h) |
||
|
параметров процесса, |
относящихся к |
тому |
|
же і-му изделию. |
|
|
Поясним |
физический смысл величин, стоящих в формуле |
(213) |
|
под знаком интеграла. Функция Р (р0 ) —априорная плотность на чального значения функциональной случайной составляющей;
функции Р (рі| \ii-i)—плотности вероятности перехода этой со ставляющей для двух соседних моментов времени. Эти функции от
ражают априорные |
сведения об изменениях |
функциональной |
слу- |
|
|
п |
|
|
|
чайной составляющей. Выражение вида UP |
(xAUi, |
іц, /,-) содержит |
||
в себе информацию |
об управляемом процессе. |
Одновременно |
это |
|
выражение содержит информацию о собственно случайной состав ляющей (;„ процесса.
Формула (213) является исходной при синтезе оптимальных по точности систем подналадки с фиксацией текущих размеров изде лий. В зависимости от статистических свойств управляемых процес сов, в соответствии с формулой (213), строятся конкретные опти мальные алгоритмы управления. Для трех наиболее распространен ных описаний технологических процессов эти алгоритмы будут при ведены в следующих параграфах.
К изложенному тесно примыкают |
некоторые результаты работы |
||
[137]. В одном из разделов этой статьи рассматривается |
задача оп |
||
тимального управления процессом вида |
|
||
хп = г(п, Ѳ) + |
С„ |
( я = 1, 2, . . . , ) , |
(214) |
где г (п, Ѳ) —систематическая |
составляющая; |
|
|
Ѳ — определяющий ее поведение неизвестный |
параметр; |
||
—последовательность независимых случайных вели чин.
Рассматриваемый алгоритм управления использует в качестве оптимальной оценки Ѳ апостериорное математическое ожидание
этого параметра, найденное по результатам наблюдений хп |
= (хі, |
|
. . . , Хп) '• |
|
|
Ѳ = |
м ( Ѳ | х „ ) , |
(215) |
где M — символ математического ожидания. |
|
|
Как следует из результатов |
работ [83, 137], оценку вида |
(215) |
используют и оптимальные по точности алгоритмы подналадки.
§ 18. О П Т И М А Л Ь Н Ы Е ПО ТОЧНОСТИ АЛГОРИТМЫ П О Д Н А Л А Д К И СТАЦИОНАРНЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Формула (195) дает общее представление о технологическом процессе. Случайная составляющая этого процесса образуется как сумма двух последовательностей {и.я } и (п=1, 2, . . . ) . В за висимости от статистических характеристик последовательности
159
{цп} технологические процессы разделим на стационарные и не стационарные. В данном параграфе построим оптимальные алго ритмы подналадки для двух классов стационарных технологических процессов, в следующем — для нестационарных.
I . Управление технологическим процессом с корреляционной
функцией Кц (т) = |
ѳ | т 1 |
• Процесс этого типа является марков |
||||||||
ским [145] и стационарным |
[72]. |
Для |
этого |
процесса |
переходная |
|||||
плотность имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1-1 |
|
1 |
exp; |
— |
, |
(216) |
|
|
|
|
|
|
||||||
где r = |
е~%. |
Пусть также |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- — |
exp |
|
|
(217) |
||
|
|
|
|
|
|
2з.і |
|
|
|
|
В силу |
взаимной |
независимости |
случайных величин |
(п |
= 1, |
|||||
2, . . . ) , произведение плотностей имеет вид |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
exp |
(X. |
mt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2s; |
|
|
|
|
|
|
|
s? ( 2 . ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(218) |
Подставляя выражения |
(216) |
— (218) |
в формулу |
(213), |
полу |
|||||
чаем |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2л-И |
|
Г* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
, |
з , ( 2 я ) |
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
''n |
|
|
|
|
У |
exp |
А |
|
|
|
si=l- |
(xi — ml — u-i — £//)2 |
X |
||
|
|
2а.2 |
(=1 |
|
|
2a? |
|
|
|
|
|
|
^ |
' |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X |
^ „ t / u f t |
. . . |
<af(i,„. |
|
|
|
(219) |
Сразу же сделаем оговорку. Размеры реальных изделий изме няются лишь в конечных пределах; поэтому введение бесконечных пределов в выражение (219) сделано лишь для удобства расчетов. С другой стороны, известно, что нормальное распределение в бес конечных пределах с какой угодно точностью может быть аппрок симировано нормальным распределением, но с конечными преде лами.
Производя в формуле (219) интегрирование в соответствии с ме тодикой [102] и дифференцируя полученный результат по Un, нахо-
160
дим величину оптимального уровня настройки инструмента перед выпуском п-то изделия:
|
иѣа = |
-mn |
— 2s-, |
|
|
(220) |
где qn и p n — величины, |
определяемые с помощью |
рекуррентной |
||||
процедуры: |
|
|
|
|
|
|
Р П = |
А |
|
|
|
|
(221) |
|
г |
р п _ 1 + ß. r + • 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 а;2С |
|
|
|
|
|
|
1 |
\ , |
Х п - \ |
(222) |
|
|
|
2з?/>„-і |
I |
£ |
|
|
2(1 |
— г*\ |
<, |
|
|
(223) |
|
|
|
|
|||
вспомогательная величина, зависящая от статистических характе ристик процесса. При п = 1, qx = 0
1
Pi = — г -
2 ^
Таким образом, величина оптимального уровня настройки ин струмента выражается рекуррентно через составляющие qn и р п , связанные с аналогичными величинами, отнесенными к предыдуще му изделию, и через поправку, зависящую от размера предыдущего изделия. Выбор величины оптимального уровня настройки произво дится с учетом всей информации, накопленной к моменту подачи очередного подналадочного импульса.
В соответствии с выражением (220), величина подналадочного импульса для гс-го изделия может быть выражена через соответст вующие уровни настройки:
« : = " ; - |
к |
- , = |
- « - |
i (f |
- |
y |
= 4 |
(224) |
Анализ выражения |
|
(221) |
показывает, |
что |
последовательность |
|||
{рп} с ростом номера |
n |
монотонно |
возрастает |
до |
какого-то |
преде |
||
ла. Следовательно, при достаточно большом номере п величина р п
достигает некоторого установившегося значения р у с . |
Очевидно, |
|
при п-*-оо |
|
|
рус = |
lim ps =r- lim ps-\. |
(225) |
Подставляя выражение (225) в формулу (221) и решая квадрат |
||
ное уравнение относительно |
р у с , находим |
|
|
+ * + |
( 2 2 6 ) |
1 1—2891 |
161 |
где
d=
Вустановившемся режиме оптимальный уровень настройки технологического процесса равен
^ - - ' « - о - і г - |
( 2 2 7 ) |
В данной главе систематическая составляющая /„ считается де терминированной известной функцией времени. Поэтому ее компен сация может быть выполнена обычными методами [38]; в дальней шем рассмотрим лишь вопросы, связанные с компенсацией функ циональной случайной составляющей. Обозначим через Un* ту часть уровня настройки (227), которая учитывает случайную со ставляющую,
|
и'п = - г ^ |
(* = 1. |
2. |
• • • ) • |
(228) |
|
ЛРуС |
|
|
|
|
Из формулы |
(222) следует, что в установившемся режиме |
спра |
|||
ведливо равенство |
|
|
|
|
|
qn |
= а0<7„_і + 60 х„_і, |
(я = |
1, |
2, • • • ), |
(229) |
где а0 и bo — некоторые коэффициенты, |
зависящие |
от статистиче |
|
ских характеристик |
управляемого процесса. Вид их |
||
может быть найден из формулы (222). |
|
||
Из выражения (228) следует, |
что |
|
|
q„-i = - |
20'пРус. |
|
(230) |
Подставляя выражения (230) |
и (228) |
в формулу |
(229), находим |
связь между уровнями настройки (компенсирующими функциональ ную случайную составляющую) для двух соседних изделий:
|
и*п = a t / L i + |
fccn-i, |
(231) |
|
где а = а0, о — — |
—-. |
|
|
|
Коэффициенты а и b связаны со статистическими |
характерис |
|||
тиками управляемого процесса соотношениями: |
|
|||
а |
- ( т - Щ 1 |
+ |
і £ г } |
< 2 3 2 ) |
|
' р |
^ - — \. |
(233) |
|
|
2з?Рус |
|
|
|
162
При пренебрежимо малых износах (maO) формулы (231) — (233) являются основой оптимального способа автоматической под наладки технологического процесса. В соответствии с этим спосо бом измеряют размеры каждого изделия, а величину и знак уров
ня настройки инструмента |
выбирают |
совпадающими с |
величиной |
|
и знаком суммы предыдущего уровня |
настройки и отклонения раз |
|||
мера предыдущего изделия |
от заданного уровня, взятых |
с постоян- |
||
|
|
г=0,1 |
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
0,9 |
|
|
1,0 |
5 |
10 |
15п |
|
О |
|
|||
Рис. 63. Графики зависимостей ß „ от |
п |
|
||
ными коэффициентами, устанавливаемыми в зависимости от стати стических характеристик управляемого процесса 1 .
Конструктивные вопросы реализации данного способа подналад ки рассматриваются в гл. X I I .
Подставив соотношение (220) в выражение (219) и проинтегри ровав получившееся выражение по (хп-и Un-\), определим величи ну дисперсии управляемого процесса при оптимальном по точности способе подналадки:
+ |
( 2 3 4 ) |
где величина рп определяется по формуле (221). Физический смысл дроби 1/2 рп — вклад, вносимый функциональной составляющей u„. Графики зависимостей Dn* от п при а? —<т£ = ] и различных зна чениях г приведены на рис. 63.
В установившемся режиме
|
D* = |
о? + |
а2 |
|
~ |
. |
(235) |
|
ус |
. • |
V- |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 4- d)+ |
- f ( d - l ) |
|
|
Приведем |
ряд частных случаев. |
|
|
|
|||
1. Пусть |
функциональная |
составляющая |
образует |
последова |
|||
тельность независимых |
случайных величин (г = 0). Тогда |
||||||
|
|
ус |
С 1 (л |
|
|
|
|
2. Функциональная составляющая цг а является случайной вели чиной (г — 1). Тогда
D* = а ? . ус С
Авторское свидетельство № 305342. Бюллетень изобретений, 1971, № 18.
11* |
163 |
