Файл: Регулирование качества продукции средствами активного контроля..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 198

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Таким образом,

при п-^оо D n *

стремится

к установившемуся

значению

 

 

 

 

 

 

 

D*

=а2

1 +

г = - 1 —

 

(249)

 

 

ус

 

 

 

 

В частном

случае, когда

сг£->0

 

 

 

 

 

 

D*

 

 

(250)

Как и в § 18, формулу

для оптимального

уровня

настройки

(244) можно записать (при компенсированном тренте),

в рекур­

рентном виде:

 

 

 

 

 

 

где

 

1

 

1

 

 

 

а

•2з;

 

 

 

2 / Ѵ

%Рус + -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ъ =

2а*-

 

 

 

 

 

43Ï

-'ус

 

 

a величина р у

с определяется по формуле (248).

 

технологи­

Таким образом, для стационарных и нестационарных

ческих процессов удалось построить оптимальный по точности ал­ горитм определения уровня настройки. Этот уровень определяется формулами (220), (238) и (244), имеющими один и тот же вид и от­ личающимися лишь коэффициентами.

Из формул (222), (239) и (246) следует, что оптимальный уро­ вень настройки во всех рассмотренных случаях является линейной функцией результатов измерений размеров изделий. Это не случай­

но

и является

следствием того

факта, что при квадратичном кри­

терии качества

и гауссовских

случайных

сигналах

оптимальной

в

среднеквадрэтическом смысле оценкой

случайного

дискретного

процесса является линейная оценка [123]. Такой оценкой на каж­ дом такте служит условное математическое ожидание случайной

величины, найденное по результатам измерения

на предыдущих

тактах. Эту оценку и определяет дробь вида qnl2pn

в соответствую­

щих формулах.

 

§ 20. С У Б О П Т И М А Л Ь Н Ы Е А Л Г О Р И Т М Ы П О Д Н А Л А Д К И

Оптимальные (в смысле минимума дисперсии) алгоритмы под­ наладки с фиксацией текущих размеров изделий, рассмотренные в предыдущих параграфах, были построены в предположении, что на способ измерения изделий сам подналадчик не накладывает ни­ каких ограничений. Если на структуру исполнительных или измери­ тельных устройств накладываются какие-либо ограничения, возни­ кает задача синтеза субоптимальных алгоритмов.

168

Ряд субоптимальных алгоритмов управления технологическим процессом исследован в работе [83].

Пусть технологический процесс удовлетворяет соотношению

хп = тп + \>.я

(п = \, 2, . . . ) ,

(251)

где m > 0, а {и,„} — последовательность случайных величин с не­ зависимыми приращениями, распределенных по нормальному зако­ ну со статистиками (0; а 2 п).

По условиям технологического процесса требуется, чтобы в ре­ зультате большого числа подналадок, осуществляемых с заданной средней частотой 1/Г, размеры возможно большего числа изделий попали в поле допуска [—А; А]. Подналадкой считается полное вос­ становление первоначальных (оптимальных) условий. При этом фиксируется только средняя частота подналадок, так как автомати­ ческие линии в настоящее время имеют бункерные устройства, и по­ тому можно целенаправленно варьировать сам момент подналадки.

Пусть

Ѵ

(

г ) \ 1

при M

< А ;

( 2 5 2 )

 

 

[0 при I z I > А .

 

Введем случайную

величину

 

 

 

 

•'i(n)=j]V(xs)

 

(253)

 

 

 

5-1

 

 

и последовательность хп

= (хи х2, ...,

хп).

изделий, размеры

Случайная величина

г\ (п)

определяет число

которых попали в поле допуска [—А; А].

 

Пусть ô — правило, определяющее

решение о подналадке по ре­

зультатам наблюдения

 

последовательности xn-i,

a ѵ (б)—-случай­

ная величина, равная числу изделий, изготовленных между двумя соседними подналадками.

Требуется найти оптимальное правило о*, для которого

 

sup lim " ! 1 1 ( я

) | 8 } . = l i m

^ ( * > l 5 * i = P < 1,

(254)

[6:ЛЬ = 7"} л->-°°

H

n->oo

n

 

 

где M — символ математического ожидания.

 

Физический смысл критерия (254) — минимизация брака

между

подналадками.

 

 

 

 

 

Из теории восстановления [136] следует, что

 

lim м

' ^ 1

* 5 *' М ѵ = ^

= М п ^

==М 7 І (ѵ)

 

t->oo

 

t

Мч

T

 

так что достаточно

найти

 

 

 

sup

М{т)(ѵ) I S, Mv = T) =

M { i j ( v ) I 3*}.

(255)

/8:ЛІѵ = Г!

169

С помощью множителя Лагранжа с последняя задача сводится к задаче о безусловном экстремуме функционала

 

 

 

sup M {rt (v) — cv

I 5, x0

— 0] =

 

 

(256)

при 0 <

с <

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя

методы

динамического

программирования

 

[146],

молено показать, что величина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!*(х) = sup M {-rj (v) — cv I S, xb=

x],

pe = p*

 

(257)

удовлетворяет

интегральному

соотношению

 

 

 

 

p(x)

max

0; V(x)

— c +

 

1

\ exp

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

К

\

'

 

 

 

 

X

p (y)

dy

 

 

 

 

(25S)

из которого

следует,

что Q (x) >

0 для

a <

x <

ß, и Q (x)

= 0

при

x ^ ß , x ^ a ,

a > 0, ß <

0, где a и ß подналадочные

границы.

 

 

При этом в работе

[83] утверждается,

что оптимальное

правило

состоит в следующем: в каждый момент времени п решение о под­

наладке принимается по отклонению хп-і

предыдущего

изделия;

если х-п-і < a

или

x n - i > ß,

то

подналадка

производится;

если

a ^ X n - i ^ ß ,

то подналадка

не производится.

 

 

 

После подналадки управление процессом возобновляется по то­

му же правилу.

границы а

 

 

 

 

 

Подналадочные

и ß найдены

в работе [83]

прибли­

женно, в предположении малости отношения т/о ѵ и равны

 

 

a = <ѴѴ T

Л*

ß = — о,,

y'T

m.

 

(259)

-—

-m;

 

 

 

 

 

 

 

2a?

 

 

При этом

доля

изделий

с отклонениями

размера внутри

поля

допуска [—А; А] равна

 

 

 

 

 

 

 

Р

=

-2Т

при

3 - ; Г > А ^ ;

 

(260)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ПрИ

з 2 Г < Д 2 .

 

 

Заметим еще раз, что в рассмотренном выше алгоритме подна­ ладка сводилась к восстановлению исходных условий.

Второй алгоритм подналадки, рассмотренный в работе [83], со­ стоит в следующем. В каждый момент времени п производится под­

наладка процесса по результатам наблюдения последовательности

—>

А'п-і. Основное отличие этого алгоритма от способов, рассмотрен­

ий

ных в работах [34, 53], состоит в ограничении на исполнительное устройство: предполагается, что управляющий импульс и принад­ лежит фиксированному множеству Q (и) импульсов. Кроме того, предполагается, что подналадка импульсом и связана с затратами

с(и), 0

< с ( и ) < 1; которые тем больше,

чем больше величина

им­

пульса,

т. е. f ( « i ) < c ( a j ) при | И І | < | И 2

| ; с {и) =с(—и),

с(0)

= 0.

Предлагаемый алгоритм отвечает идее управления технологи­ ческим процессом с помощью малых импульсов. Требуется возмож­ но дольше удерживать последовательность {хп} (п = 1, 2, . . . ) внутри интервала [—А; Д] при возможно меньших затратах на уп­ равление, т. е. найти оптимальное правило Ô*, для которого

sup УМ {ѵ— 2 с [ « ( п ) ] I о] = У И і ѵ — 2 с [и(п)\

I 3*] = р ,

(261)

где V—момент первого выхода последовательности

{х„} за

грани­

цы [—Д; А];

 

 

и (п) — величина импульса подналадки в момент п.

 

 

Если считать, что на каждое изделие, размеры которого принад­ лежат полю допуска [—А; А], приходится единица стоимости, то ве­ личину р. можно интерпретировать как максимальный чистый сред­

ний доход, т. е. доход от готовой

продукции

за

вычетом

стоимости

управления.

 

 

 

 

 

 

 

 

Анализ такого

алгоритма управления

процессом

(251)

пока­

зал, что структура

оптимального

правила

ô * целиком определяется

поведением функции с (и), и^О.

Если

с (и)

возрастает «сравни­

тельно быстро», как функция и,

то используется

все

множество

Q (и) управляющих импульсов, в противном

случае — только

край­

ние значения: и =

0 и и = итях.

Конкретный

смысл

«сравнительно

быстро» разъясняется в работе [83].

 

 

 

 

 

 

Отметим, что оба алгоритма предполагают измерение всех изде­ лий подряд, а решение о подаче импульса принимается по резуль­ татам измерения лишь последней детали. Это объясняется свойст­ вом марковости управляемого процесса (251) и справедливо лишь при малых интенсивностях собственно случайной составляющей.

При наличии существенной собственно случайной составляющей технологического процесса приходится прибегать к управлению по

усредненным

показателям.

 

 

 

 

 

В работе [137] построен алгоритм управления

технологическим

процессом в предположении, что смещение

размерной

настройки

станка можно

рассматривать

как

последовательность

скачков,

скрытых в помехах (т. е. в собственно случайной

составляющей).

В основе анализа этих алгоритмов

лежит так называемая «теория

разладки» — один из современных разделов

математической ста­

тистики [154].

 

 

 

 

 

 

В качестве модели технологического процесса автором прини­

мается соотношение

 

 

 

 

 

 

dy(t) = [T\{t)

+ u(t)]dt-+dr,(t).

 

 

(262)

171

где

г) (/) — марковский

процесс, характеризующийся

потоком скач­

 

ков (разладок) с интенсивностью X

(t);

 

 

и ({) —поток управляющих воздействий со значениями из со­

 

вокупности

Q (и) =

{0; ±d;

±2d,

...};

 

 

Ç (/)—случайный

процесс

с

независимыми

приращениями

 

и статистиками M (At,)

=

0;

M (At,)2 = a2

At.

Сумма двух процессов л (і) + и

(t)

представляет

собой марков­

ский

процесс, являющийся скрытой

 

историей

производственного

процесса.

 

 

 

 

 

 

 

Предполагается, что размеры изделий

определяются точно, а ре­

шение о подналадке принимается на основе всей имеющейся ин­ формации (уп, ип). Задача синтеза оптимального алгоритма уп­ равления сводится к нахождению правила б, обеспечивающего ми­

нимум средних потерь на

протяжении

отрезка времени Г < оо:

 

 

 

т

 

 

 

 

R};

=

inf±r\MXA(yt)dt,

 

 

(263)

 

 

 

'о

 

 

 

где M — символ математического ожидания.

 

В качестве

функции потерь %А принимается стоимость брака в

вырабатываемой продукции:

 

 

 

 

х _

/ ° '

-Аа<у,<Ас,

 

 

XAU/t)-[Ct

 

A * < \ y t \ .

 

 

Помимо

оптимальной

стратегии,

автором

предлагается

и е-оптимальная, совпадающая с оптимальной стратегией о* при малых и средних управляющих импульсах и использующая измере­ ние лишь последнего изделия — при больших подналадочных им­ пульсах.

Своеобразный способ подналадки, названной автором «пульси­ рующей», был предложен в работе [152]. Сущность предлагаемого метода состоит в том, что подналадочная граница проводится по середине поля допуска, а импульс, постоянный по величине, подает­ ся на каждом шаге, причем его знак противоположен знаку откло­ нения размера очередной детали от подналадочной границы.

К недостаткам метода следует отнести возможность появления «ложных» подналадок.

К сожалению, автор не исследовал потенциальных возможностей этого метода в достаточно широком объеме.

Все рассмотренные выше алгоритмы были построены в предпо­ ложении о том, что размеры изделий контролируются в моменты выхода их из зоны обработки, а запаздывание равно нулю. Однако в ряде случаев измерительное устройство из конструктивных сооб­ ражений располагают вне зоны обработки изделия. В этом случае оптимальный уровень настройки перед обработкой произвольного п-го изделия определяется лишь по результатам измерения разме­ ров предыдущих (п — t—1) изделий, где т — период запаздыва-

172

Смотрите также файлы