Файл: Регулирование качества продукции средствами активного контроля..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 203
Скачиваний: 0
иия, равный сумме интервалов времени, затраченных на обработку изделий от момента (п — т — 1 ) до момента ( п — 1 ) . Естественно, возникает задача синтеза оптимального по точности алгоритма уп равления, построенного с учетом запаздывания на контроль т. Тео рия дуального управления [146] позволяет полностью решить эту задачу.
Предположим, что поведение технологического процесса описы вается формулой (195), а все предположения о поведении отдель ных составляющих модели (195) сохраняются.
При запаздывании операции контроля на т циклов уровень на стройки перед обработкой п-го изделия определяется как функция
последовательности измерений размеров изделий хп—-.—і и уров ней настройки «„_j:
Un = Un ("л-!, ХП--.-1 ). (264)
Дисперсия отклонений |
размеров изделий |
при наличии запазды |
||
вания и оптимальном алгоритме подналадки |
(см. § |
17) вычисляет |
||
ся по формулам, аналогичным (199) — (213), |
и имеет в данном |
слу |
||
чае вид |
|
|
|
|
D„ = j х*Р(хп I U„, |
/„) • "~П*Р(Хі |
I Ii,-, Ult |
Ii) -РЫ |
X |
Q(x„, Хя _т-!. V„, Pn—.-l, Ü„)
X P (fi„ I Vn-.-i ) • ПУГ'Р^І |
I iït-ù • П Г,, 2. |
(265) |
Оптимальный уровень настройки определяется из условия ми нимума по ип функции
ап |
= j |
х*Р (хп ! Un, |
?л, /„) • "TT1 P (xt I |
I/,, /,) |
• Р Ы |
X |
|||
2 (хт |
!*„, ^л-т-і |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х Я ( ц „ | |
) • І Г Р |
(І», I |
__. |
|
|
(266) |
|
Рассмотрим синтез оптимального алгоритма подналадки при на |
|||||||||
личии запаздывания на примере стационарного |
технологического |
||||||||
процесса с корреляционной функцией /Сц(т ) = |
1 . |
Для |
это |
||||||
го процесса |
переходная плотность Р |
(|хт е | \іп—.-\ |
) имеет |
вид |
|
||||
|
|
|
1 |
f |
Obi — r ' + V n - x - i ) 2 |
| 2 |
|
. |
|
|
|
_ _ _ _ _ _ _ _ |
E X P |
|
|
} . |
|
(267) |
|
|
Ѵ У |
2 r . ( l - r 2 ^ + " ) |
I |
2 c 2 [ l _ r 4 " ' |
|
|
|
|
173
Остальные плотности в формуле (266) совпадают с соответст вующими выражениями (216) — (218), где г = е ~9.
Оптимальный уровень настройки, найденный в результате мини мизации ап по Un, равен
U;, = — mn — |
|
(268) |
|
2Рп |
|
|
|
где характеристики |
|
|
|
|
9'2 |
(269) |
|
2 , 2 | l - r ^ + 1 ) j |
Рп-т-Х |
||
|
Яп
Рп-х-І
r x +J
2 о 2 [ ! _ , * + ! , ]
выражаются через величины:
|
fr« |
|
3c |
P l - l |
i ) ; |
|
||
|
2 < £ ( 1 - / * ) |
|
i |
1 |
; |
2s? |
2 < £ ( 1 - / * ) |
2a; .1 |
Как и ранее, формулу (268) можно представить в рекуррентном виде.
Минимальная дисперсия находится из формулы (265) после под становки в нее ип* и интегрирования по соответствующим величи нам:
|
|
1 |
|
|
|
2р„ |
|
При п-*-оо |
величина Dn* |
стремится |
к установившемуся значе |
нию Ь * у с - , равному |
|
|
|
D ус т |
1 |
(270) |
|
|
|
62 |
|
Сравнение |
формул (235) |
и (270) показывает, что при всех т > 0 |
|
|
|
Лу,-->/)уе, |
(271) |
что объясняется наличием запаздывания.
174
В частности, при о / |
> о ? |
|
из формулы (270) |
находим |
|||
|
|
|
DyCz |
= |
о2 [1 _ г 2 ( , + і)]. |
(272) |
|
Так как /- < |
] , то |
|
|
|
|
|
|
£ > у с , — Щс |
= |
о* (гг — r 2 « ^ " ) |
> 0 при |
всех т > 0. |
|||
Формула |
(270) |
позволяет |
оценить |
эффективность подналадоч- |
|||
ной системы |
в зависимости |
от статистических |
характеристик про |
цесса и величины запаздывания. Одновременно это выражение оп ределяет верхнюю границу точности ведения технологического про цесса при наличии запаздывания операции контроля.
§ 21. С Р А В Н И Т Е Л Ь Н Ы Й А Н А Л И З МЕТОДОВ Р Е Г У Л И Р О В А Н И Я С ФИКСАЦИЕЙ ТЕКУЩЕГО И П Р Е Д Е Л Ь Н О Г О РАЗМЕРОВ И З Д Е Л И И
Точность управления технологическим процессом при фиксиро ванных предельных размерах изделий определяется рядом факто ров, и прежде всего выбором сигнальных границ. Как показано в работе [174], выбор сигнальных границ влияет не только на частоту подналадки, но и на точность определения текущего уровня на стройки процесса. В данном параграфе излагается метод определе ния оптимального положения контрольных границ и сравниваются между собой алгоритмы управления с фиксацией текущих и пре дельных размеров изделий.
Пусть некоторая случайная величина ц наблюдается одновре
менно с последовательностью |
независимых случайных величин |
||||||
Определим |
две границы |
L 4 и L 2 , Li > |
L 2 , принадлежащие |
об |
|||
ласти изменения суммы ц + £п , « = |
1, 2, . . . |
Пусть N—объем |
|
вы |
|||
борки. Примем следующие обозначения: z + ( L i ) — к о л и ч е с т в о |
на |
||||||
блюдений, превышающих L i ; Z _ (L2 ) —количество наблюдений, |
ле |
||||||
жащих ниже L 2 . Тогда |
разность N — z+ (Li) |
—z_ (L2 ) есть |
число |
||||
наблюдений, лежащих |
в интервале [Li, L%\. Величины Li и L 2 |
будем |
|||||
называть контрольными пределами |
(сигнальными границами). |
|
|||||
В работе [174] с помощью линейного теста |
|
|
|||||
I (ах, |
аг ; |
L x , L 2 ) |
= ахг+ |
(L x ) - j - |
a,z_ (L2 ) |
|
(273) |
проверялась справедливость нулевой гипотезы Н0 : \і = 0, конкури рующей с альтернативной гипотезой Hi : цфО. В этой статье были найдены оптимальные значения а ь а2 , доставляющие максимальную эффективность тесту (273). При оптимальных значениях парамет ров а4 и а% эффективность теста (273) при выборке N — 10 оказа лась такой же, как эффективность теста, построенного по результа
там вычисления |
апостериорного среднего m величины р, при выбор |
ке объемом N = |
8. |
175
|
В работе [174] определяются одновременно контрольные границы |
||||||||||||||
Lu |
L i и параметры а ь |
а2 , доставляющие |
тесту |
(273) максимум эф |
|||||||||||
фективности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пусть |
случайная переменная X имеет |
функцию распределения |
||||||||||||
F |
(х; ц,), заданы четыре |
числа |
аи а2, |
L u |
L 2 |
, причем |
| |
ö |
i | |
+ | а 2 | > 0; |
|||||
Li |
> L 2 , |
a объем выборки равен N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Определим две вероятности |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
P + = P[X>Ll) |
|
= \-F(Li; |
|
s*) ) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
p„ = P{X<L2) |
|
= F(LZ-0; |
|
ji) |
f |
|
|
|
|
|||
|
Среднее значение случайной переменной (273) равно |
|
|
||||||||||||
|
|
|
M(l)~N(alP++aiP_), |
|
|
|
|
|
|
(275) |
|||||
где M — символ математического ожидания. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Дисперсия величины / равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a^t) |
= N[a\p+(l—p+)—-2alatp-p+ |
|
+ alP-{l |
-Р-)). |
|
(276) |
||||||||
|
Пусть |
последовательность |
{^„} |
(п — 1, 2, ... ) |
распределена по |
||||||||||
нормальному закону. Введем |
обозначения |
|
- £! |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
ф (X) = |
ф (х; |
0; 1) - |
|
|
Г в |
2 dz, |
|
|
(277) |
|||
Предположим, что последовательность |
|
имеет статистики |
(0; ! ) . |
||||||||||||
Тогда |
|
|
р + = |
1 - Ф ( £ 1 , ^ , |
1)1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 7 8 ) |
|||||||
|
|
|
|
р _ = Ф ( / . „ ц, 1) |
|
I |
|
|
|
|
|
||||
|
Простым смещением |
распределение |
Ф (д;; у; |
1) |
переводится |
||||||||||
в распределение Ф (х; у + К; 1). Поэтому в дальнейшем |
в качест |
||||||||||||||
ве нулевой гипотезы можно принять Яо : р. = 0 и изучать |
эффектив |
||||||||||||||
ность теста |
(273) относительно этой гипотезы, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
д |
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим: Ф* = Ф (Li); |
ср* = <р (Li), |
і = 1, 2. |
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
р+ Iг |
о = |
1 — Ф,; Р- I ц-о = Ф«; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
р |
|
I р.,,о = 'fі; Р _ I ц-о = тѴ |
|
|
|
|
||||||
Тест (273) в данном случае принимает вид [174]: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
I _ |
|
|
« (уі — ду2 )2 |
|
|
|
|
|
/2 79) |
|||
|
|
|
ф1 (1 _ |
ф,) _ |
2Ф2 (1 — Ф,) а + |
Ф2 (1 — Ф2 ) й 2 ' |
|
|
|
||||||
где в силу |
произвольности |
|
одного |
из коэффициентов |
сіі и а2 со |
||||||||||
вершен переход к величине а = аі/а 2 , а2ф0 |
или а = а 2 /аі, а і ^ О . |
||||||||||||||
|
Анализ |
выражения |
(279) показывает, |
что в рассматриваемом |
примере оптимальными сигнальными границами служат: L — Li — = — L 2 = 0,612. Максимальная эффективность теста при этом рав на 0,8088. Раздвижение сигнальных границ до L = ± 1 приводит к понижению эффективности до 0,7381.
176
При использовании |
одного |
предела L t (L 2 = —оо), т. е. при од |
||||
ной сигнальной границе эффективность |
составляет 2 /я = 0,6366 при |
|||||
Li = 0 и 0,4386 — при Li = 1 (напомним, |
что изучается |
эффектив |
||||
ность гипотезы (л = 0). |
Это означает, что решение о положении ц |
|||||
при N = 10 и наблюдении знаков отклонений размеров изделий от |
||||||
носительно границы Mt |
эквивалентно решению о величине ;.t по ре |
|||||
зультатам |
измерения примерно шести (при L 4 = 0) и четырех изде |
|||||
лий (при Li = 1). |
|
|
|
|
|
|
Аналогичный тест строится и для оценки дисперсии. |
|
|||||
Таким |
образом, алгоритмы |
управления |
с фиксацией |
текущих |
||
размеров |
изделий требуют для достижения |
одной и той же точно |
сти примерно в полтора раза меньшего количества измерений за счет усложнения измерительной части подналадочной системы.
Полученные оценки |
соответствуют |
модели технологического |
|
процесса вида |
|
|
|
хя= ? + |
+ U п , (п = |
1, 2, . . . ) . |
(280) |
Для простоты трент тп опущен, а функциональная |
случайная |
составляющая может считаться медленно изменяющейся функцией времени.
В том случае, когда модель технологического процесса |
имеет |
|
вид |
|
|
*„ = t*n + ^ + t f „ , |
2, . . . ) , |
(281) |
положение сигнальных границ может быть определено следующим образом.
Предположим, что {\іп}—последовательность |
марковских нор |
||||||
мальных величин с корреляционной функцией Л",«(т) = |
|
ofe—вИ1. |
|||||
Положим, для простоты |
Un = 0. |
|
|
|
|
|
|
Пусть в момент t = |
п — 1 величина хп-і |
достигла |
некоторого |
||||
фиксированного уровня L , т. е. L = ц.„_і + £n _i. |
|
времени |
|||||
Для марковской составляющей |
модели (281) в момент |
||||||
t = п можно записать [28]: |
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ-п = |
(L — -л-і) г + а,х (1 — г2) ѵ„, |
|
|
||||
где г = е~ѳ, {ѵп}—последовательность |
независимых |
нормальных |
|||||
величин с нулевым математическим |
ожидани |
||||||
ем и единичной |
дисперсией. |
|
|
||||
Тогда отклонение хп |
будет равно |
|
|
|
|
||
x n ~ ^ n J r { L |
— C„_i) г + а; і ( 1 - |
г»)ѵя . |
|
(282) |
|||
Дисперсия величины |
хп |
|
|
|
|
|
|
Dn = |
а? ( 1 -Ь г2 ) + |
а* (1 - л2 ). |
|
(283) |
|||
Дисперсия величины xn+q, |
q > |
1 равна |
|
|
|
||
D n + q = а* [1 4- г2{"+1)] |
+ |
о£ [1 - |
г 2 ( * + 1 ) | . |
|
(284) |
Формулы (283), (284) служат исходным пунктом для выбора положения сигнальных границ. Пусть поле допуска равно [—А; А].
\
12—2891 |
177 |