Файл: Регулирование качества продукции средствами активного контроля..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 206
Скачиваний: 0
цпя плана на первом этапе сводится к выбору такой постоянной координаты U, чтобы число изделий N, удовлетворяющих условию (291), было максимальным.
Из рис. 65 и неравенств (291) видно, что ширина рабочей об ласти [у2 (п) —Yt (п)] с ростом п монотонно уменьшается и при не котором п = А/щах обращается в нуль. Очевидно, N max еСТЬ МЗКСИ- мально допустимое число изделий, которое может быть выпущено без контроля или переналадки при данных предположениях о про
же Р. |
п |
из |
|
2 |
|
|
|
не |
ни |
цессе, так |
чтобы каждое |
них было годно с вероятностью |
|
||||||
Так как кривые \'і і ) |
и у |
|
(п) |
расположены |
симметрично |
отно |
|||
сительно |
оси абсцисс, |
то |
|
Л / т а х |
определяется |
из соотношения |
|||
Vi (Nmax) |
= Y2 ( Л _ а х ) . ОтСЮДЭ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
< 2 9 5 ) |
|
Далее |
предположим, |
что A2/k2a2 |
е с т ь целое |
число. В противном |
|||||
случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л ^ „ |
|
= _(Д»/Л«а»), |
|
|
(296) |
||
где Е (q) |
— целая часть числа |
q. Не следует, однако, полагать, что |
при любых значениях параметров процесса максимальный объем
первой после переналадки партии изделий N |
всегда |
равен |
|
Nmax. |
||||||||||
В общем случае Л/_а _2>Л/ |
(см., например, рис. 65). |
|
|
|
|
|
||||||||
Очевидно, выпуск изделий, годных с вероятностью Р, при дан |
||||||||||||||
ных предположениях о процессе возможен лишь в том случае, |
если |
|||||||||||||
Л т а х ^ 1, |
Т. е. |
|
|
|
А > |
|
ka. |
|
|
|
|
|
(297) |
|
Пусть |
А^ка. |
В |
этом |
|
случае |
существует |
некоторая |
координа |
||||||
та U, выводящая в рабочую область трент, |
по крайней |
м е р е , |
для |
|||||||||||
первого изделия. Действительно, |
при п = 1 неравенство |
|
(291) |
име |
||||||||||
ет вид |
_ ! |
= Д — Аа — m > £У > |
— А 7 - fo — m = U2. |
|
|
|
(298) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Так как A^ka, |
а ограничения |
на |
координату U отсутствуют, |
то |
||||||||||
эта система неравенств непротиворечива. Любая из величин Ui. |
U2 |
|||||||||||||
может быть принята в качестве искомой координаты U. Может ока |
||||||||||||||
заться, что при определенных соотношениях между А, т, а2 |
рабочая |
|||||||||||||
область существует |
при |
достаточно |
больших n {\^n^Nmax), |
|
|
но |
||||||||
координата U, удовлетворяющая условию (291) при п = |
|
1, |
недоста |
|||||||||||
точна для вывода трента |
|
в рабочую область, при некотором n > |
1, |
|||||||||||
т. е. для этих п: тп + U < |
—А + ka^n |
(рис. 66). В этом |
случае |
воз |
||||||||||
никает задача — отыскать |
такие координаты 0° (Ui^U0^U2), |
|
|
|
ко |
|||||||||
торые удовлетворяли бы |
неравенству |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
тп |
+ |
L"> > — А + ka Y |
n |
|
|
|
( |
299) |
|||
при всех целых п = |
1 , 2 , . . . , Л / т а х . |
Будем называть координаты |
U° |
|||||||||||
необходимыми |
координатами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
182
Пусть для определенного набора А, m, о2 найдена некоторая не обходимая координата U0. В этом случае максимальное число изде лий N в первой после подналадки партии равно наибольшему цело му числу, удовлетворяющему неравенству
|
|
|
|
A-ko |
|
YN |
•mN |
+ |
U°. |
|
|
|
|
|
(300) |
||||||
|
С учетом того, что УЛ/ > |
О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
N |
= E |
kz + |
V |
kW -f- 4m (Д - U») |
|
|
|
|
|
дг |
|
(301) |
||||||||
|
|
|
|
2т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Так как m > 0, то |
из |
формулы (301) |
|
следует, |
что объем |
пар |
||||||||||||||
тии N является кусочно-убывающей функцией координаты U0. Сле |
|||||||||||||||||||||
довательно, оптимизация режима управления сводится |
к |
отыска |
|||||||||||||||||||
нию минимальных |
необходимых координат |
U°m\n- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Введем функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
<|> (га) = |
rt (я) — Т |
і (га) = |
тп |
+ |
U + |
A —As ] / |
п . |
|
|
(302) |
||||||||
|
|
|
|
|
( л = 1 , |
2, |
|
;Vm „). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В соответствии |
с условием |
(299) |
координата |
U будет необходи |
||||||||||||||||
мой только в том случае, если гр (п) ЗЗгО при всех целых п = |
1, 2, |
. . . , |
|||||||||||||||||||
Лтах- В зависимости от соотношения между А, т, |
с 2 |
возможен |
ряд |
||||||||||||||||||
случаев. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1. При |
т>ко()/Г2 |
|
— 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(303) |
||||
минимальной необходимой координатой |
|
служит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Ut |
= — А + |
ко — т. |
|
|
|
|
|
|
|
(304) |
||||||
|
Максимальный |
объем первой |
после переналадки |
партии равен |
|||||||||||||||||
|
|
|
N = |
Е |
— Äo + VkW+ |
4«(2Д + m — ka) |
• Ч |
|
|
(305) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2т |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для |
доказательства |
условия |
(304) |
необходимо |
показать, |
|
что |
|||||||||||||
при всех |
п = 1, 2, . . . , |
Л/щах имеет место |
неравенство |
гр (п) |
— тп |
+ |
|||||||||||||||
+ |
Uz + |
А — keln^O. |
Справедливость этого |
неравенства при |
n = |
1 |
|||||||||||||||
вытекает |
из условия (304), а при п^2 |
— из условия |
|
монотонного |
|||||||||||||||||
возрастания гр (/г) |
при п = |
2, 3 . . . и гр (2) ^ 0 . Максимальный объем |
|||||||||||||||||||
партии /V [формула (305)] получается из формулы |
(301) |
при подста |
|||||||||||||||||||
новке в нее 00 = Uz. |
Данный случай иллюстрируется рис. 67, а, |
б, |
|||||||||||||||||||
на |
которых приведены |
графики |
зависимостей |
Vi (и), уг (п), |
ц |
in) |
|||||||||||||||
и |
гр (п) |
от |
п при U°m\Ti |
= Uz, m = |
/го, |
А = |
5 fccr. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Вернемся к функции |
гр (п). |
Ее единственный |
|
минимум |
лежит |
|||||||||||||||
в точке |
|
|
_ |
|
|
я* = |
£ 2 а 2 /4т 2 . |
|
; |
|
|
|
|
|
(306) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
При |
/ я > * з ( | А 2 — 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
л * < 1 / 4 ( 3 - 2 |
| / ~ 2 ) . |
|
|
|
|
|
(307) |
183
Из |
формулы (302) |
следует, что при U°min |
= |
U2 и rn^ka (~\I2—1) |
n*Œ[0; |
3 / 2 ] , aij] (n*) |
< 0. Следовательно, |
в |
данном случае в точ |
ке п *, а вследствие непрерывности гр (п) и в некоторой ее окрестно сти условие (300) нарушается. Это, однако, несущественно, по скольку определяющим фактором служит поведение функции г|) (п)
при целочисленных значениях аргумента, |
а в данном случае |
||||||||
|
<|>(1) = |
0, - Н 2 ) > 0 , |
ф ( я ) > 0 , |
(я = |
3, |
4, |
. . . ) . |
|
(308) |
Из |
условия |
(308) также |
следует, |
что |
|
при |
U°min = U% |
||
и in^ko |
(У2—1) область значений п, в которой |
ѵ|з {п) < |
0, |
занима |
|||||
ет менее одного такта. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Однако при некоторых соотношениях между Д, m, о 2 |
координата |
||||||||
U2 уже |
не является необходимой. В частности, при m < |
ko |
(]/2—1) |
||||||
или, что то же самое, при п* > |
1/4 (3—2У2) |
и U = |
£/2, |
по |
крайней |
-,5*5
Рис. 67. Характеристики плана контроля при значительном тренте
мере, -ф (2) < 0. В этих |
условиях |
возникает |
задача |
об |
отыскании |
||||||||||
необходимых координат U°mül, |
отличных от U2. В зависимости от со |
||||||||||||||
отношений между Д, т , о2 |
возможны следующие |
случаи: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
а) |
п* > |
/ Ѵ т а х |
= |
Д % % 2 , |
|
|
|
|
(309) |
|||
т. е. минимум ij) (n) |
лежит |
за |
пределами отрезка |
[0; Nmax] |
или |
сов |
|||||||||
падает с его правым |
концом; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
б) |
• |
|
_ _ |
< |
n* < |
уѴг а а х , |
|
|
|
(310) |
|||
|
|
|
|
4 (3— 2 У |
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т. е. минимум лежит внутри этого отрезка. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ранее предполагалось, |
что |
A^ko |
|
и ІѴШ ах— целое |
число. |
Так |
||||||||
как |
1/4 |
(3—2]/2) < 1,5, |
то |
при |
всех |
|
целых |
|
Nm&x |
> |
1 |
неравенст |
|||
во |
(310) |
непротиворечиво. |
Ситуация |
/ Ѵ т а х |
= |
1 охватывается |
фор |
||||||||
мулами (303) — (305). |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Для |
того, чтобы |
« * ^ = / V m a x , |
необходимо |
и достаточно |
следую |
|||||||||
щее условие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
m<Ļca /2A. |
|
|
|
|
|
(311) |
184
Справедливость |
формулы |
|
(311) |
вытекает |
из |
равенств |
||||||||||||
п* = |
k2a2l4tn2 |
и Nmax |
= |
A2/k2o2 |
|
с учетом того, что А > |
0 и m > |
0. |
||||||||||
2. При m<^k2o2l2A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(312) |
||||
минимальной необходимой координатой |
служит |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
U°mn |
= |
-mAW-S. |
|
|
|
|
|
(313) |
||||
Максимальный объем |
первой |
после |
переналадки |
партии |
равен |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N = N ^ ^ . |
|
|
|
|
|
(314) |
|||||
Этот случай иллюстрируется графиками рис. 68, на котором при |
||||||||||||||||||
ведены |
зависимости |
уі(п )> Уг{п), |
|
т\(п) от п при L / 0 m l r i |
= |
—mA2 /k2 az , |
||||||||||||
А = 5ka, |
m |
= |
0,1 ko. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
При |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/га ( ] / ^ — 1 ) > m > |
6Ѵ/2Д |
и |
я* = |
/г2 о2 /4т2 — |
|
(315) |
|||||||||||
целом |
числе, |
минимальной |
необходимой координатой |
служит |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
^ , „ = - А + ^ - |
|
|
|
|
(316) |
|||||||
Максимальный объем |
первой |
после |
переналадки |
партии равен |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—k- + |
2 l/2/пД |
|
|
|
|
(317) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иллюстрацией служат графики зависимостей уі (п), у2 (п), г\ (п) |
||||||||||||||||||
от п при £/°т 1 г 1 = —А + |
(fc2 02 /4m), |
А = 5ko, m = О,25&0 |
(рис. |
69). |
||||||||||||||
Пусть теперь ft*— не целое |
число, |
хотя |
по-прежнему |
1/4(3 — |
||||||||||||||
—2У 2) < п* < Л^тах- |
Так |
как |
нас |
интересуют |
значения |
функции |
||||||||||||
ар (п) |
лишь при целых |
п, |
то в этом |
случае можно допустить, |
чтобы |
|||||||||||||
гр (п*) |
< |
0. |
Методика |
выбора |
|
двумерного |
вектора |
|
управления |
|||||||||
( ^°тш; N) сводится к следующему: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
находят точку минимума п* = |
|
k2o2/4m2; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
вводят два целочисленных |
значения: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
УѴІ = |
£ ( П * ) ; |
N , = |
#, - 4 - 1; |
|
|
|
(318) |
||||||
вычисляют гр (ІѴІ) |
и яр |
(N2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
находят |
координату |
U°min, |
|
удовлетворяющую условию |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
m i n ^ N j ) , |
<b(N2)] = 0; |
|
|
|
|
(319) |
|||||||
4. |
Максимальный |
|
объем |
партии N находят из формулы |
(301) |
|||||||||||||
при подстановке в нее значения |
U = |
[/Vin- |
|
|
партии N*, |
|||||||||||||
Интерес |
представляет |
также |
зависимость |
объема |
||||||||||||||
где N = Е (Л/*), от параметров случайного процесса т, |
а2. Эта за-, |
|||||||||||||||||
висимость |
является |
одной из |
характеристик |
плана |
управления и |
|||||||||||||
контроля. |
(Вообще говоря, |
число Л/ зависит |
также |
и |
от |
величин |
"185
1S6
A , k. Но в реальных |
условиях поле допуска |
[ — А ; А] и вероят |
|
ность брака |
1 — Р , |
т. е. число k, задаются |
жестко и определяются |
требованиями, предъявляемыми к процессу). На рис. 70 изображе ны графики зависимости N* от т / А при трех различных значениях ka/A : 0,2 (кривая / ) ; 0,5 (кривая 2); 1,0 (кривая 3). Наличие го ризонтальных участков на графиках объясняется тем, что интервал
между |
операциями |
контроля или управления не может |
превышать |
||
числа |
У Ѵ Ш А Х = |
A2/k2a2. |
|
|
|
После выпуска |
партии из N деталей |
процесс |
останавливается |
||
для контроля. Так как производственный процесс |
обладает запаз |
||||
дыванием т, то в момент времени п = N на измерительной позиции |
|||||
находится изделие с номером п = N — т. |
В соответствии с предпо |
||||
ложениями о процессе |
|
|
|
||
|
|
* Я = ^ , „ + ' ™ + :Ѵ. |
|
(320) |
|
|
хп+ч = |
£/»Іп + m (n + q) + ^ |
+ V Да„+ І . |
(321) |
|
|
|
nun |
/ 1 |
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xn+g = xn + mq 4- V |
A\xn,ri. |
|
(322) |
|
|
i = |
i |
|
|
Так как дискретный процесс {Д(х„} есть последовательность слу чайных независимых нормальных величин, то условная плотность вероятности
|
р(х1 |
|
|
I хк, |
д г А |
_ і , |
|
. . . ) |
= |
р(х, I хк) |
== |
|
|
|||||
|
= |
|
|
ехр ( - |
Г |
* |
/ |
- |
* |
» |
- |
( |
/ - |
* |
> |
" И |
||
где / > ß. |
Положим в |
формуле |
|
(322) n + q = N + s, q = т 4- s. |
||||||||||||||
Тогда выражение |
(322) может быть записано в следующем |
виде: |
||||||||||||||||
|
x x + |
s |
= хл'-т + m (х 4- s)4- 2 |
|
А а ѵ |
_ т |
+ Г |
|
|
(324) |
||||||||
Так как последовательность |
{хп} |
полностью |
наблюдаема, а ее |
|||||||||||||||
статистические характеристики |
|
известны, |
то в момент |
|
времени |
|||||||||||||
п = N единственной достаточной |
статистикой, |
полностью |
опреде |
|||||||||||||||
ляющей распределение |
величин |
|
{хь} при k > N, служит |
отклоне |
||||||||||||||
ние xN--. |
Следовательно, процедура |
контроля |
сводится |
к измере |
||||||||||||||
нию одного лишь |
(N — т)-го |
изделия. |
Пусть xN-r |
= уѵ-т , |
где |
|||||||||||||
£л'--—некоторая |
|
случайная величина |
с плотностью |
распределения |
||||||||||||||
р (С;ѵ_т ) = |
|
1 |
ex р |
|
|
|
|
|
|
2 з 2 |
(N — т) |
|
|
|
|
|||
|
о |
|
Vir. |
(N—z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По результатам измерения принимается решение о том, про должить ли процесс без вмешательства дальше или же произвести
1 87