Файл: Регулирование качества продукции средствами активного контроля..pdf

Prob (— Д <

х

у ѵ + і < А I

= • ; Л ' _ , } > Р,

(32

где

Prob {• I •} —условная

вероятность события,

стоящего

в скоб­

ках;

Р — заданная

вероятность

годности

изделий.

В принципе можно рассмотреть случаи, когда процесс не пе­

реналаживается, если с вероятностью не ниже Р гарантируется

год­

ность каждого из двух, трех и т. д. подряд

последующих изделий.

Схема анализа при этом не изменится. Из формулы (323) по анало­

гии

с выражением (298)

следует, что

соотношение (325)

выпол­

няется, если справедливо

условие

А — ks у \ + 1 — m (т 4-1) > Сл_, > — А +

- : - * o / 7 + ï — т ( - : +

1).

(326)

Prob {— А < xN+s

<

А I х,ѵ_т = R,N—. }>Р,

' (327)

(s

=

l,

2, . . . )

вания т неравенство (327) имеет место для

всех

s, 1 ^ s ^ N ^

Л / т а х =

Д 2 / £ 2 а 2 — т, если

(328)

СлЛ—s > ^тіп-

Здесь

A f m a x — максимально возможный

объем

партии, который

запаздывания т, a t/°m in — минимальная необходимая

координата,

найденная с учетом запаздывания и равная:

при

m > ko [ / г + 2 — VX + l ]

f/S.,„ = — Д Н - А в ] / ; Г + Л — m ( x + 1);

(329)

при

te

[)А + 2 — / - + 1 ] > m > №12\

(7g,i„ = — A +

ÄV/4/n;

(330)

при

m^k'2o2/2A

й°т1а

= —т —

'+т-.

(331)

Формулы

(329) — (331)

аналогичны

выражениям

(304),

(313),

(316). Поскольку

£ / Ь і п > - Д

+ * о / ; П Л - т ( х - М ) ,

(332)

то условия

(326) и (328) выполняются

одновременно,

если

Л — /г- -| -. •

1 — m (х -f-1

) > X . Y - , > t/mm •

(333)

лее, если совокупность

неравенств (333) имеет

место. Число А^,

на которое продолжается процесс, зависит

от координаты £лг -т,

и потому случайно: Ni =

A/i(£jv-t)-

торое может быть выпущено дополнительно без контроля,

опреде­

ляется как положительный корень уравнения

А — te / Г + Л ^ = m (т +

+

C.v-,

(334)

и равно

=

Л /

- ^ + l / f e 2 ° 2 + 4 m ( A - C Y _ T )

(335)

1 ~

ІА

2m

где £ (g) — целая

часть числа

q.

Так как величины k,

в, m положительны, то из формулы (333)

следует, что Nt—действительное

число, причем в силу

неравенства

(333) не меньше единицы.

После выхода Л/4 изделий процесс останавливают, вновь произ­

водят измерение одного изделия, проверяют условия

(333)

и т. д.

При первом же нарушении системы неравенств (333)

производят

переналадку, восстанавливают

исходное

состояние

процесса

U,

и все начинают сначала. Таким

образом,

для

данных

процессов

в силу их марковских свойств

п =

1. Интервалы

между

двумя

по­

Введем случайную величину

+ 1 ,

если после і-ой операции

контроля

процесс

продол­

Отсчет1

жается без переналадки;

О, если после г'-го контроля

процесс

переналаживается.

числа изделий в партии между двумя последующими пе­

реналадками

будем

вести

от момента

переналадки.

Пусть

Xjv_T = ьдг-т • Вероятность продолжения

процесса без пе­

реналадки равна в соответствии с формулой (333)

РгоЬ{/л =

1} = Prob {А — ko]/т~+Т—

m (t-1- 1) > ; . ѵ _ г >

І7».ІП} =

Я*\/ 2K(N-Z)

J

\

2 * ( N - z )

j

u m ln

Так как А — ka^г

+

1 — m (т + 1) >

то Prob {за = 1}

и, следовательно, всегда имеется некоторая

ненулевая вероятность

продолжить

процесс

после

первого

наблюдения без его перена­

ладки.

Пусть ХІ — 1- Тогда

процесс продолжается

без наблюдений еще

на случайное число

У Ѵ 4

изделий.

Если хі = 0, т. е. £ JV - T > А — ke~\/x + 1 —m (т +

1) либо £ J V _ X <

< ^Ѵіп, то процесс

переналаживается, и

потому

здесь .WissO.

Математическое ожидание длины интервала контроля Ni равно

M {N,} = M { Л у 7 а = 1} • Prob {Ул

= 1},

(337)

M\Ni\

= — =

± =

[ ^ ( U - , ) e x p { -

*

X

X

l ; v - , - m (tf — т) -

f7s.In 12} d^v-x,

(338 )

где Ni (ÇN--)

определяется

формулой

(335). Аналогично

находятся

и другие моменты случайной величины Ni.

Пусть

%і =

1. Тогда процесс продолжается без

переналадки и

после выпуска Ni

изделий

вновь контролируется.

Пусть Хлт,—- =

—\

\ —

п~\

\ -1/1/2

2&(N—

t)

(340)

—

Тогда

по индукции показывается,

что вероятность

продолжить

процесс без переналадки после t-ой операции контроля

равна

Д— ka V ~ 1 — т < ~ J-1) Д—kn У-Г+Т—;n(-

I)

Р г о Ь { Х л = 1 } =

J

. . .

j

f „ 4 - , . . . ^ . v n _ - , .

(341)

с 'inUi

^ml n

Математическое ожидание длины

интервала

контроля

Nn =

= N n ( t N n

_ l - z )

равно

Д—ki V'x+1—т(-.~ 1)

Д—ka

т(-. + \)

M[N„}~

j

. . .

j

NnFnd(,*-r.

• • ^ Ч

- - '

( 3 4 2

>

"mm

"гаіл

где Nn определяется по формуле

(335) при замене ^у_-

на ÇJV

Так как интегралы

(341) и (342) не выражаются в явном

виде

через элементарные функции, то для нахождения основных

харак­

деление, среднее значение и дисперсия

суммарного

времени

ІѴ; =

k

— 2 Ni. Приведенные ниже результаты моделирования были

полу-

І=\

чены по 400 реализациям. В соответствии с теорией

метода Монте-

Карло [109] это означает, что точность

результатов

составляет 5%.

Моделировались

при k = 3, А = 15о, а = 1 три режима:

m

Функция

распределения для этого случая приведена на

рис.

71, а. Длительность

первого

после

подналадки

интервала сос­

= 3 0 .

тавляла N = 7. Средняя

длительность

интервала

между подналад-

ками

(Ns)cp

= 8,5. Дисперсия составляла Di = 1,11;

m = 0

Функция

распределения

Na

приведена на рис. 71,6.

Длительность первого

интервала

/V = 18; (N±)ср

= 32; Аг = 6,6;

, 7 5 0 .

m — 0

Функция

распределения приведена

на рис. 71, е. Дли­

тельностьs

первого

интервала составляла

N = 25, (Л/^)с р = 60,54,

,30 .

D = 17,2.

В заключение

покажем, что план контроля и управления,

удов­

(291)], является

наилучшим в классе

рассматриваемых планов,

т. е. обеспечивает

минимальную частоту

переналадок.