Файл: Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве.pdf

Установим связь поля скоростей с функцией тока. В случае потенциального (безвихревого) течения известно, что жидкость движется так, что если бы каждая ее частица отвердела, то она бы не вращалась. Но отсюда следует, что угловая скорость та­ кой частицы обращается в нуль:

т. е. имеют место условия Коши—Римана или Даламбера—Эй­ лера для действительной и мнимой части функции комплексного переменного (1.9). Следовательно, комплексный потенциал W(z) есть аналитическая функция. Производная от комплексного по­ тенциала

называется комплексной скоростью; вектору же скорости жид­ кости отвечает сопряженное значение производной от комплек­ сного потенциала:

Таким образом, всякий невихревой и свободный от источни­ ков в односвязной области G стационарный поток несжимаемой жидкости характеризуется функцией W(z), соответствующей оп­ ределенной кинематической картине движения идеальной жид­ кости.

Кривые cp=const — эквипотенциальные линии пли линии уровня, а кривые o|)=const — линии тока.

Вдоль линии cp=const нет движения жидкости, так как жид­ кость течет всюду перпендикулярно им. Обозначая составляю­ щую скорости V в произвольном направлении 5 через vs, имеем:

dx . dy l s + V y l s

8

Из (1.6) получаем:

следовательно, для линий cp (x, y) =C=const :

эквипотенциальным линиям. Этим обстоятельством и объясняет­ ся само название линий тока.

Итак, рассматриваемое движение жидкости может быть полностью охарактеризовано двумя гармоническими функциями Ф (х, у) и ар( x, у). Задача по определению движения несжима­ емой идеальной жидкости сводится к отысканию гармонической функции в некоторой области Д, которая, конечно, может ока­ заться довольно сложной.

Поэтому на практике вместо решения задачи в исходной об­ ласти ищут решение в некоторой более простой области, являю­

плоскость или круг) и пользуются тем, что при конформном отоб­

3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ФОРМЫ ЦИЛИНДРА ВЫБРОСА

При решении практических задач часто требуется определить аналитическую функцию, которая отображает заранее заданную область на одну из канонических областей, например на полу­ плоскость или на единичный круг. Как известно, простых и дос­ таточно эффективных методов отображения любой заранее за­ данной области не существует, а между тем детальный анализ выбора той или иной конструкции заряда потребовал бы реше-

Э

ния именно такой задачи. Поэтому исследование данного вопроса следует начать с изучения некоторой заданной конкретной фор­ мы цилиндрического заряда и возникающих при этом следствий,

метру (полное заглубление). Здесь рассматривается случай именно поверхностного расположения заряда. В результате пре­

ша задача заключается в том, чтобы превратить исходную об­ ласть в форме нижней полуплоскости с выброшенной частью цилиндра в более простую область при помощи конформного

!0

преобразования. Покажем, что ее можно отобразить на нижнюю полуплоскость без вырезов таким образом, что круговая грани­ ца перейдет в часть действительной оси и, следовательно, задача сведется к рассмотренному ранее случаю на рис. 2,6.

Для этого построим функцию, отображающую полуплоскость z с вырезанной круговой луночкой произвольного радиуса R на полуплоскость без вырезов £ (рис. 4, а). При нормировке

рис. 4, б эта функция будет иметь следующий вид:

в силу конформности отображения сохраняет свое прежнее зна­ чение я + ß -

11