Файл: Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве.pdf

ить

такую функцию, которая переводила

бы действительную

ось

и области \Ѵ=и-\-іѵ в действительную

ось g области £ =

Прямую линию мы рассматриваем как окружность бесконеч­

t = l +

h

=-**+!>

b

ъ

^

'

cW + d

W=u-\-iv

и отделяя действительную

и мнимую

части, получим:

£ = I + "1 = а (и -4- iv) -f- Ь _

(au -\- b) {си +

d) +

асѵг

с (и

+ iv)

+

d~

(си + d)" +

С=У2

I .

(ad — be) V

(си + rf)2 + е-о-

Отсюда легко установить, что рассмотренное

преобразова­

ние отображает действительную

ось

и =

0 на

действительную

ось т] =

0 и нижнюю полуплоскость

и < 0

на нижнюю

полупло­

скость г ) < 0 при условии

ad—йс>0.

Учитывая

также

требуе­

мое соответствие точек, окончательно

получим:

ре

(1.13)

где р = г + а

•отношение расстоянии от точки z до

точек

г = ± а (см. рис. 4) ;

0 = arg

г — а

— угол, под

которым

из

заданной

точки

z

вид­

Тогда

ны точки

z = ± a .

z — а = 1

2д

_

j

2а

_

j _

2а [(* +

о) — іу]

__

г + а

z +

a

(x +

a)+iy

2ay

(X + a)* +

у 2

1

2a {x + a)

.'0

(X+fl)»+i/*

(x

+

ay-

+ і/

Отсюда

p« =

1 —

la

{x +

a)

4aV-

=

1

4a.v

a ) 2

+

i/ 2

[(* + a ) 2 + i / 2 ] 2

+

a ) 2

+

I / 2

'

(x +

(x

tg0

2ay

У

[{х +

а у - + 1 Л - 2 а { х +

± Г ( х +

в ) 1 + ^ _ (

а )

х

+

в )

2a

ИЛИ

(x — a)°--\-if-

_

j

p- = (x + a ) 2 + г/2

г*

1

[(x +

fl)s

- { - 0 s ];

(1.14)

4a

t g ö =

2ay

(1.15)

(/2

— a2

2r* — л- — a

.V2 +

Из формулы

(1.12)

при замене переменных

(1.13)

получаем

<. - , .

(2 — o) + I T

[(2 — a) +

£т]-[a +

I T ]

a — I T

a 2

+ T 2

где

a = l

— pvcosY0;

T = pv siny0.

(1.16)

l = ga —

ay;

t\ = gx;

g =

—2ау

(1.17)

В частности, для точек оси абсцисс

(у—О):

t g 0 = O; 0 = 0; р

=

; І

^ а

у - ^ - ;

г, = 0. (1.18)

1 - P V

Ѳ = 2я — -J. (2я — 2ß) =

я + ß = const;

(1.19)

?Ѳ = я; р2 = 1 — ;

| = оѵ

; г| = 0.

Для

точек

оси ординат

(л'=0),

для

которых р = 1 :

а = 1— cosyG;

т =

sin уѲ;

g = -^- ;

(1.20)

g =

0;

il =

ay ctg - ^ - .

CT

Точка 2 (см. рис. 4), которая

лежит на дуге окружности

и па

осп ординат и для которой, следовательно, р = 1, уѲ = п;

ctg

—

= ctg-^-

, отображается в начале координат

| = 0 ,

т] =

0.

Для

точек, симметричных

относительно оси у,

т. е. для точек

Z i = . v + ü / ; 2 2 — —х-\-іу,

имеется

равенство

Р і Р я = 1 .

(1.21)

которое

вытекает непосредственно из (1.14).

Отображающую

функцию

можно представить в виде ряда.

Из

формулы

(1.12), вынося

в

каждом из слагаемых за скобку

и сокращая

затем

на z , имеем:

а \Ч

/

a

\V

I = ay ( 2 + û ) v +

( z _ a ) v

ay

а

\у

{z+a)V-(z-a)

2

Тогда для \z\ >a,

т.е. для

<

1, воспользовавшись

бипо-

минальным рядом,

получаем:

і ±

а

1 j _Y а

i T ( T - l ) ^ a J

г

±

/

Y ( T - l ) ( Y - 2 ) ^ a j 3 ,

z

2

V

Выполнив деление рядов, находим:

S = 2

1 4. T 2 - W g \ 2

( Y 2 - l ) ( Y 2 - 4 ) / a y ,

3

\ г /

32 -5

[ z J

П

( Y 2 - l ) ( Y 2 - 4 ) ( 2 у 3 - 1 1 )

, ,

32 -5-7

I

2 '

или

окончательно

(1.22)

H

, | г | > а ,

1 і т £ = 2

= о о ,

(І.22а)

г-» со

т.е. бесконечно удаленная точка при отображении

(1.12)

оста­

ется неподвижной.

а по­

При

ß =

0, когда 7 = 1 , из формулы

(1.12)

при любом

лучаем

тождественное

преобразование

л

e = z.

2

a = R

формула (1.12) приии-

При ß = —

(см. рис. 4,6), у = — ,

2

3

мает вид:

1 +

iz — R

ï

=

2i-

+

(1.24)

U + ä /

а при ß = n

(рис. 3, б), Ѵ = у . а = 0 формула

(1.12)

непримени­

—

переведем

полосу в нижнюю полуплоскость

(рис. 5,в), где указано так­

же соответствие точек. Наконец,

чтобы получить

искомое ото-

g = | + t T i = a l t ~^~b

при

условии

ad—bc>0

и определим

констаи-

cW-\- d

ты а,

Ь,

с,

ci. Потребуем, чтобы точка

А

переходила

в

точку

Ç = 0 ,

С — в точку —nR,

а С —

в точку nR.

Получаем

следую­

щие уравнения для

определе­

ния а, Ь, с и d:

1) £ ( - 1 ) =d4—^с= 0 , а = Ь; •

2К(°о) = — = - я # ,

а = - с ;

с

3) £(0) = 4а

= Я Я>

b

= d -

Поэтому

1 + е х р

f

2л/? )

I

г J

=

п

nR

В'

Л

В

С Л

Е(Е')

В1

X

*

9

я/? cth

1 — ехр

I

Итак, данную задачу

реша­

ет следующее отображение:

a ,v

£— ay

ИЛИ

(1.26)

(z +

a)

£ + ay '

z + a

\£ + ay J

откуда

1 +

(1.27)

1

І£ +

ау/

Введем

обозначения:

С — ay

=

a

где С =

a = arg

g —ay'

£ +

ay

'

Ce'

,

£ + ay

(1.28)