Файл: Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 188
Скачиваний: 0
•- '**■•' £.
- h
■д
Т Е О Р И Я В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й И М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я С Т А Т И С Т И К А
Р. Ш. ЛИПЦЕР, А. Н. ШИРЯЕВ
СТАТИСТИКА
СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
М о с к в а 1974
517.8 |
I |
ГОС |
ПУБЛГі'чЯлЯ |
|
|
Л 61 |
I НЛУЧ.-Ю-ТЕХНИЧЕСКЛЯ |
||||
I |
БИБЛИОТЕКА СССР |
||||
УДК 519.21 |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
1 1 1 9 $ |
|
|
|
? |
Ѵ - |
/ |
|
|
Статистика случайных процессов (нелинейная |
||||
фильтрация и смежные вопросы), Л и пце р Р. UL, |
|||||
Ш и р я е в |
А. Н., Главная редакция физико-матема |
||||
тической |
литературы изд-ва «Наука», 1974. |
||||
|
В монографии дается систематическое изложе |
||||
ние теории оптимальной нелинейной фильтрации как |
|||||
для |
случая дискретного, так |
и непрерывного вре |
|||
мени. Значительное место уделено вопросам приме |
|||||
нений к задачам последовательного оценивания, к |
|||||
линейной |
фильтрации (фильтр Калмана — Бьюси), |
интерполяции и экстраполяции одних компонент слу чайных процессов по другим. Приводятся основные факты теории мартингалов, на которой существен но основано изложение.
Книга рассчитана как на специалистов по теории вероятностей и математической статистике, так и на круг читателей, применяющих в своей деятельности вероятностно-статистические методы к таким зада чам, как выделение сигналов, скрытых в шумах, различение статистических гипотез, оптимальное управление стохастическими объектами по непол ным данным.
(Еч Издательство «Наука», 1974.
Роберт Шевилевич~:Липцер, |
Альберт Николаевич |
Ширяев |
|
||||||
|
СТАТИСТИКА СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ |
|
|||||||
|
нелинейная фильтрация и смежные вопросы |
|
|||||||
("Серия: «Теория вероятностей |
и математическая статистика») |
|
|||||||
|
|
|
М., |
1974 , 696 стр. |
|
|
|
|
|
Техн. редактор И. |
|
Редактор М. П. Ершов |
С. |
Плетнева, Н. Б. |
Румянцева |
||||
Ш. Аксельрод |
|
Корректоры Т. |
|||||||
Сдано в набор 10/1X 1973 г. Подписано к печати 8/11 1974 г. |
Бумага бОХЭО'/іе, тип. №2. |
||||||||
Физ. печ. л -43,5. |
Условн. печ. л. 43,5. |
Уч.-изд. л. 41,13. |
|
Тираж 10500 экз. |
Т-02957. |
||||
|
|
Цена книги 2 р. 65 к. Заказ № 785 |
|
|
|||||
|
|
Издательство «Наука» |
|
|
|
|
|||
|
Главная редакция физико-математической литературы |
|
|||||||
|
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 |
|
|||||||
Ордена |
Трудового |
Красного Знамени |
Ленинградская |
|
|||||
типография № 2 имени Евгении Соколовой |
Союзполиграфпрома |
при Государственном |
|||||||
комитете Совета |
Министров СССР |
по делам издательств, полиграфии и |
|||||||
книжной |
торговли. 198052, |
Ленинград, Л-52. Измайловский проспект, |
29 |
20203-030 Л 053 (01)-74 71-73
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................................................................................................. |
|
|
7 |
|||
Г л а в а |
1. Необходимые сведения из теории вероятностей и матема |
19 |
||||
|
|
|
тической статистики.................................................................... |
|
|
|
§ |
1. |
Основные понятия теориивероятностей........................................... |
|
19 |
||
§ 2. |
|
Случайные процессы. Основные понятия ...................................... |
|
29 |
||
§ |
3. |
|
Марковские моменты .......................................................................... |
|
|
34 |
§ 4. |
|
Процесс броуновского д ви ж ен и я..................................................... |
|
39 |
||
§ |
5. |
|
Некоторые понятия математической статистики.......................... |
43 |
||
Г л а в а |
2. Мартингалы и полумартингалы. Дискретное воечя . . . . |
46 |
||||
§ |
1. Полумартингалы на конечном временном интервале................... |
46 |
||||
§ |
2. |
Полумартингалы на бесконечном временном интервале. Теорема |
52 |
|||
§ |
3. |
|
сходимости.............................................................................................. |
|
|
|
|
Регулярные мартингалы. ТеоремаЛ е в и ........................................... |
марковских мо |
53 |
|||
§ |
4. |
Сохранение супермартингального свойства для |
57 |
|||
|
|
|
ментов. Разложения Рисса и Д уба................................................. |
|
||
Г л а в а |
3. Мартингалы и полумартингалы. Непрерывное время . . . |
64 |
||||
§ |
1. |
|
Непрерывные справа полумартингалы............................................. |
Сохранение су |
64 |
|
§ |
2. |
|
Основные неравенства. Теорема |
сходимости. |
66 |
|
§ |
3. |
|
пермартингального свойства для |
марковских моментов . . . . |
||
Разложение. Дуба—Мейера для супермартингалов....................... |
70 |
|||||
§ |
4. |
|
Некоторые свойства натуральных возрастающих процессов . . |
81 |
||
Г л а в а |
4. Винеровский процесс. Стохастический интеграл по винеров- |
|
||||
|
|
|
скому процессу. Стохастические дифференциальные урав |
91 |
||
|
|
|
нения ............................................................................................... |
|
|
|
§ |
1. |
|
Винеровский процесс как квадратично интегрируемый мартингал |
91 |
||
6 |
2. |
|
Стохастические интегралы. Процессы И то ...................................... |
|
98 |
|
§ 3. |
|
Формула (замены переменных) И т о ..................................................... |
|
135 |
||
§ 4. |
|
Сильные и слабые решения стохастических дифференциальных |
146 |
|||
|
|
|
уравнений ............................................................ |
|
|
|
Г л а в а |
5. Квадратично интегрируемые мартингалы. Структура функ |
172 |
||||
|
|
|
ционалов от винеровского процесса ...................................... |
|
||
§ 1. Разложение Дуба—Мейера для квадратично интегрируемых мар |
172 |
|||||
§ 2. |
|
тингалов ....................................................................................................... |
|
|
||
|
Представление квадратично интегрируемых мартингалов . . . . |
184 |
||||
§ 3. |
|
Структура функционалов от винеровского процесса....................... |
189 |
|||
§ |
4. |
Стохастические интегралы по квадратично интегрируемым мар |
199 |
|||
|
|
|
тингалам ...................................................................................................... |
|
|
§5. Интегральные представления мартингалов, являющихся услов ными математическими ожиданиями. Теорема Фубини для сто
хастических интегралов............................................................................ |
211 |
§ 6. Структура функционалов от процессов диффузионного типа . . |
218 |
1
4 |
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г л а в а |
6. Неотрицательные супермартингалы и мартингалы. Теорема |
239 |
||||
|
|
Гирсанова.......................................................................................... |
|
|
|
|
§ |
1. |
Неотрицательные |
супермартингалы................................................. |
|
239 |
|
§ 2. |
Неотрицательные |
мартингалы............................................................ |
|
250 |
||
§ 3. |
Теорема Гирсанова и ее обобщение................................................... |
|
260 |
|||
Г л а в а |
7. Абсолютная непрерывность мер, соответствующих процес |
|
||||
|
|
сам Ито и процессам диффузионного типа . |
....................... 271 |
|||
§ |
1. |
Процессы Ито. Абсолютная непрерывность их мер относитель |
271 |
|||
§ |
2. |
но винеровской.......................................................................................... |
|
Абсолютная непрерывность их |
||
Процессы диффузионного типа. |
277 |
|||||
§ |
3. |
мер относительно винеровской |
....................... |
|
||
Структура процессов, мера которых абсолютно непрерывна отно |
294 |
|||||
§ |
4. |
сительно винеровской меры.................................................................... |
|
|
||
Представление процессов Ито в виде процессов диффузионно |
|
|||||
|
|
го типа. Обновляющие (innovation) процессы. Структура функ |
296 |
|||
§ 5. |
ционалов от процессов И то .................................................................... |
|
|
|||
Случай гауссовских процессов........................................................... |
|
303 |
||||
§ 6. |
Абсолютная непрерывность мер процессов Ито относительно |
310 |
||||
§ 7. |
мер, соответствующих процессам диффузионного типа . . . . |
|||||
Формула Камерона—Мартина............................................................... |
|
|
323 |
|||
§ 8. |
Неравенство Рао—Крамера—Волфовитца........................................ |
|
325 |
|||
§ |
9. |
Абстрактный вариант формулы ............................................Б а й е с а |
|
329 |
||
Гла в а |
8. Общие уравнения оптимальной нелинейной |
фильтрации, |
|
|||
|
|
интерполяции и экстраполяции частично наблюдаемых слу |
342 |
|||
|
|
чайных процессов............................................................................ |
|
|
||
§ |
1. |
Фильтрация. |
Основная |
теорем а................................... |
теоремы |
342 |
§ 2. |
Фильтрация. |
Доказательство основной |
344 |
|||
§ 3. |
Фильтрация компонент диффузионных марковских |
процессов |
353 |
|||
§ 4. |
Уравнения оптимальной нелинейной интерполяции........................... |
|
356 |
|||
§ 5. |
Уравнения оптимальной нелинейнойэкстраполяции |
.................... |
358 |
|||
§ |
6. |
Стохастические дифференциальные уравнения с частными про |
|
|||
|
|
изводными для условной плотности (случай диффузионных мар |
362 |
|||
|
|
ковских процессов)................................................................................... |
|
|
|
|
Г л а в а |
9. Оптимальная фильтрация, интерполяция и экстраполяция |
378 |
||||
|
|
марковских процессов со счетным числом состояний . . . |
||||
§ |
1. |
Уравнения оптимальной нелинейной фильтрации............................. |
|
378 |
||
§ 2. |
Прямые и обратные уравнения |
оптимальной нелинейной интер |
391 |
|||
§ 3. |
поляции ..................................................................................................... |
|
|
|
||
Уравнения оптимальной нелинейнойэкстраполяции |
.................... |
396 |
||||
§ 4. |
Примеры.................................................................................................... |
|
|
|
399 |
|
Глава |
10. Оптимальная линейная нестационарная фильтрация . . . |
402 |
||||
§ |
1. |
Метод Калмана — Б ью си ...................................................................... |
|
|
402 |
|
§ |
2. |
Мартингальный вывод уравнений линейной нестационарной филь |
418 |
|||
§ |
3. |
трации ......................................................................................................... |
|
|
|
|
Уравнения линейной нестационарной фильтрации. Многомерный |
421 |
|||||
§ 4. |
случай......................................................................................................... |
|
|
|
||
Уравнения для почти оптимального линейного фильтра в слу |
|
|||||
|
|
чае вырождения матриц В ° В . |
. ........................................................... 430 |
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
5 |
Г л а в а |
И. Условно-гауссовские случайные процессы .......................... |
|
437 |
||
§ |
1. |
Предположения и формулировка теоремы об условной гауссо- |
|||
§ 2. |
вости............................................................................................................. |
|
|
437 |
|
Вспомогательные предлож ения........................................................ |
|
|
439 |
||
§ 3. Доказательство теоремы об условной гауссовости...................... |
|
446 |
|||
Г л а в а |
12. Оптимальная нелинейная фильтрация, интерполяция и |
||||
|
|
экстраполяция компонент условно-гауссовских процессов |
455 |
||
§ |
1. |
Уравнения оптимальной фильтрации.................................................... |
Совпадение |
455 |
|
§ |
2. |
Единственность решений уравнений |
фильтрации. |
|
|
|
|
о-алгебр вГ\ и с5г | 0’ w ............................................................................ |
|
|
464 |
§ 3. |
Уравнения оптимальной фильтрации |
в многомерном случае . |
. 471 |
||
§ 4. |
Интерполяция условно-гауссовских процессов................................. |
|
477 |
||
§ 5. |
Уравнения оптимальной экстраполяции............................................ |
|
488 |
||
Г л а в а |
13. Условно-гауссовские последовательности. Фильтрация и |
||||
|
|
смежные вопросы........................................................................... |
|
|
492 |
§ |
1. |
Теорема о нормальной корреляции................................................... |
|
492 |
|
§ |
2. |
Рекуррентные уравнения фильтрации |
для условно-гауссовских |
504 |
|
|
|
последовательностей ........................................................................... |
|
|
|
§ 3. Прямые и обратные уравнения интерполяции.............................. |
|
513 |
|||
§ 4. |
Рекуррентные уравнения оптимальной экстраполяции .............. |
525 |
|||
§ 5. |
Примеры........................................................................................... |
|
|
528 |
|
Г л а в а |
14. Применение уравнений фильтрации к задачам статисти |
535 |
|||
|
|
ки случайных последовательностей ...................................... |
|
||
§ |
1. |
Оптимальная линейная фильтрация |
стационарных |
последова |
535 |
§ 2. |
тельностей с дробно-рациональным спектром .................................. |
|
|||
Оценки максимального правдоподобия коэффициентов линейной |
543 |
||||
§ 3. |
регрессии..................................................................................................... |
|
|
||
Одна задача управления по неполным данным (линейная систе |
549 |
||||
|
|
ма с квадратичным функционалом п о те р ь )..................................... |
|
§4. Асимптотические свойства оптимального линейного фильтра . . 557
§5. Рекуррентное вычисление наилучших приближенных решений
|
(псевдорешений) линейных алгебраических систем.......................... |
568 |
Г л а в а |
15. Линейное оценивание случайных процессов.......................... |
575 |
§ 1. |
Винеровский процесс в широком смысле............................................. |
575 |
§ 2. |
Оптимальная линейная фильтрация некоторых классов неста |
588 |
§ 3. |
ционарных процессов............................................................................... |
|
Линейное оценивание стационарных в широком смысле случай |
593 |
|
§ 4. |
ных процессов с дробно-рациональным спектром .......................... |
|
Сравнение оптимальных линейных и нелинейных оценок . . . . |
602 |
|
Г л а в а |
16. Применение уравнений оптимальной нелинейной фильтра |
|
|
ции к некоторым задачам управления и теории информа |
608 |
|
ции ............................................................... |
|
§ 1. |
Одна задача оптимального управления по неполным данным . . |
608 |
§ 2. |
Асимптотические свойства фильтра Калмана — Бью си................... |
616 |
§ 3. |
Вычисление взаимной информации и пропускной способности |
623 |
|
гауссовского капала с обратной связью ............................................. |
§4. Оптимальное кодирование и декодирование при передаче гаус совского сигнала цо каналу с бесшумной обратной связок) . . 628
6 |
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
|
Гл а в а |
17. Оценка параметров и различение статистических гипотез |
|||||
|
|
|
для процессов диффузионноготи п а ........................................... |
|
639 |
|
§ |
1. |
Метод максимального правдоподобия для коэффициентов линей |
||||
§ |
2. |
|
ной регрессии .......................................................................................... |
для |
процессов |
639 |
|
Оценка параметра коэффициента сноса |
диффу |
||||
§ 3. |
|
зионного т и п а .......................................................................................... |
для |
|
645 |
|
Оценка параметра коэффициента сноса |
одномерного гаус |
|||||
§ |
4. |
|
совского марковского процесса ......................................................... |
|
|
651 |
|
Двумерный гауссовский марковский процесс. Оценка |
парамет |
||||
|
|
|
ров ............................................................................................................. |
|
|
658 |
§5. Последовательные оценки максимального правдоподобия . . . 667
§6. Последовательное различение двух простых гипотез для про
цессов И то .................................................................................................. |
672 |
§ 7. Некоторые применения к стохастической аппроксимации . . . |
680 |
Примечания............................................................................................................ |
684 |
Литература ............................. |
689 |