женности электрического поля резонатора:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е х — jw\>.ak2(/i'0e~i?‘z — Н 0е ^ г) |
cos |
|
kxx |
|
k2y, |
(9.1) |
È y= |
|
( Н ое’ ~^2 — |
|
|
|
kxx sin |
|
|
— |
|
|
|
//0е^г) sin |
|
c o s k 2y. |
(9.2) |
Соотношение между |
Н |
о и |
Но, |
а также значение коэффициен |
та ß неизвестны. Они определяются |
путем |
использования гранич |
ных условий на передней (2= 0) |
и задней |
(z = d |
) стенках резонато |
ра. Так как эти стенки идеально проводящие, |
то |
тангенциальные |
составляющие напряженности электрического поля на этих стенках
должны равняться нулю: |
2 |
0 |
É x= È y = 0 |
|
|
z ~ d - |
|
|
È x= È y—0 |
при |
= |
, |
при |
|
Из первого граничного условия находим, что |
Н о = Н о . |
Пользу |
ясь формулой Эйлера, а также обозначая для симметрии |
ß = &3 и |
^ Н 0= Н 0, |
получим следующие |
выражения |
для составляющих |
|
напряженности поля поперечно-электрических колебаний в прямо угольном резонаторе:
E x = |
^ ak2H Q |
|
|
kxx |
sin |
k2y |
sin |
kaz, |
|
|
É y= — |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
k3z, |
|
|
|
|
pakxH 0 |
s*n |
kxx |
cos |
k2y |
sin |
|
H x= j k |
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
|
|
akxH 0 |
|
|
kxx |
|
|
|
k2y |
|
|
kaz, |
|
Hy = |
jk ak2H 0sin |
kxx |
cos k2y cos kaz, |
|
|
H z = |
|
|
j(k 1 |
cos |
|
|
sin |
kxx |
cos |
k2y |
|
kaz, |
|
— |
|
|
-j- |
k\) H 0 |
cos |
cos |
sin |
где, как и прежде, |
|
kx = |
---- , |
k2 — |
------. |
|
|
|
|
|
|
|
ka |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
воспользуемся вторым граничным условием, |
которое дает sm& <i= 0. |
|
ka= - ^ - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
(9.4) |
Отсюда находим, |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
целое |
где в общем случае |
|
р = 0, 1, |
|
2, ... — любое |
(положительное) |
число.
При этом собственные значения задачи удовлетворяют соотно
шению |
& - |
) - ( Д з |
)2= |
£ і - [ - & 2 |
или k2= |
(9.5) |
|
2 |
|
|
Заметим, |
что в волноводе ka играет роль фазовой |
постоянной, |
т. е. £3— |
2я |
|
|
|
|
|
---- . Учитывая это обстоятельство и равенство (9.4), полу- |
^■в
чим, что при р ф 0 длина резонатора d равна целому числу полу волн
— Р - J или d = p ^ - . |
(9.5а) |
Следовательно, картина поля в резонаторе подобна картине поля в волноводе, однако в резонаторе колебаниям соответствует стоячая волна, а в волноводе — бегущая волна.
Из выражений (9.3) следует, что в прямоугольном объемном резонаторе может возбуждаться бесконечное число собственных колебаний (стоячих волн) типа ТЕтпр, определяемых значениями индексов т, п и р. При этом индексы т и п , так же как и в прямо угольном волноводе, определяют число полуволн ноля, укладыва ющихся на сторонах а я b соответственно, а индекс р — число полу волн поля, укладывающихся по длине резонатора d.
Каждому колебанию соответствует собственная длина волны, оп
ределяемая на основании |
(9.5) ( Х = К т п р ) |
соотношением [23] |
тпр |
т \2 |
П |
\2 |
(9.6) |
|
2а) |
Ь |
2d |
|
|
2 |
|
|
и собственная частота, равная
/ тпр ^тпр |
- / |
а |
26 |
\2 |
|
EfJ. ' |
т \2 |
П |
|
|
2 |
|
|
где V■— скорость распространения электромагнитных волн в ди электрике, заполняющем резонатор.
Можно определить собственную длину волны электромагнитных колебаний в резонаторе по отношению к скорости света с. Эта величина (Х°тпр) связана с найденной величиной (Хтпр) соотно шением
10 |
/ с |
— |
с , |
i / 7 7 - i |
кт п р — |
|
кт п р — ' е 11 к т п р • |
|
тпр |
|
V |
|
Следует отметить, что в объемном резонаторе без потерь собст венная частота равна резонансной частоте. У реального резонато ра собственная частота несколько меньше, чем у идеального. Как следует из (9.7), от обыкновенного колебательного контура без потерь резонатор отличается тем, что собственных частот у него бесконечное множество.
Простейшие типы колебаний в прямоугольном объемном резонаторе
Определим теперь, какие из колебаний типа TEmnp имеют са мую низкую собственную частоту (наибольшую длину волны), т. е. являются простейшими колебаниями в прямоугольном объем ном резонаторе.
Из (9.7) следует, что наиболее низкая частота соответствует наименьшим значениям индексов т , п , р . Указанные индексы одно временно не могут равняться нулю, так как в противном случае все выражения (9.3) обратятся в нуль. Наименьшие значения ин дексов, при которых выражения (9.3) не обращаются в нуль, сле дующие:
и |
т = |
1 , п = 0 , р — 1 |
(9.8) |
т — |
0, п = 1, р = 1. |
Таким образом, простейшими типами поперечно-электрических колебаний в прямоугольном объемном резонаторе являются ТЕюі и ТЕоц. Этим колебаниям соответствуют собственные длины волн
'Hoi■ |
2ad |
(9.9) |
|
1/д2 + |
dP' |
2bd
" (9.10)
У №+ d?
Подставляя в (9.3) значения индексов из (9.8), с учетом (9.4) получим для колебания типа ТЕюі следующие выражения:
Е у = — Чф |
л |
ту |
. |
лх . лг |
лх |
. лх |
а — |
|
-------S i n -------- |
—Eаqs l n a |
d |
|
/ 7 П s in |
|
-------- |
S i n -------- |
J |
• — H• , |
|
ЛХ |
Л2 |
|
J |
|
ad |
оs |
in — |
ЛХcos—-ЛZ= — |
|
|
|
л 2 . |
|
a |
|
d |
|
|
— j |
|
cos — sin — |
= |
|
|
|
— H 0 |
|
|
|
а2 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
d |
|
|
|
c |
X |
|
лх |
. лг |
|
|
|
a |
d |
|
Ei |
— sin — |
cos---- |
(9,11) |
Èü |
|
Z |
|
2d |
|
|
|
|
|
X |
|
л х |
лг |
|
|
|
|
а |
d |
|
|
|
. — |
cos — |
s in ---- |
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
• |
л |
|
|
|
где |
E 0 — |
—(«Pa— //0— максимальная амплитуда |
напряженности |
|
|
а |
— — волновое сопротивление. |
электрического поля; Z c = 'l/ |
|
|
' |
!а |
Е у |
|
|
Из уравнений (9.11) для колебаний типа ТЕюі(Нюі) видно, что |
составляющая напряженности электрического поля |
|
равна нулю |
на боковых стенках резонатора при |
|
|
Между боковыми стенками составляющая Е у изменяется по за-
/ |
а |
и |
z — |
кону синуса с максимумом в центре резонатора Іпри л := — |
|
— - y -j. Картина поля колебаний типа ТЕюі(Н10і) |
показана |
на рис. 9.5.
Магнитные силовые линии замкнуты, лежат в плоскостях, парал
лельных основанию резонатора (a X d ), и охватывают силовые ли нии электрического поля. Направления силовых линий изменяются через каждый полупериод. Картина поля колебаний типа Н<ш сход на с рассмотренной картиной поля колебаний типа Нюі, однако она повернута на 90° относительно последней.
Сделав аналогичные выводы для поперечно-магнитных колеба
ний,1 |
получим, |
|
|
что |
|
|
|
|
простейшим |
будет |
колебание |
типа |
ТМцо |
( т= |
1, |
|
п = |
1, |
|
р = |
0). |
При этом собственная длина волны рав- |
на лпо = |
|
2 |
ab |
|
■ . а составляющие напряженности электрическо- |
—— |
|
|
|
|
1 |
Cfl+ Ь2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
го и магнитного полей определяются выражениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я2 |
|
. |
J[2 \ |
• |
|
|
. |
ПХ |
Пи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)ш в;іЯ |
|
— |
|
} |
Е п |
sin ---- Sin —2- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г*т |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Е62 |
sin |
|
а |
а |
Я(/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jt |
|
|
|
cos |
|
|
(9.12) |
|
|
|
|
|
|
Н г = |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И и |
|
|
|
|
j |
|
|
а |
|
|
En |
|
|
|
а |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
у = — |
|
|
—— |
wA |
|
|
|
ТІЛС |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos — sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е —F |
|
|
|
|
|
|
|
|
-О ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= / / |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Картина поля колебаний типа ТМцо имеет вид, изображенный |
на рис. 9.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.6 следует, что |
картина |
Из формул (9.11), (9.12) и рис. 9.5, |
поля поперечно-магнитных коле |
|
|
|
|
|
|
|
баний простейшего типа |
|
(ТМц0) |
|
|
|
|
|
|
|
аналогична картине поля колеба |
|
|
|
|
|
|
|
ний типа ТЕюі. В обоих случаях |
|
|
|
|
|
|
|
вектор |
Е |
параллелен |
|
одной |
|
из |
|
|
|
|
|
|
|
осей, а силовые линии магнитно |
|
|
|
|
|
|
|
го поля расположены |
|
|
в |
|
плоско |
|
|
|
|
|
|
|
стях, перпендикулярных к этой |
|
|
|
|
|
|
|
оси. Таким орбазом, картина по |
|
|
|
|
|
|
|
лей колебаний типов ТЕюі, |
ТЕоп |
|
|
|
|
|
|
|
и ТМцо одинакова. Совпадение |
|
|
|
|
|
|
|
картины |
|
поля |
|
|
рассмотренных |
|
|
|
|
|
|
|
простейших |
|
|
типов |
|
|
колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
объясняется |
|
тем, |
|
|
что |
|
|
в |
прямо |
|
|
|
|
|
|
|
угольном |
резонаторе |
|
в |
|
отличие |
|
|
|
|
|
|
|
от волновода |
все |
|
три |
|
|
направле |
|
|
|
|
и деление волн |
на |
ния по осям |
|
X, |
у, |
|
z |
являются равноправными, |
типы ТМ й ТЕ, |
связанное с осью |
z, |
чисто условно. |
|
|
Следует отметить также, что в волноводе расстояния между |
стенками определяют лишь критическую длину волны; длина |
же |
волны, |
распространяющейся вдоль волновода, может принимать лю |
бое значение в интервале А,<А.в< °о |
в зависимости от частоты воз- |
Ä |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
= |
/крJ\ |
|
|
„ |
|
|
|
|
|
буждения |
|
точнее от — |
|
----- |
. В резонаторе линейные размеры |
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
^-кр |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X
|
1 |
1 |
1 |
1 |
! |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
і |
1 |
1 |
1 |
|
" |
1 |
! |
1 |
1 |
1 |
1 |
Рис. 9.6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
,d
определяют собственные (резонансные) длины волн и, следователь но, те дискретные частоты, на которых необходимо возбуждать резанатор.
Добротность прямоугольного объемного резонатора
Известно, что добротность любой колебательной системы опре деляется выражением
|
|
|
= ~ , |
(9.13) |
где о — резонанснаяР |
|
QW |
• *п |
частота, |
— электромагнитная энергия, за |
пасенная в системе; |
|
и |
— средняя мощность потерь. |
можно |
Таким образом, |
добротностью объемного резонатора |
назвать умноженное на резонансную частоту отношение энергии, запасенной в резонаторе, к энергии, теряемой в нем за единицу времени (т. е. к средней мощности потерь).
Обычно потери в реальном резонаторе сравнительно малы, по этому распределение в нем поля близко к найденному распределе нию поля в резонаторах без потерь. В связи с этим запасенную электромагнитную энергию можно находить, пользуясь выражения ми для полей ів резонаторе без потерь.
Из уравнений (9.3) и (9.12) следует, что между составляющими напряженностей электрического и магнитного полей в объемном ре
зонаторе имеетсяЕсдвиг по фазе на я/2. Это вытекает из того, что в |
х, |
Е у, E z |
|
выражениях для Н х, |
Н у, H zотсутствует множитель /, и, наоборот, в |
выражениях для |
он имеется. Сдвиг по фазе на я/2 меж |
ду составляющими |
напряженности |
электрического и магнитного |
полей указывает на колебательный |
(реактивный) характер энергии |
