Файл: Климентов П.П. Динамика подземных вод учеб. для геологоразведоч. техникумов.pdf

Для получения уравнения состояния сжимаемой жидкости свя­ жем изменение объема dVm с изменением плотности жидкости dp, учитывая при этом, что масса жидкости Мжпри изменении объема жидкости остается неизменной (закон сохранения массы). В со­ ответствии с этим изменение объема жидкости при колебаниях дав­ ления пропорционально изменению ее плотности и вместо выраже­ ния (11,50) можно пользоваться следующей формулой:

Это выражение (11,53) идентично приведенному выше выраже­ нию (11,51) и представляет собой уравнение состояния сжимаемой жидкости при упруговодонапорном режиме ее фильтрации в диф­ ференциальной форме. Интегрированием уравнения (11,51), с уче­ том изменения давления в пределах от Ро до Р и плотности — от ро до р, найдем уравнение состояния в конечном виде:

которое после разложения в ряд и некоторого упрощения может быть записано в следующем приближенном виде:

Аналогичным образом при исследовании фильтрации в услови­ ях упруговодонапорного режима учитывается и объемная упру­ гость пласта (пористой среды). При этом также принимается до­ пущение, что водоносный пласт ведет себя как упругое тело, под­ чиняясь закону Гука (необратимые процессы деформации горных пород не учитываются). Изменение объема пласта под влиянием гидростатического давления на скелет породы связывают с изме­

нением объема порового пространства. Характер изменения объе­ ма порового пространства породы в процессе фильтрации можно уяснить из следующего рассмотрения.

Давление на скелет породы, слагающей водоносный пласт РСКг определяется как разность между горным давлением Ргор (давле­ ние на водоносный пласт, которое создается весом вышележащих горных пород: РГоР=іЛуг.п) и пластовым гидростатическим давле­ нием жидкости Рпл:

Из формулы (11,56) видно, что при уменьшении пластового дав­ ления Рпл давление на скелет породы Р ск возрастает и объем по­ рового пространства должен уменьшаться. Изменение объема по­ рового пространства упругой пористой среды происходит в соот­ ветствии с законом Гука:

Как и коэффициент объемной упругости жидкости, коэффи­ циент объемной упругости пласта рпл показывает, на какую часть первоначального объема пласта Ко изменяется объем порового пространства при увеличении или уменьшении давления на едини­

что значение коэффициента объемной упругости горных пород ßnjl

колеблется в пределах (0,3 2,0) X Ю~6 — .

м

Для решения практических задач выражение (11,58) удобнее переписать, используя значение пластового давления Рпл. Значе­ ние пластового давления Р пл находим из соотношения (11,56), от­ куда следует, что dPCK= d(Prov—Рпл). Принимая горное давление Prop величиной неизменной (что практически справедливо для мно­ гих задач), найдем, что dPCK= —dPnJI и соответственно выражение (11,58) изменится на:

1 dVпор

Формула (11,59) характеризует уравнение состояния пористой

выражение (11,59) может быть переписано в отношении dn следую­ щим образом:

жется без образования в нем пустот и разрыва сплошности, то он

раллельными координатным осям (рис. 18). Объем выделенного

Масса жидкости, заполняющая поровое пространство в объеме

Рассмотрим изменение массы жидкости в объеме выделенного параллелепипеда за промежуток времени dt за счет поступления ее через грани параллелепипеда. В направлении оси X через грань ЪЬ'с'с за промежуток времени dt в выделенный элемент поступает

dd'a'a, отстоящую от первой на расстоянии dx, вытекает масса во­ ды М2 , равная:

Накопленная в объеме параллелепипеда масса воды за время dt за счет ее фильтрации в направлении оси х соответственно со­ ставляет:

Аналогичным образом накопление массы воды в объеме парал­ лелепипеда за время dt за счет ее фильтрации в направлении осей у и z соответственно составляет:

Общее накопление массы воды в объеме выделенного элемента пористой среды за время dt определяется суммированием выраже­ ний (11,66) — (11,68):

Так как объем выделенного параллелепипеда во времени не изменяется (условие 11,61), то изменение массы воды в объеме выделенного элемента может произойти только за счет изменения плотности воды р и объема пористого пространства. Для определе­ ния изменения массы воды в объеме параллелепипеда за счет из­ менения плотности и пористости необходимо продифференциро­ вать выражение (11,63):

неустановившуюся фильтрацию упругой жидкости в упругой по­ ристой среде:

При жестком режиме фильтрации, когда упругие свойства фильтрующейся жидкости и пористой среды не учитываются, т. е. плотность воды р и пористость пород п считаются в каждой дан­ ной точке пористой среды не зависящими от времени, уравнение неразрывности пространственного потока имеет вид:

djpvx) а(риу) d(poz)

(11,72)

При отсутствии той или иной составляющей скорости фильтра­ ции частная производная от массовой скорости по соответствую­ щей оси в уравнение неразрывности потока не входит. Так, напри­ мер, при установившейся фильтрации двухмерного потока в пло­ скости ху уравнение неразрывности принимает вид:

д(р^х) , д(рцу) =

дх ду

ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ПОДЗЕМНЫХ ВОД

Для получения основных дифференциальных уравнений фильтрации в динамике подземных вод используются два метода: а) метод синтеза трех видов уравнений, определяющих условия фіильтрации — уравнений движения подземных вод, уравнения не­ разрывности потока и уравнений состояния жидкости и пористой среды; б) балансовый метод, в основу которого положено изучение изменения водного баланса элемента потока подземных вод под влиянием факторов, предопределяющих условия их движения.

Для примера рассмотрим вывод дифференциальных уравнений фильтрации методом синтеза трех уравнений (на примере жестко­ го режима фильтрации подземных вод) и балансовым методом (на примере неустановившейся фильтрации грунтовых вод).

При жестком режиме фильтрации подземных вод уравнения движения пространственного потока при соблюдении закона Дар­