Файл: Климентов П.П. Динамика подземных вод учеб. для геологоразведоч. техникумов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 199
Скачиваний: 0
Соответствующее этим условиям уравнение неразрывности для пространственного потока определяется выражением (11,76):
дѵх 1 дѵ7 ^_дѵ2
0. (П,76)
дх ду dz
Подставляя выражения для компонентов скорости фильтрации из (11,74) в уравнение неразрывности потока (11,76), получим:
д L дН \ д ( , дН \ д ( дН \ д у ' ду
Уравнение (11,77) представляет собой дифференциальное урав нение фильтрации напорных подземных вод в анизотропном пла
сте |
{кхф к уф к 2) . Для изотропного |
однородного по |
фильтрацион |
||||
ным |
свойствам пласта |
(kx= kj=ikz= k) |
уравнение |
фильтрации |
|||
(11,77) приобретает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
д2Н |
д2Н |
|
д т |
|
|
(П,78) |
|
дх2 |
ду2 |
+ Д Т = |
|
|
||
|
|
dz2 |
|
|
|
||
Полученное дифференциальное |
уравнение фильтрации |
харак |
|||||
теризует движение несжимаемой жидкости |
в несжимаемой |
пори |
стой среде и носит название уравнения Лапласа, широко известного
в математической |
физике. |
Сокращенно оно |
записывается в |
ви |
|
де Ѵ2Я = 0. Строго |
говоря, |
уравнение (11,78) |
справедливо для |
на |
|
порных вод. Однако и дифференциальные |
уравнения |
грунтовых |
|||
вод могут быть сведены к уравнениям типа Лапласа. |
уравнения |
||||
Ниже дается вывод основного дифференциального |
неустановившейся фильтрации грунтовых вод, на основе рассмот рения водного баланса элемента потока. Для простоты примем одномерный грунтовый поток в однородной фильтрационной среде (k = const). В соответствии с этим поток имеет только одну состав
ляющую скорости фильтрации — горизонтальную |
(ѵхф 0, |
ѵ7=,0, |
ÜZ= 0), причем принимается, что в каждом сечении |
потока |
гори |
зонтальные составляющие скорости фильтрации постоянны по глу бине потока (предпосылка Дюпюи). Питание грунтового потока осуществляется за счет инфильтрации атмосферных осадков. Во доупорное ложе принимается совершенно непроницаемым и имею щим уклон і ( і ф 0). Фильтрация воды подчиняется закону Дарси, движение неустановившееся во времени.
Для вывода уравнения рассмотрим баланс бесконечно малого элемента потока, ограниченного двумя поперечными сечениями 1 и 2 и имеющего длину dx, ширину В = \ м и высоту h, равную мощ ности потока. Пьезометрический напор в пределах элемента пото
ка характеризуется величиной Я, измеряемой от плоскости |
срав |
||
нения 0—0 (рис. 19). |
|
|
|
За время dt приток воды в выделенный элемент потока |
будет |
||
слагаться |
из двух |
величин: из бокового притока воды |
через |
грань 1, |
равного q{dt |
(здесь q\ — интенсивность притока воды в |
элемент слева), и притока воды сверху за счет инфильтрации ат мосферных осадков, равного W-dt-dx (здесь W — интенсивность инфильтрации, или количество воды, просачивающейся сверху на единицу площади распространения грунтовых вод, в единицу вре мени). В общем случае интенсивность инфильтрации может быть переменной во времени и по площади.
w
Рис. 19. Элемент грунтового потока в условиях неустановившейся фильтрации
За тот же промежуток времени dt отток воды из выделенного элемента через грань 2 будет равен q2dt (здесь q2— интенсивность оттока воды из элемента). При неустановившейся фильтрации грунтовых вод в элементе потока происходит изменение объема во ды за счет разности между притоком и оттоком воды за время dt. Это изменение dV можно определить, используя следующее выра жение:
dV = (qidt + W d x d t)— q2dt = (qi -{-Wdx — q2)dt. (11,79)
Изменение объема воды в элементе потока находит выражение в изменении уровня грунтовых вод (либо повышение, либо пониже ние уровня в зависимости от соотношения притока и оттока воды). Величина изменения уровня воды в элементе потока dH, произошел-
шая за время |
dt, определяется выражением dH = |
ÔH |
( |
здесь |
----- dt \ |
||||
, |
|
dt |
' |
|
dH |
изменения уровня). Объем воды, вызвавший |
изме |
||
— — скорость |
нение уровня dH в элементе потока, может быть выражен через ве личину dH и объем порового пространства той части элемента по-
тока, в пределах которой произошло изменение уровня. Тогда
|
дН_ |
(11,80) |
dV = |
|ЛHt dt-dx. |
|
В приведенном выражении |
(II, 80): ц — водоотдача |
(или недос |
таток насыщения), характеризующая способность единицы объема пористых горных пород отдавать или принимать воду при их осу-
дН
шении (или н а с ы щ е н и и ) dt-dx-1 — объем части выделенного
элемента потока (при ширине его В = 1 м). |
|
|
|||
Сопоставляя выражения |
(11,79 и 11,80), получим уравнение ба |
||||
ланса воды для выделенного элемента потока: |
|
||||
(<7і -+- W dx |
— Яг) dt |
[X |
dH |
л |
(11,81) |
|
at • их. |
В уравнении (11,81) величина притока воды q\ может быть опре делена, как единичный расход грунтового потока, т. е. потока ши
риною в 1 м, отвечающего закону Дарси |
в дифференциальной |
форме |
|
qi — — kh — -. |
(11,82) |
Величина q2 может быть выражена через расход q\, поступаю щий в элемент потока через грань 1 плюс приращение единичного расхода dq1, происходящее за время dt на пути dx (в пределах вы деленного элемента), т. е.:
Яг = <7і + |
dqi — qi + ^ |
dx. |
(11,83) |
||||
Учитывая выражение (11,82) |
для qi |
и о п р е д е л я я п е р е п и ше м |
|||||
уравнение (11,83) так: |
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
, dqi |
J |
,, |
dH |
d t |
(І д Н \ |
, |
|
Яг = Яі + — |
dx — — kh —----h |
I ~ k h —— I dx = |
|||||
ох |
|
|
дх |
дх ' |
дх ' |
|
|
= |
,, дН |
, д ( |
дН\ _, |
(11,84) |
|||
— k h —----- k — \ h - — )dx. |
|||||||
|
дх |
|
дх ' |
дх ' |
|
||
Подставляя теперь значения q\ |
и q2 из уравнения |
(11,82 и 11,84) |
|||||
в уравнение баланса |
(11,81), получим: |
|
|
|
|||
( - k h ^ + W d x - \ - k h — - k — ( h — ) d x ] \ dt = |
|||||||
дх |
L |
|
дх |
длЛ |
дх ' |
|
|
|
= |
дН |
, |
, |
|
(11,85) |
|
|
ц — |
dt-dx. |
|
Раскрыв скобки и произведя сокращения (11,85), найдем:
(П,86)
Полученное уравнение является основным дифференциальным уравнением, описывающим одномерную неустановившуюся фильт рацию грунтового потока в однородной пористой среде при нали чии инфильтрационного питания, и называется уравнением Буссинеска.
Аналогичным образом может быть получено уравнение Буссинеска для двухмерного планово-плоского потока грунтовых вод при неустановившейся их фильтрации в однородной среде. При нали чии глубинного питания грунтового потока за счет поступления во ды из нижележащего напорного водоносного горизонта №ГЛ) оно также учитывается в дифференциальном уравнении: ■
*^('1^г)+^ (',5г) +"7+Гг" =|г5Г- ("'87)
Если фильтрационная среда неоднородна, то в дифференциаль ном уравнении, описывающем неустановившуюся фильтрацию грун тового потока, величина коэффициента фильтрации k будет нахо диться под знаком дифференциала. Тогда с учетом того, что kh = T представляет собой водопроводимость пласта, дифференциальное уравнение (11,87) примет соответственно вид:
д |
дН |
|
дх(Т |
W + Г гл = |1 dt |
( 11,88) |
Аналогичным образом видоизменяется и уравнение для одномерной фильтрации (11,86):
-( r^) + r + r „ = Æ (11,89)
дх '
При отсутствии инфильтрационного и глубинного питания грун товых вод, т. е. когда поток грунтовых вод изолирован в разрезе, в дифференциальных уравнениях принимается W —0 и Ц7ГЛ = 0. На пример, для одномерной неустановившейся фильтрации потока грунтовых вод при отсутствии инфильтрационного и глубинного пи тания получим:
И т |
— |
\ = |
— |
(П,90) |
дх'' |
дх |
' |
^ dt |
|
При горизонтальном залегании водоупорного ложа (і = 0) зна чения напоров можно отсчитывать от водоупора, т. е. принимать их равными мощности потока H = h, что находит отражение и в диффе ренциальных уравнениях. Так, например, для одномерной неуста новившейся фильтрации потока грунтовых вод при горизонтальном
водоупоре уравнение Буссинеска примет вид:
д ( |
дh \ |
dh |
(11,91) |
|
k — |
h — |
J = |
p — ■. |
|
dx |
dx |
' |
^ ât |
|
При установившейся фильтрации потока грунтовых вод уровень его в каждом данном сечении остается неизменным во времени, в соответствии с чем дифференциальные уравнения неустановившей ся фильтрации будут справедливы для установившейся фильтрации,
дН
если в них принять р = 0. Так, например, для плановой уста»
новившейся фильтрации грунтовых вод основное дифференциаль ное уравнение получается из уравнения (11,88) при равенстве пра вой части нулю:
W — 0. |
(П,92) |
Для потока с постоянной водопроводимостью |
Т = const уравне |
ние (11,92) после вынесения Т за знак дифференциала приобретает вид:
д2Н д2Н W
(11,93)
дх2 ду2 Г
При отсутствии инфильтрационного питания уравнение (11,93) переходит в обычное уравнение Лапласа для двухмерного плоского потока:
д2Н дЧІ
(11,94)
дх1 дуг
Для случая неустановившейся фильтрации потока напорных вод в условиях упруговодонапорного режима основное дифференциаль ное уравнение может быть получено любым из отмеченных выше методов. При пространственном характере потока оно имеет сле дующий вид:
/ д 2Н |
д2Н |
д2Н \ |
дН |
' дх2 |
ду2 |
dz2 |
» (11,95) |
dt |
|||
где и — коэффициент пьезопроводности, |
характеризующий ско |
рость перераспределения напоров при упругом режиме фильтрации напорного потока. Значение коэффициента пьезопроводности опре деляется по формуле:
km |
T |
Т |
р* |
р* |
(П,96) |
ymß* ’ |
где р* — упругая водоотдача или по аналогии с безнапорными во дами— коэффициент водоотдачи напорного пласта в условиях уп ругого режима; величина безразмерная;
ß*— коэффициент упругоемкости пласта, учитывающий одно временно упругие свойства подземных вод и вмещающих их горных