Файл: Климентов П.П. Динамика подземных вод учеб. для геологоразведоч. техникумов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 247
Скачиваний: 0
а для одномерной неустановившейся фильтрации грунтовых вод (11,102):
д2Н W _ дН дх2 р dt
При отсутствии инфильтрационного питания (№ = 0) решение получают для дифференциального уравнения следующего вида:
д2Н _ д Н
(VI,2)’
дх2 dt
Изменения уровня подземных вод, происходящие под влиянием естественных или искусственных факторов, накладываются на пер воначальное поле распределения напоров, которое существовало до начала развития неустановившихся процессов фильтрации. Поэто му для получения результирующего поля распределения напоров при решении задач неустановившейся фильтрации необходимо знать первоначальное состояние поля, которое обычно задается в виде начальных условий и является необходимым элементом в ре шении задач нестационарной фильтрации.
Результирующее поле распределения напоров Н(х, у, t), таким образом, можно представить в виде уравнения:
Н(х, у, t) = Нв(х, у)+АН(х, у, t), |
(VI,3) |
где # е(X у) — поле распределения напоров в исходном состоянии; АН(х, у, t) — изменения поля напоров в процессе развития неуста новившейся фильтрации.
В результате решения дифференциальных уравнений в зависи мости от характера поставленных задач, искомыми величинами являются: либо поле распределения напоров H (х, у, t) и АН (х, у, t), либо значение расходов потоков q(x, у, t).
Уравнения вида (11,102, 11,103 и VI,2) относятся к классу урав нений типа Фурье, для которых получен ряд аналитических реше ний при определенных граничных и начальных условиях. Конкрет ные решения указанных дифференциальных уравнений примени тельно к решению задач подпора, прогноза режима подземных вод и изучения естественных условий их фильтрации изложены ниже в последующих параграфах этой и других глав. Методы расчета не установившейся фильтрации в районах водозаборных и других ин женерных сооружений подробно рассмотрены в главах VIII—X.
Одним из широко распространенных приближенных теоретиче ских методов решения дифференциальных уравнений неустановив шейся фильтрации подземных вод является метод конечных разно стей. Этот метод дает возможность определить как расход грунто вого потока, так и проследить изменение положения кривой депрессии во времени с учетом основных факторов в формировании режима подземных вод, условий их питания и разгрузки. Он яв ляется основой для численного решения разнообразных задач фильтрации с помощью моделирования и применения электронно
вычислительных машин (ЭВМ). Являясь приближенным в смысле математической строгости, метод конечных разностей вместе с тем позволяет учитывать разнообразные гидрогеологические условия, обеспечивая тем самым более надежное решение задачи, чем стро гие аналитические методы, где гидрогеологические условия неиз бежно схематизируются и упрощаются. Метод конечных разностей предложен Г. Н. Каменским в 1939 г. применительно к расчетам неустановившейся фильтрации грунтовых вод. Принципиально нет ограничений для применения метода конечных разностей и к расче ту неустановившейся фильтрации напорных вод.
У Р А В Н Е Н И Я Н Е У С Т А Н О В И В Ш Е Г О С Я Д В И Ж Е Н И Я П О Д З Е М Н Ы Х В О Д В К О Н Е Ч Н Ы Х РА ЗН О С Т Я Х
В сложных гидрогеологических условиях и при отсутст вии аналитических решений прибегают к численному решению диф ференциальных уравнений с помощью метода конечных разностей. В отличие от аналитических решений, получаемых интегрировани ем дифференциальных уравнений в условиях непрерывности про странства и времени, в конечноразностном методе время и прост ранство разбиваются на конечные малые элементы, являющиеся аналогами бесконечно малых величин, входящих в дифференциаль ные уравнения. Получение уравнений в конечных разностях основа но на рассмотрении баланса воды в выделяемом элементе потока подземных вод.
С помощью уравнений в конечных разностях можно получать решения как для одномерного, так и для двухмерного потоков.
У р а в н е н и е н е у с т а н о в и в ш е г о с я д в и ж е н и я п л о с к о г о о д н о м е р н о г о
п о т о к а г р у н т о в ы х в о д . Для вывода уравнения в конечных разно стях выделим в плоском потоке грунтовых вод с переменным укло ном водоупорного ложа три вертикальных сечения 1, 2, 3, распо ложенных на расстояниях /і_2 и /2-3 одно от другого. Разделим расстояние между сечениями 1—2 и 2—3 пополам и проведем допол нительные сечения (ем. пунктир на рис.84), выделив тем самымэле-
/і—2+ h- з
мент потока длиной....- ------- при ширине потока, равной единице.
Обозначим мощность потока по сечениям через h\, /12, h3 напор со ответственно через H 1, Н2 Н3. Будем считать, что на участке 1—2 коэффициент фильтрации имеет значение k\-2 на участке 2—3 — —&2- 3- Величина инфильтрации атмосферных осадков в пределах элемента потока W. В таких условиях фильтрация одномерного ли нейного грунтового потока, как известно, описывается дифферен циальным уравнением Буссинеска вида (11,89):
которое в однородной среде при осреднении мощности потока h = = /zCp приводится к уравнению Фурье:
М ср |
д2Н |
W |
дН |
,и |
дх2 |
р |
dt |
Рассмотрим водный баланс конечного, но небольшого по разме-
, |
h-2 + ^2-3 |
о= 1 м, высота |
рам элемента потока (длина'------ -------, ширина |
Рис. 84. Схема к выводу уравнений неустановившейся фильтрации грунтовых вод в конечных разностях
h2) за промежуток времени At. Слева через сечение М в элемент поступает вода с расходом q\, а справа через сечение N из элемен та вытекает вода с расходом q2. В то же время сверху поступает
инфильтрационное питание |
в количестве W — 2~^ ^ 3- X I (здесь |
||
h-2 + |
к-з |
площадь сечения элемента потока, в |
|
1------ |
п------ |
X і представляет |
пределах которой поступает инфильтрационное питание интенсив ностью W). Объем воды АѴ, который накапливается в элементе потока за промежуток времени At с учетом прихода и расхода ее через грани элемента, можно выразить, таким образом, как ал гебраическую сумму единичных расходов притекающей и утекаю щей воды, умноженную на время At:
АѴ =(<7і —<72+ W |
h-г + h-z |
At. |
(VI,4) |
2 |
С другой стороны, элементарный объем воды АF можно выра зить через изменение уровня воды в пределах элемента, которое произойдет за время At благодаря разнице в объемах притекаю щей и утекающей воды. Пусть вследствие наличия инфильтрационного питания уровень воды в сечении 2, являющемся центром рас сматриваемого элемента потока, повысился за время At на величи ну ДЯ2. Тогда накопление воды в элементе можно выразить, как объем воды, пошедшей на насыщение пористых горных пород при изменении уровня на ДЯ2 в виде:
A V = » A H 2k - 2+2 l^ X l , (VI,5)
где р — недостаток насыщения при повышении уровня воды в эле- |
|||||||||
менте |
/ |
. |
І1-2 +І2-3 |
^ \ |
|
|
при сни |
||
\'при <7і + |
w ------ ------- |
X |
1 > |
<72у и водоотдача |
|||||
жении |
уровня |
|
воды в |
элементе |
(отток |
больше |
|
притока); |
|
/]_ |
2“I-І2_3 |
|
— объем горных пород в пределах |
элемента, |
|||||
АЯ2----- |
—----- X 1 |
||||||||
насыщающихся или осушаемых при изменении уровня на АЯ2. |
|||||||||
Подставляя АѴ (из VI,5 в VI,4), получим: |
) А/. |
(VI,о) |
|||||||
|
цД#2-------- |
|
= \ q i — q 2 + W --------- |
||||||
|
. и |
7 і 2 + І 2 3 |
/ |
|
I , , + 1 2 + |
/ г 3 \ |
, |
, , - т - |
Если положение уровня воды в сечении 2 на начало промежут ка времени At обозначить через Я2^, а на конец промежутка через Яг.э+ь то величина изменения уровня АЯ2 выразится как разность напоров в сечении 2 на момент времени t + At, что соответствует концу промежутка At и на момент времени t, что отвечает началу промежутка At, т. е.
АЯ2 == Яг.э+і — Яг.э. |
(VI,7) |
Подставляя в формулу (VI,6) выражение для АЯ2 и преобразуя полученное уравнение, найдем:
|
|
|
|
,ѵ /І І - 2 + /г - з |
Яг.э+і - Я |
2>8 |
qi — <7г+ W ------------- |
||
|
(VI,8). |
|||
P ------- |
At |
|
t \ - 2 |
|
|
|
+ І 2 - 3 |
||
|
|
|
’ |
2 |
Я2 S+l — Я2 g
В уравнении (VI,8) в левой части величина'—:— —----— пред- /Д£
ставляет собой выражение скорости изменения уровня воды в эле-
■с |
„ I т о + 1 - 2 - + 4 - 3 |
менте. Если при этом приток воды в элемент |
<7і + W ----- -------- |
равен оттоку воды из элемента <72, то никакого изменения уровня воды не будет, и, следовательно', левая часть уравнения будет рав
ной нулю, что соответствует условиям установившейся фильтрации.
Таким образом, уравнение |
(VI,8 ) |
представляет |
собой |
уравнение |
|
неустановившейся фильтрации в |
конечных |
разностях, |
записанное |
||
в общем виде. |
быть записано1 |
для |
конкретных рас |
||
Уравнение (VI,8 ) может |
сматриваемых условий, если в него ввести выражения для значений единичного расхода потока q\ и <72 с учетом значений параметров потока в пределах выделенных сечений.
Значения расходов <71 и q2 могут быть записаны на основе фор
мул установившейся фильтрации (в данном случае, например, на основе приближенной формулы Г. Н. Каменского). Расход потока, поступающего в элемент слева, выразим на основе значений мощ ности потока, напоров и коэффициента фильтрации на участке, ог раниченном сечениями 1 и 2, отток воды из элемента запишем из рассмотрения участка между сечениями 2 и 3.
п. |
|
, |
Ai,s + A2,s |
Hi,s — Нг,s |
|
||||
|
-—- b, |
----------------------- J------------------ и |
|
||||||
<72 = |
|
! A2,S + |
A3,S |
Hz,S — Hs,S |
(VI,9) |
||||
k2-3 r |
2 |
|
/2-3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя значения q\ |
и <72 в формулу |
(VI,8 ), получим: |
|||||||
Ho |
|
|
, |
|
Ai,s + |
A2,s |
H US — -H2,s |
|
|
Hls |
|
|
2--------------- ------- |
|
|||||
2.S+1 ' |
|
|
|
|
|
|
|
k- |
|
At |
|
|
|
|
|
II—2+ ^2-3 |
|
||
k o - |
A2,s + |
A3,s |
H■2,s • H 3,S |
Г A-2 + |
h- |
||||
■2-3- |
|
|
h-3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(VI,10) |
||
|
|
|
|
h-2 4~ 12—3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hz,s+i — H2,s |
|
|
|
1 |
|
|
|
Ht,s — # 2,s |
|
At |
|
|
|
|
[ AI_2 (AI,S + A2,S) • |
|
|||
|
11-2 -p h-з |
|
|
|
l i - 2 |
||||
- |
A2- 3(A2,S + A3,s) - H z 'St |
Яз,5] + w . |
(VI.ll) |
||||||
|
|
|
|
|
|
2-3 |
|
|
|
Уравнение (ѴІД1) представляет собой уравнение неустановив шейся одномерной фильтрации грунтового потока неоднородного строения с наклонным водоупором, выраженное в конечных разно стях.
Если водоупорное ложе потока горизонтально (і = 0), то пьезо метрические напоры могут отсчитываться от водоупорной поверх ности и совпадают по величине со значениями мощности потока в
одноименных сечениях (^ 2,s —A2,s, A4,s —Ai,s, A4,s —A3,s) и тогда
уравнение в конечных разностях примет вид:
A2,s+i — А2,S |
1 |
|
|
- h 2% |
|
р ----- |
At |
4—2+ 4-3 |
|
11 -2 |
|
|
|
||||
|
|
,2 |
,2 |
|
|
|
|
«2,S — |
«3,S |
]+. |
(VI,12) |
|
'— &2-3 - |
|
|||
|
|
4-3 |
|
Обычно для удобства расчетов промежутки между сечениями, на которые разбивается поток по длине, принимаются одинаковы
ми, т, е. 4-2 = 4-з = Ах. Тогда уравнение 1(ѴІ,12) |
упрощается.1 |
|
At |
1 [ k ^ h l s - h l s ) - k2- 3( h l f i - |
hls)]+ W. (VI,13) |
2Ax2 |
|
|
Уравнение |
(VI, 11) еще более упрощается, если среда является |
однородной (Â1—2= ^2—3= ^ =const) и для удобства расчетов сред ние мощности на соседних участках потока принимаются одинако выми, а именно:
Ai,s + /Î2,S |
h2 s + |
Аз,s |
АСР; |
4-2 = 4-3 = |
Ах — const, |
||
|
|
|
|
||||
Я2і8+і |
H2 s |
khcv ^ |
|
+ |
Яз s] + |
(VI,14) |
|
P |
At |
|
Ax2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (VI, 14) является аналогом дифференциального урав
нения фильтрации Буссинеска, линеаризуемого |
путем |
осреднения |
|
мощности потока. С учетом некоторых преобразований |
уравнение |
||
(VI,14) будет иметь вид: |
|
|
|
2khCÏ>At Г #i,s + Hs,s |
WAt |
(VI,15) |
|
A4,s+i — H2ß = |
2 |
|
|
рАя2 |
|
|
Соответственно при горизонтальном водоупорном ложе уравне ние (VI,13), с учетом его линеаризации, приобретает вид:
A2,S+I — A2,S |
2ААорА^ |
Г Ai,s -(- A3,s |
|
рАх2 |
L |
(VI,16) |
|
|
2 |
||
Таким образом, уравнения (VI,14—VI,16) являются аналогами |
|||
соответствующих дифференциальных уравнений и вместе с тем |
обеспечивают их численное решение в конкретной гидрогеологиче ской обстановке с учетом неуетановившегося во времени характера фильтрации.
Для практических расчетов уравнения в конечных разностях ис
пользуются в еще |
более простом виде. |
Перепишем уравнение |
(VI, 15),решив его |
относительно искомой |
величины Н2 s+i, т. е. по |
ложения уровня в центральном сечении рассматриваемого элемен