Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

Здесь в дополнение к операциям, проделанным с выражением в фигурной скобке (3.33), мы выделили из Qd (формула (3.34)) слагаемое, соответствующее упругим потерям энергии, поскольку оно также представляется в виде производной по г, и включили его в выражение — djlde в виде слагаемого — пис в /.

Уравнение (3.36) представляет собой не что иное, как уравне­ ние одномерной диффузии частиц вдоль «координаты» е, т. е. по энергетической оси. Изменение во времени «плотности» частиц п в данной точке е определяется дивергенцией потока j и распреде­ ленными источниками Q. Поток складывается из диффузионного потока, пропорционального градиенту плотности с «коэффициен­ том диффузии» 33, и потока кинематического, в котором частицы сносятся с локальной «скоростью» и — ис. Снос по оси энергии связан как с действием излучения (скорость и), так и с действием упругих потерь (отрицательная скорость — ис, направленная в сторону уменьшения энергии).

Коэффициент 3) следует интерпретировать как коэффициент диффузии отнюдь не по формальным причинам, он и в самом деле

тить квант и совершить скачок по координате е; ти — среднее вре­

«снос» частиц. Согласно (3.35) ее можно представить в виде и =

— Й(о/та — ha>lxb — d3)ld&. Здесь healха — это средняя скорость одностороннего перемещения частиц по оси е вправо, в сторону увеличения энергии, так как ха — время жизни по отношению к одному лишь поглощению кванта. Аналогично Йю/ть — односто­ ронняя скорость движения влево. Систематический снос возни­ кает из-за того, что средние скорости хаотических скачков вправо и влево не одинаковы, а кроме того, коэффициент диффузии ме­ няется от точки к точке (член — d3)/de).

Скорость сноса ис, связанная с упругими потерями, также имеет ясный физический смысл: среднее время между упругими

104

столкновениями тс = (l/vm) (1 — cos 0), и в каждом из них элект­

рон в среднем теряет энергию Деупр = (2т/М) (1 — cos 0) е и смещается на такую величину. Следовательно, электрон движет­

о

конечной величиной. Второе граничное условие следует из закона сохранения числа электронов. Интегрируя уравнение (3.36) по всему спектру с учетом выражений, составляющих источники Q, и условия / (е) —у 0, при е —>■оо найдем

— средняя частота ионизаций, производимых всем электронным спектром, a vd — средняя по спектру частота диффузионных по­ терь электронов. Закон сохранения числа электронов требует, чтобы при е = 0 поток / (0) обращался в нуль, т. е.

томатически). Подчеркнем, что граничное условие (3.43) соответ­ ствует только распределенному характеру источников Q (е). В дальнейшем мы будем приближенно считать источники не рас­ пределенными, а сосредоточенными, и соответственно граничные условия к уравнению будут формулироваться совсем иначе. Заметим также, что равенства (3.41), (3.43) предусматривают от­ сутствие иных источников электронов, кроме ионизации невоз­ бужденных атомов электронным ударом, скажем фотоионизации возбужденных атомов (см. раздел 6).

14.3. Классический предел. В сущности переход от конечноразностного квантового уравнения (3.33) к диффузионному урав­ нению; (3.36), совершенный при условии Гш <С е, уже сильно приблизил"нас к классическому уравнению (3.25), которое также можно представить в виде уравнения диффузионного типа, если раскрыть в нем производные по е в правой части.

105

Чтобы завершить предельный переход к классике, следует ввес­ ти явные выражения для квантовых коэффициентов 3Dи и и перей­

Однако прежде чем совершить такую операцию, сделаем еще один шаг, не требующий задания коэффициентов в явной форме, но еще более приближающий уравнение к классическому. Дело в том, что фактически коэффициенты а я Ь, которые определяют 3) и и, выводились в подразделе 5.2 полуклассическим методом. Поэтому результаты, не требующие явных выражений для 3)

и и или а и Ъ, обладают большей общностью, ибо всегда допускают возможность использования коэффициентов, выведенных строгим квантовомеханическим путем.

Итак, рассмотрим выражения (3.37), (3.38) для 3D и и. В них входят коэффициенты а и b при одинаковом значении аргумента е. Фактически при условии Тш е можно, не уменьшая суще­ ственно точности, разложить общее соотношение (1.40) между коэффициентами вынужденного испускания и поглощения, пред­ ставив его в виде

Таким образом, мы совершим предельный переход от кванто­ вого уравнения для функции распределения электронов по энер­ гиям к классическому, при На ->• 0, но фактическим параметром, по которому производилось разложение, было отношение /гю/е. Мы еще раз убедились в том, что условием применимости класси­ ческих уравнений для описания поведения электронов в поле из­ лучения^ является малость величины кванта На по сравнению с энергией хаотического движения электрона е, а вовсе не по срав­ нению с энергией его колебаний в поле, как кажется на первый взгляд (см. подраздел 5.3). Предельные значения коэффициента

106

диффузии и скорости сноса есть

Следует особо подчеркнуть, что запись чисто классического уравнения (3.25) в форме уравнения диффузии представляется не более чем формальным актом. В рамках классической теории не­ возможно придать физический смысл величине, играющей роль коэффициента диффузии, ибо классика не знает о существовании квантованных скачков вперед и назад по энергетической коор­ динате. Понять диффузионную природу движения электрона по энергетической оси можно лишь на основе квантового уравнения и последующего перехода к классике

Следствием диффузионного уравнения является и диффузион­ ная формула для средней скорости изменения энергии электрона в поле. Составим уравнение для скорости изменения средней энергии спектра электронов. Для этого умножим уравнение (3.36) на е и проинтегрируем по всему энергетическому спектру от 0 до оо. Проинтегрировав два раза по частям с учетом граничных ус­ ловий и поделив на Ne, получим

(3.48)

где черта означает, что величина усредняется по спектру электро­ нов.

Предпоследний член описывает непругие потери энергии, по­ следний — потери энергии, которую уносят диффундирующие в пространстве электроны. В классическом пределе (3.47) и при постоянстве частоты столкновений первые два слагаемых, описы­ вающие воздействие поля (dH/dt)E, принимают форму, характерную для процесса, в котором одновременно участвуют диффузия и снос:

С другой стороны, как видно из (3.49) и (3.47), формула (3.48) для изменения средней энергии спектра в точности превращается в элементарную формулу (1.9) для изменения скорости отдель­ ного, т. е. «среднего», электрона (неупругие и диффузионные потери там вообще не рассматривались, поэтому формула (3.48) содержит по сравнению с (2.9) два лишних, последних, слагаемых).

1 Вообще говоря, в свете сказанного в подразделе 4.2 в классике энергии электрона при столкновениях также может изменяться как в одну, так и в другую сторону, так что процесс набора энергии в поле также имеет диф­ фузионный характер. Но этот факт никак не проявляется при выводе (3.25), и, кроме того, скачки по оси энергии в классике не квантуются. Величина «классических» скачков не имеет ничего общего с Лео, она скла­ дывается из многих квантов.

107

Г л а в а 4

РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ИРАСЧЕТЫ ПРОБИВАЮЩИХ ПОЛЕЙ

15.Стационарный спектр электронов в донороговых полях, определяемый действием упругих столкновений

15.1.Кинетическое уравнение и этеиентарная теория. Кине­ тическое уравнение для функции распределения электронов по энергиям (3.24) или (3.25) слишком сложно, для того чтобы можно

было надеяться решить его в сколько-нибудь общем виде. Анали­ тические решения удается найти лишь для некоторых наиболее простых вариантов условий либо при помощи упрощающих до­ пущений, да и то решения эти часто оказываются чрезвычайно сложными и громоздкими (см. [1]). Поэтому большой интерес пред­ ставляют те случаи, когда решения имеют простую форму, допус­ кают наглядное физическое истолкование и позволяют уяснить

Рассмотрим стационарное состояние электронов в газе, нахо­ дящемся в сравнительно слабом поле, которое заметно меньше по­ рогового для пробоя. Допущение о стационарности такого состоя­ ния отнюдь не противоречит условию малости поля. Для того что­ бы в холодном, неионизованном газе произошел пробой и зажегся разряд под действием самого поля, поле действительно должно быть довольно большим. Но если разряд однажды зажжен при помощи постороннего источника или какого-либо искусственного приема, то для его поддержания, т. е. поддержания уже сущест­ вующего ионизированного состояния газа, как правило, доста­ точны поля, значительно меньшие, чем те, которые необходимы для пробоя. Если газ разреженный и ионизация слабая, обычно возникает неравновесное состояние, при котором электроны в поле обладают заметной энергией, а газ тяжелых частиц, атомов

иионов, остается холодным А

Встационарном состоянии ионизация, производимая электро­ нами, уравновешивает диффузионный уход электронов из области действия поля, скажем, на стенки сосуда в СВЧ или высокочастот­

ных полях (потери на рекомбинацию обычно менее существенны). Энергия, которую электроны получают от поля, при этом в пол­ ной мере передается атомам в упругих столкновениях, а в свою очередь от тяжелых частиц отводится путем теплопроводности

108