Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

кинетического уравнения, как это делалось в работах [12, 19] для оптического пробоя. Результаты таких расчетов весьма пока­ зательны, и они будут приведены ниже. Следует, однако, иметь в виду, что численное решение уравнения также не избавляет от всех трудностей, которые возникают при рассмотрении оптиче­ ского пробоя, ибо еще не вполне ясны или не поддаются достаточно простому количественному учету отдельные моменты чисто физи­ ческого характера. Поэтому даже причисленном решении уравне­ ния в самой постановке задачи в явной или скрытой формах со­ держатся различные допущения.

Наша цель здесь — в наиболее простой и доступной для обоз­ рения форме продемонстрировать роль основных эффектов, выяс­ нить существенные закономерности развития лавины и дать оцен­ ки пороговых полей. Для этого, конечно, желательно получить по возможности простые и наглядные приближенные решения. В этом разделе будет рассмотрено такое решение для случая лавины в не слишком легких одноатомных газах. Оно базируется на приб­ лижениях работы [6] и представляет собой усовершенствованный вариант того решения. Результат его был без вывода приведен в

ложенными в разделе 14 соображениями о допустимости прибли­ женного описания оптического пробоя при помощи диффузион­ ного уравнения (3.46), возьмем за основу это уравнение. Оно сов­ падает с классическим уравнением (3.25), поэтому соответствую­ щие результаты распространяются на СВЧ-пробой даже в боль­ шей степени, чем на оптической. Для облегчения задачи, которая в общем виде очень сложна, ограничим круг рассматриваемых случаев и введем некоторые упрощающие допущения. Общность качественных результатов при этом сохраняется.

Будем рассматривать только одноатомные газы. В молекуляр­ ных газах существенны неупругие столкновения электронов, сопровождающиеся возбуждением колебаний в молекулах, кроме того, молекулы обычно обладают низко расположенными элек­ тронными уровнями, которые возбуждаются малоэнергичными электронами. Каких-либо новых качественных эффектов эти фак­ торы не дают, но детальный учет их без применения численных ме­ тодов вряд ли возможен.

Будем пренебрегать упругими потерями энергии электронов. Это допустимо, если максимальная энергия, которую электроны могут приобрести в данном поле при действии упругих потерь (фор­ мулы (1.58), (1.59)), значительно превышает потенциал иониза­ ции. Условие еюах I означает, что упругие потери не мешают электрону набрать энергию, достаточную для размножения. Оценки и анализ экспериментальных данных по порогам пробоя показывают, что в случае тяжелых газов упругими потерями мож­ но пренебречь почти всегда, в легких — только при невысоких

114

Давлениях (при численных расчетах порогов на основе подобного решения следует всегда проверять роль упругих потерь). Член упругих потерь существенно усложняет кинетическое уравнение. Даже при самых сильных прочих упрощениях решение уравнения при учете упругих потерь выражается через конфлюентные гипер­ геометрические функции [1] и малодоступно для наглядной де­ монстрации закономерностей.

Будем считать не зависящими от энергии электрона частоту упругих столкновений vm и характерное время диффузионного ухода электронов из области действия поля xd, или частоту диф­ фузионных уходов vd =-- l/t d. Эти константы следует подбирать эффективным образом исходя из данных по сечениям и с учетом характера спектра электронов.

Как уже отмечалось в гл. 1, 2, неупругие столкновения, со­ провождающиеся возбуждением атомов, не всегда ведут к потерям энергии электронов. Например, если возбужденные атомы очень быстро ионизуются лазерным излучением, возбуждающие стол­ кновения по своему эффекту эквивалентны ионизирующим, ибо они также способствуют размножению электронов. Мы рассмотрим сначала случай, когда возбуждающие столкновения приводят к потерям энергии. Он является более общим, так как допускает предельный переход к более простому случаю, когда за актом воз­ буждения сразу следует ионизация.

Сечения возбуждения и ионизации атомов о* (е), аг (е) начи­ наются от нуля у порогов (см. рис. 1.9, 1.8). Введем величины

электронов А < &< А постоянной, не зависящей от е. Как n v m, константу эту следует выбирать исходя из данных по сечениям.

Положим далее, что электроны, достигшие энергии А) «мгно­ венно» испытывают неупругое столкновение. Сечения довольно быстро растут от порога, и для возможности такого допущения достаточно выбрать величину А на 1—2 эв выше истинного потен­

циала ионизации (точно так же А — I* ~ 1 эв). Электрон с энер­ гией е А может как ионизовать, так и возбуждать атом. Вве­ дем р — вероятность того, что неупругое столкновение при е Д> А окажется ионизующим. Вероятность того, что неупругое стол­ кновение приведет к возбуждению, есть 1 — р. По поводу выбора параметра р будет сказано ниже.

Допущение о мгновенности неупругого столкновения при б )> А отнюдь не является чересчур грубым, так как соответствую­ щие частоты столкновений достаточно велики. Между тем оно сильно упрощает задачу. Оно позволяет исключить из рассмот­ рения область энергий г О А и заменить действие распределен­ ных в ней отрицательных источников (Аеупр соответствующим гра­

115

ничным условием при е = Т). Действительно, для плотности элек­ тронов на энергетической оси (функции распределения п (е, t)), которая описывается уравнением типа диффузии, в точке е — 1г имеется «сток» бесконечной мощности, следовательно, функция распределения в этой точке обращается в нуль.

Будем считать сосредоточенными и положительные источники Qseynv в области малых энергий. Конечно, электроны, испытав­ шие неупругие столкновения, а также электроны, рожденные в результате ионизации, обладают некоторой энергией, но не бу­ дет большой ошибкой считать, что они начинают свой путь по оси энергии от нуля. Таким образом, действие источников электронов в области малых энергий мы также заменим соответствующим гра­

Согласно сказанному решение должно удовлетворять гранич­

/ (е, t) представляет собой число электронов в 1 сма, которые про­

предположению они незамедлительно совершают неупругое стол­

Кроме того, с малой энергией рождаются электроны, которые в

Это и есть второе граничное условие, которое накладывается на решение уравнения (4.7).

Поскольку частота' возбуждений равна нулю при е~<^ I*v уравнение (4.7) приходится решать отдельно в двух областях:

116

ионизаций определяется равенством v;7Ve = /Д где Ne = ^ nde —

о

объемная плотность электронов. Если проинтегрировать по спектру уравнение (4.7) с учетом этого равенства и (4.11), получим феноменологическое уравнение кинетики (1.54). В поле не­ изменной амплитуды с течением времени (фактически через не­ сколько поколений) должен устанавливаться постоянный спектр электронов. Частота ионизаций при этом от времени не зависит, и плотность электронов изменяется с течением времени по экспо­ ненциальному закону (1.55). Будем искать решение для такого установившегося режима размножения. В этом случае в уравне­ нии (4.7) можно разделить переменные и искать функцию п (е, t) в виде п (е, t) = п (е) ехр (£/0), где неизвестная пока постоянная времени лавины 0 связана с также неизвестной пока частотой иони­ заций Vj соотношением

и граничным условиям (4.10), (4.11) (б* дается формулой (4.9)). Это уравнение второго порядка однородное, и, следовательно, од­ на из произвольных постоянных должна остаться неопределенной, в виде множителя у п (е). Между тем число граничных условий, как видно, на единицу больше числа произвольных постоянных в общем решении. Это и дает возможность определить частоту иони­ заций Vj в зависимости от поля. Она не зависит от частоты диффу­ зии, т. е. от потерь электронов. От этой величины зависит 0, т. е. скорость развития лавины. Обращаем внимание на тот факт, что ни уравнение (4.13) для п (е), ни граничные условия (4.10), (4.11) не содержат частоты диффузии v d или постоянной времени лавины 0. Установившийся спектр и соответствующая ему час­ тота ионизаций, которая в сущности только спектром и опреде­ ляется, одинаковы для любых скоростей развития лавины, вклю­ чая и нулевую скорость (0 = оо), т. е. стационарный случай, когда dnjdt = 0.

Подчиняя функцию 0 (Е) общему нестационарному критерию пробоя (1.57), который в случае длительного воздействия tx—»- оо переходит в стационарный критерий (1.56), можно вычислить по­ роговое поле.

Если происходит какой-то процесс, в результате которого воз­ буждение атома приводит к немедленному появлению нового элек-

117