Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 216
Скачиваний: 2
Чтобы уяснить физический смысл этого равенства, составим
отношение потоков но энергетической оси в точках Д и Д. С по мощью определения потока / по формуле (4.7), выражения (4.17) и граничного условия (4.10) найдем
а = j (Д)// (l[) = ауЦус,h [{а — 1) у] + sh {(а — 1) г/]}. (4.27)
Эту величину можно приближенно интерпретировать как ве роятность электрону, обладающему энергией Д, проскочить через
«опасный» энергетический |
интервал Д < |
е ■< Д |
и достичь энер |
|||
гии |
Д, при которой он имеет |
шанс произвести |
размножение Д |
|||
В |
предельном случае |
у^> |
1 а ^ 2a exp I— (а — 1) у], и |
|||
асимптотическое равенство (4.26) можно записать в виде |
|
|||||
|
V* ж Л’воф-а2; |
тг^ |
ТяшГ2; |
т — 1/а|3. |
(4.28) |
Эти соотношения имеют ясный физический смысл. С точностью до численного коэффициента а2 (порядка 1) частота ионизаций
определяется временем набора необходимой энергии Те = и вероятностями электрону, во-первых, проскочить «опасную»
зону, а, и, во-вторых, совершить ионизующее столкновение после этого, (5. Электрон т = 1/сф раз совершает цикл движения по энергетической оси, набирая энергию выше потенциала возбуж дения и без пользы теряя ее, прежде чем ему удастся ионизовать атом. Разумеется, оценочную формулу (4.28) можно было бы запи сать и непосредственно из физических соображений, но без рас смотрения кинетического уравнения трудно было бы сколько-
нибудь надежно вычислить вероятность |
«проскакивания» а. |
|
Само выражение для вероятности а при |
a |
1 имеет весьма |
характерную форму. Положим, что ширина «опасного» энергети
ческого |
участка |
А = Д — Д относительно |
мала, А Д (а ж |
« 1). В |
этом |
случае |
|
|
|
Д 2 |
v * |
2a exp [— (а — 1) у] = 2 exp
где АДа = А2/25(Д) — время, примерно в течение которого элек трон диффундирует через участок А на энергетической оси.
В противоположном предельном случае малых потерь на участ
ке A v*<gJvE, |
г ж |
1 и уравнение (4.23) принимает вид sh ay = |
= ay (1 -|- (3). |
Если |
|3 = 1, мы возвращаемся к формуле (4.20): |
1 Вообще говоря, в нестационарном случае такой вероятностью следовало
бы называть величину / (Д, г)//(Д*. |
г — Дг) = [/' (Д)// |
(Д*)] ехр (Дг/6), |
|
где Дг — время, в течение |
которого |
электрон проходит |
путь от s = Д* |
до Д. Но, поскольку б-1 < |
vE и vEAt = Д"1 (dB/dt)E At = |
(Д — Д*)/Д = |
= 1 — а~г ж 0,3, временной множитель близок к 1.
122
V, = 0,8 уе- Е с л и же считать (5 1 и произвести разложение sh ау по малой в этом случае величине ау, найдем ау ~ 6|3 или V; = ve(3. Чтобы произвести размножение, электрону требуется совершить 1/р циклов движения по энергетической оси, что также естественно.
16,4. |
Постоянное поле и законы подобия. Частоты столкнове |
|
ний и возбуждений пропорциональны плотности, или давлению, |
||
газа р. В пределе низких частот (со2 |
v™.), который фактически |
|
эквивалентен случаю постоянного поля, ve ~ Е2/ут и vE/v* ~ |
||
~ (Е/р)2. Таким образом, отношение частоты ионизаций к давле |
||
нию газа |
является функцией отношения Е/р: yt/p ~ F 1 (E/p). |
Сама функция Fx непосредственно определяется функцией F, вве денной выше. Подобие по Е/р, как известно, свойственно многим важным величинам, характеризующим поведение ионизованного газа в постоянном поле [4,23], например скорости дрейфа электро
нов в поле vd = реЕ. Здесь |
— подвижность; по элементарной |
||
теории |
= |
е/тут, так что |
vd ~ Е/р. |
Частотой |
ионизации V/ и подвижностью определяется первый |
||
ионизационный коэффициент Туансенда = yijpeE — число элек |
|||
тронов, |
которые рождаются при движении электрона вдоль по |
ля на 1 см. Отношение ai/p является функцией Е/р. Величина же ионизации, производимой электроном при прохождении разности потенциалов в 1в, гц = а ,[Е — Vj/p,e£'2, сама является функцией
Е/р.
Полученное выше решение для частоты ионизаций позволяет оценить первый таунсендовский коэффициент сс* или коэффициент Ц;. Для этих величин имеются экспериментальные данные, и интересно сравнить расчет с экспериментом. Рассмотрим случай малых Е/р, т. е. больших неупругих потерь и малых частот иони
зации, когда справедлива асимптотическая формула |
(4.26) для |
||||||||||
Vj. Подставляя в нее выражение ve = e2E2‘/mvmI 1, |
соответствую |
||||||||||
щее со = |
0, получим для ионизационного коэффициента формулА |
||||||||||
|
= Aj exp (— Вр/Е), |
|
= |
2а3р//1эв пар ионов/в, |
|
||||||
В = —~ 1. ] / ~ 6- mVlmVl = |
5,8-10~8 ———- V / l8evlmvi в/см тор. |
||||||||||
|
a |
y |
e |
2 |
|
|
а |
|
|
|
(4.29) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь vlm, vj — коэффициенты в |
численных |
выражениях ти |
|||||||||
па vт — УхтРтор 1 /сек, Е/р, [в/см тор]. |
рт0р, |
v* |
= 2,6- |
||||||||
Например, |
|
выбирая для |
аргона ут = 7• 109 |
||||||||
• 108 рт0р, что |
можно сделать, |
рассматривая кривые |
сечений, и |
||||||||
полагая |
а = |
1,2, |
^ = 0,2, Д = |
16,8 |
эв, найдем В = |
53, |
A t = |
||||
= 0,04. |
Если |
|
же аппроксимировать функцией типа (4.29) |
экспе |
|||||||
риментальную кривую в области небольших Е/р ~ |
5 -г- 20 (гра |
||||||||||
фик 4.49 |
в книге [23]), получим В = |
31, Ai = 0,01, |
т. е. имеется |
разумное согласие расчета с измерениями (упругие потери при этих условиях несущественны). Еще лучшее согласие получается
123
для ксенона. Сечения возбуждения ксенона в отличие от других инертных газов не были измерены до недавнего времени. В 1968 г. появилась работа Диксона и Энгеля [24], по данным которой в интервале от порога I* — 8,4 до 12 эв сечение растет с примерной константой наклона С ж 4-10~17 см2/эв. Выбирая в соответствии
с |
этими |
данными сечение |
в* » |
6-10~17 см2, возьмем v* = |
||||
= |
4-108ртОр i /сек; кроме того, vm= |
1,5-1010 ртор 1 /сек. 1г = 13,1 эв. |
||||||
Получим |
В = 85; |
A t = |
0,05. |
По |
экспериментальному графику |
|||
[23] при малых Е/р В = |
85, |
= |
0,1. |
|
|
|||
|
Законы подобия существуют и в другом предельном случае — |
|||||||
высоких |
частот. |
При со2 |
v®„ |
имеем |
vE ~p(E/os)2 и |
vt ~ |
||
~ |
pF2(E/(o). Характерным для высоких |
частот является |
отно |
шение Elat в отличие от Е1р для низких. Функция F2определяется функцией F. В крайних случаях низких и высоких давлений, как и в низкочастотном случае, можно написать явные выражения для
F2. При |
малых р Vi ~ vE ~ р ( Ек о)2. При больших р vt ~ |
~ vEa. ~ |
р ( Е/а)2 exp ( — const ю/Е). |
Не следует думать, что отмеченные выше законы подобия свой ственны лишь приближенному решению. Им подчиняется частота ионизаций, определяемая точным решением уравнения (3.25) (но, конечно, соответствующая установившемуся спектру). В этом легко убедиться путем непосредственного анализа уравнения (3.25) и определения (1.48) частоты ионизаций. Существование подо бия имеет большое значение, так как позволяет делать пересчеты от одних условий к другим, позволяет, например, использовать экспериментальные данные по частотам ионизации, полученные путем измерения порогов пробоя в одном частотном диапазоне, для расчета применительно к трудноисследуемому диапазону
ивообще к другим условиям.
16.5.Влияние возбуждения молекулярных колебаний. В под разделе 16.1 отмечалось, что расчет лавины в молекулярных газах по сравнению с одноатомными осложняется по двум причинам: во-первых, из-за потерь энергии электронов, связанных с возбуж дением молекулярных колебаний и, во-вторых, с присутствием сравнительно низко расположенных уровней электронного воз буждения в молекулах. В полной мере эти эффекты учитываются при численных расчетах, как в работах [12, 19], но, конечно, представляет интерес возможность аналитических оценок. Один из эффектов — возбуждение молекулярных колебаний — был приближенно рассмотрен в работе Ю. В. Афанасьева, Э. М. Беленова и И. А. Полуэктова [21]. Это было сделано в рамках урав нения типа (3.36) или (4.7).
Вподразделе 14.2 было показано, что член упругих потерь электронов можно преобразовать таким образом, что в выра
жении для потока по энергетической оси появится слагаемое —nuct соответствующее «сносу» в сторону уменьшения энергии элек трона, где ис — Аеупр/тс — «скорость сноса». Это возможно по стольку, поскольку потеря энергии электрона Деупр при одном
124
упругом |
столкновении очень мала (тс — время между столкно |
||
вениями). |
Но энергии колебательных квантов молекул Н(дв так |
||
же не очень велики, порядка 0,2 эв, |
и приближенно можно ввести |
||
аналогичную скорость «сноса» и0 = |
Йсо„/тв, связанную с потерей |
||
энергии на возбуждение колебаний. |
Здесь 1/т„ |
= Navov — часто |
|
та возбуждающих столкновений электронов, |
о 0 — сечение воз |
буждения колебаний. К потоку/по энергетической оси добавится слагаемое — nuv.
Сечение возбуждения молекулярных колебаний электронами обычно имеет значительную величину только в сравнительно уз ком интервале энергий Де„. Например, в азоте энергетическая ширина пика сечения Де„ ж 2 эв и пик лежит при энергии электро нов е„ яг; 2 эв, величина его a<,max ~ 3-10-16 см2. Положим приб лиженно, что сечение возбуждения <зи = 0 вне указанного ин тервала энергий и частота возбуждений постоянна внутри интер вала Де„. Тогда вне интервала остается справедливым уравнение (4.7); остаются в силе и граничные условия (4.10), (4.11), а внутри интервала Де„ к величине / добавляется слагаемое — пив с ив = = const.
Поскольку интервал Де„ узкий и основную роль здесь играет член неупругих потерь на возбуждение колебаний, поток / здесь можно считать постоянным, а в выражении (4.7), описывающем набор энергии под действием поля, пренебречь слагаемым пи по сравнению с 33дп1де (это соответствует приближению Де„
ею). Тогда падение энергетической плотности электронов на участке Де„ получается равным
а„ = ге(е„ + Де„/2)/п(г„ — Дею/2) ^?ехр [— /Mi)BAe„/TB4e„].
Эту величину можно приближенно интерпретировать как
вероятность |
электрону проскочить через «опасную» |
зону |
Де„ |
|
(ср. с подразделом |
16.3). Как показывает полное решение урав |
|||
нения (4.7) |
с учетом такого падения плотности п(&) на участке |
|||
Де„, частота ионизаций содержит вероятность av «проскакивания» |
||||
в качестве множителя, как и вероятность «проскакивания» через |
||||
зону электронного возбуждения а. Оценки [21] показывают, |
что, |
|||
например, в условиях пробоя азота импульсами лазера на С02 |
||||
вероятность а„ имеет величину порядка 10-2—10~31, и эффект |
||||
возбуждения молекулярных колебаний приведет к увеличению |
||||
пороговых интенсивностей света в 100 раз. |
|
|
||
16.6. |
Численные решения квантового и классического кинети |
|||
ческих уравнений. |
Такие расчеты были сделаны Фелпсом |
[12]. |
||
На рис. 4.3 |
[12] представлены установившиеся функции распреде |
|||
ления электронов, найденные путем численного решения кванто |
||||
вого кинетического уравнения (3.33) для гелия, аргона и азота |
||||
в поле излучения рубинового лазера с интенсивностью |
S — 7,8- |
|||
•1010 вт/см2 ( Е = |
5,3-106 в/см). Учитывались и упругие и не |
упругие столкновения, в том числе и возбуждение колебаний в молекулах азота. Спектры электронов в гелии и аргоне обладают
125
п, 1/яВ
Рис. 4.3. Рассчитанные [12] функции распределения электронов
Интенсивность излучения рубинового лазера 7,8-1010 егп/см2; функция нормирована условием S / (е) VTTde = 1
Рис. 4.4. Энергетический спектр электронов, полученный путем решения упрощенной задачи
Пунктир — точное численное решение Фелпса [12]
очень слабо выраженной периодической структурой с периодом, равным энергии фотона Йсо = 1,78 эв. В азоте периодическая структура выражена чрезвычайно резко. Наряду с квантовым численно решалось и классическое кинетическое уравнение при том же самом отношении Е/аз, которым характеризуется действие
поля в условиях, когда ю2 Для аргона и гелия квантовый и классический спектры почти совпали, в азоте различие значи тельно.
Оценка по формуле (1.59) показывает, что при значении Е/аз =
= 2 |
-10-9 в |
сек/см, |
к которому относится рис. 4.3, для аргона |
|
бт ах |
= 250 |
эв |
I |
= 15,8 эв, т. е. упругие потери незначитель |
ны, и, следовательно, можно сопоставить найденное выше при ближенное решение с точным расчетом Фелпса (в гелии упругие
потери существенны: етах = 25 |
э е ж / = 24,6 эв). Нормирован |
ный на Ne = 1 энергетический |
спектр электронов п(е) в аргоне, |
следующий из приближенного решения подраздела 16,3* пред ставлен на рис. 4.4. Расчет сделан со следующими значениями параметров: Е/оз = 2-10~9 в сек/см, как и в точном решении, а =
= VTJFi = 1,2, р = 0,2, vm/v* = 26.
Пунктиром на том же рисунке нанесен точный спектр, который получается по данным рис. 4.3(функцию / рис. 4.3 надо умножить
126
на е1'-', так как п ~ е*'* /). Вид но, что согласие достаточно удов летворительно.
Парис. 4.5 показаны средние по спектру частоты возбуждений в ге лии, аргоне и азоте vB. Для арго на и гелия результаты классическо го и квантового расчетов практичес ки неразличимы. Фелпс приводит частоты возбуждений, а не иониза ций^ так как при расчете порогов пробоя он считает, что все воз бужденные атомы немедленно фотоионизуются. Не следует путать среднюю частоту возбуждений vB с величиной v*. Первая представ ляет собой среднее по всему спект
ру, |
подобно частоте ионизаций |
V;, |
тогда как частота v* относится |
только к определенной части спект
ра + е I v В нашем прибли жении средняя частота возбуж дений vb соответствует частоте ио низаций v4, вычисленной в под разделе 16.2 в предположении, что каждое возбуждение ведет к немедленной ионизации.
Для принятой выше частоты
< v 6 * >
Рис. 4.5. Средние по спектру ча стоты возбуждений (из расчета на один атом) [12]
Сплошные кривые — квантовое урав нение с Ли = 1,78 э«, пунктир — классическое
столкновении в аргоне vm =
= 7,0-109 Р т ор |
= 1 , 9 - Ю - 7 |
X N a Н с е к |
и |
при |
<о2 |
наша |
|
частота «возбуждений» |
по |
формуле (4.20) |
|
|
|
||
VB = |
Vi = 0,8 |
Ле |
2-107 |
Г |
Na. |
|
|
" |
в ) СМ |
|
лрад/сек
Соответствующая этой зависимости логарифмическая прямая lg vb/Na = 7,3+ 2 lg Eliо с удовлетворительной точностью сов падает с кривой Фелпса в области больших полей, когда только и имеет смысл сравнивать приближенный расчет с точным. При малых полях существенны упругие потери, частота возбужде ний становится относительно меньше, и кривая Фелпса отклоняет ся вниз от асимптотической прямой. Но на этот случай прибли женный расчет и не распространяется.
В работе Нильсена, Канавана и Роквуда [19] численно реша лось нестационарное квантовое уравнение (3.33) для молекуляр ного дейтерия в поле излучения рубинового лазера (также с уче том возбуждения колебаний). Спектр быстро устанавливается во времени. Считалось, что энергия электрона может принимать зна чения, только кратные Н оу, проведенная через дискретные точки
127