Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

и диссипации, где Т = Т0. Поток тепла на этой границе равен %Т01а. Но, с другой стороны, он примерно равен потоку тепла,

Рис. 6.25. Распределение тем­

ного распространения фронта температурной волны от нагретого вещества; vK^ %JAx — скорость имеет порядок отношения тем­ пературопроводности к ширине перепада температуры.

Для решения некоторых задач о волнах разряда удается при­ менить простой и действенный приближенный метод, существо которого будет сейчас изложено на примере режима без потерь. Это позволит по-новому взглянуть на основное соотношение (6.59) и дать ему весьма примечательную физическую интерпретацию. Мы только что видели, что при условии резкого нарастания по­ глощения с температурой, вплоть до конечного значения в волне,

женность.

Доведем до крайности идею о малой ширине зоны тепловыде­ ления и будем считать источники тепла в уравнении (6.39) сосре­ доточенными. Помещая начало координат в точку, где расположен источник, и записывая его выражение в виде дельта-функции (величина коэффициента при б-функции вытекает из условия ее нормировки), получим уравнение,

= + <6-83>

В этом приближении температура ионизации Т0, при которой начинается существенное поглощение светового потока, совпадает

сконечной температурой ТК, а гладкий на самом деле профиль

Т(х) приобретет вид, показанный на рис. 6.25, с разрывом про­ изводной (потока тепла) в точке источника. В простейшем пред­ положении ср = const, X = const в области х <1 0 имеем решение (6.62) с Г0 = Тк. Интегрирование (6.63) по всему пространству дает общую связь (6.42) температуры Тк и скорости и, и для

211

определения этих двух неизвестных нам не хватает еще одного

уравнения.

Недостающее соотношение можно установить, исходя из фи­ зических соображений, и этот момент представляется центральным для формулировки подобных приближенных методов. Как следует из уравнения (6.28), световой поток ослабляется в волне по закону

—оо

Но в силу самого определения понятий зон диссипации и про­ гревания оптическая толщина зоны прогревания, а в более общем смысле — зоны подготовки газа к восприятию электромагнитной энергии, т0 = х (0), никак не может сильно отличаться от 1. В самом деле, если допустить, что т0 заметно меньше 1, это озна­ чало бы, что в конце зоны прогревания коэффициент поглощения еще столь мал, что на протяжении некоторой прилегающей части зоны диссипации поглощение также мало. Если допустить, что т0 заметно превышает 1, то уже в зоне прогревания электромагнит­ ная волна должна испытать сильное поглощение. И то и другое допущения противоречат принципу, по которому было произве­ дено разделение волны на две зоны. Это рассуждение оставляет некоторый произвол для выбора конкретного числа, которому следует приравнять т0. Легко видеть, что при условии полного поглощения светового потока приближению сосредоточенного источника отвечает точное равенство т0 = 1. Действительно, под­ ставляя в точное интегральное соотношение

оо

Относя это равенство к точке х = 0, со стороны отрицатель­ ных х и замечая, что согласно уравнению (6.63) вся выделяющаяся энергия светового потока выносится тепловым потоком в зону прогревания, получим недостающее соотношение

(6.67)

о

212

которое совпадает с выведенным уравнением (6.59). Таким образом,

чтобы получить простейшее приближенное решение задачи о ре­ жиме с потерями. В дальнейшем таким способом будет прибли­ женно решена гораздо более сложная задача о режиме волны иони­ зации, механизмом распространения которой служит диффузия резонансного излучения (см. раздел 35).

24.5. Волна с потерями. Рассмотрим условия, когда выпол­ няется неравенство Цсотах^^>1 (большое давление, низкая ча­ стота), но в отличие от предыдущего раздела световой поток не столь велик, чтобы можно было пренебречь потерями энергии. Им отвечает общая постановка задачи о режиме, когда приходит­ ся принимать во внимание остывание газа за температурным мак­ симумом (см. подраздел 24.1).

Поставим себе цель, не стремясь к большой точности, выяс­ нить основные особенности режима и вывести по возможности простые формулы, с помощью которых можно было бы оценивать главные параметры волны. Лучший путь здесь — это линеари­ зация системы уравнений (6.25), (6.28). Не будем учитывать по­ тери на излучение, что в данном случае допустимо, ибо темпера­ туры плазмы не получаются высокими; они, как правило, соот­

Чтобы сделать это уравнение линейным относительно потен­ циала потока тепла ©, нужно еще соответствующим образом аппроксимировать функцию F+ (0).

Простейший способ — это считать источник тепла сосредото­ ченным. Пренебрегая световым потоком SK, который «просачи­ вается» через волну на бесконечность (см. сноску1 в конце под­ раздела 24.1), положим F+ = S0б (х). Решение уравнения (6.68), удовлетворяющее граничным условиям 0 = 0 при х = + оо и условию непрерывности температуры, есть

k» - ± { V T T U * i # ± t ) .

Распределение 0 (х), которое характеризует и профиль тем­ пературы, показано на рис. 6.26.

213

Если проинтегрировать уравнение (6.68) по х от —оо до + оо,

+ о о

получим уравнение баланса энергии всей волны S0 = ^ (AQ/R2) dx.

—оо Оно свидетельствует о том, что энергия светового потока

затрачивается на компенсацию потерь, связанных с вытеканием энергии из канала. Больше энергия ни на что не тратится, ибо газ в конечном состоянии, как и в начальном, холодный. Последнее равенство дает

В точке х = 0, где расположен источник, поток тепла, естест­ венно, терпит разрыв, причем разность тепловых потоков вправо

Рис. 6.26. Распределение по­ тенциала потока тепла (и тем­ пературы) в волне с потерями и сосредоточенным источни­ ком тепла

также получим формулу (6.70). Она связывает две неизвестные величины @т и а, т. е. фактически наибольшую температуру Тт и скорость распространения и, и заменяет собой равенство (6.42) для волны без потерь.

В качестве второго, недостающего соотношения используем условие равенства 1 оптической толщины зоны прогревания: т0 = 1. Запишем приближенно выражение для т0 в виде (6.66), относя эту формулу к точке х = 0 со стороны отрицательных ж, и подставим J (—0) = J_ = —к^дт, выразив кг по формуле (6.69). Вычисляя интеграл по температуре тем же способом, ка­

V 1 + iAa?/R2 + 1

Разрешая равенство (6.70) относительно а и исключая эту величину из уравнения (6.71), представим уравнения в следую-1

1 Заметим, что в приближении сосредоточенного источника непосредствен­ ного вытекания энергии из канала в зоне диссипации нет, ибо сведена к нулю ее боковая поверхность. Энергия вытекает сначала вдоль канала вправо и влево, а потом уже за пределы канала. Поскольку общий баланс энергии при этом не нарушается, эквивалентным образом возрастают по­ токи тепла от источника назад и вперед.

214

щей, окончательной, форме:

Первое из них определяет наибольшую температуру плазмы Тт, второе — по известной температуре скорость распространения и.

Проанализируем эти результаты. В пределе очень малых по­ терь, которому соответствует R — оо, мы возвращаемся к форму­ лам (6.60), (6.42), полученным в предыдущем разделе при рассмо­

Далее, из уравнения (6.72) видно, что с уменьшением потока Sn температура плазмы Тт также уменьшается, хотя и медленно, так как ц„ (Т) ~ ехр (—1/2кТ) — функция очень крутая. На­ оборот, небольшому уменьшению температуры отвечает резкое падение светового потока. Следовательно, существует такое зна­ чение St, ниже которого уравнение (6.72) относительно ©,„ не имеет решения. Этому значению St отвечает обращение в нуль квадратного корня в (6.72) и скорости распространения в (6.73). При S < St скорость становится мнимой. Это просто означает, что уравнение баланса энергии не имеет стационарных решений и режима нет. В данном случае не получается режима волны ох­ лаждения, как при слабом поглощении света, когда существует длинный столб нагретого газа.

Пороговое значение светового потока St и соответствующая

которые имеют очень наглядный физический смысл. Комбинация в правой части (6.74) по порядку величины равна радиальному потоку тепла в зоне диссипации, тому самому потоку, который вы­ носит энергию за пределы канала. Комбинация в правой части (6.75) приближенно представляет собой осевой поток тепла из

зоны диссипации в зону прогревания, %tAT/lt, где АТ ^ 2кТ\И — соответствующий перепад температуры (см. предыдущий подраз­ дел). Как видно из уравнения (6.72), при больших надпороговых потоках S0 St световой поток S0 практически полностью ком­ пенсируется осевым потоком тепла, а радиальный поток мал. При пороговой же интенсивности все три потока: световой и оба

215