Файл: Орлов В.С. Проектирование и анализ разработки нефтяных месторождений при режимах вытеснения нефти водой.pdf

О с о б ый

интерес и новизна

в постановке задач

оптимального

распределения

добычи

нефти

по эксплуатационным

объектам и

п л о щ а д я м

самостоятельной обработки возникает

при

рассмотре ­

нии з а д а ч и

4,

в которой

практически приходится

р а с с м а т р и в а т ь

распределение по объему и определять как

первоочередные объек­

ты, т а к и площади

самостоятельной

разработки .

Известно,

что

в общем

случае

з а д а ч а оптимального

распреде ­

ления

добычи

нефти

по

объектам

самостоятельной

разработки

м о ж е т

быть поставлена

в

следующих

двух

вариантах .

1.

З а д а н н о е плановое

задание на добычу нефти на

многопла­

стовое месторождение в целом распределить

по объектам самосто­

ятельной разработки таким образом, чтобы

получить

минималь ­

ные народнохозяйственные

издержки .

2.

З а д а н ы

ресурсы

на

разработку

многопластового

месторож ­

нию

и найти оптимальное

распределение

ресурсов по отдельным

о б ъ е к т а м самостоятельной эксплуатации, обеспечивающее

эту мак­

с и м а л ь н у ю добычу и ее распределение по объектам .

Распределение добычи проводится за один произвольно

выбран ­

ный интервал времени с начала разработки

месторождения .

При заданной зависимости

добычи

нефти

во времени

Q~Q(t)

т а к о е распределение

может

привести

к положению,

при

котором

на

к а ж д о м

объекте

потребуется иметь

переменную

во

времени

сетку скважин, и к неопределенности в выборе системы

воздейст­

вия и варианта выделения эксплуатационных

объектов.

Д е л о в

том, что

результаты

решения

во

многом

определяются

величиной

подлежащего

распределению

уровня добычи нефти.

личные интервалы

(5,

10, 15 и т. д. лет)

приходим

к распределению

различных средних значений добычи, к а к

правило,

у м е н ь ш а ю ­

щихся

с увеличением

принятого

интервала

распределения .

В

связи

с

этим

в

более

общем

виде з а д а ч а

об

оптимальном

распределении

добычи может быть

сформулирована

следующим

о б р а з о м .

З а д а н н у ю

переменную

во

времени

добычу

нефти

так

распределить

по объектам

самостоятельной

разработки,

чтобы

обеспечить

ее

получение при минимальных

народнохозяйственных

и з д е р ж к а х

в любой

момент периода распределения.

Рассмотренные

конкретные задачи

могут

быть

решены

различ­

ными

методами решения оптимальных

з а д а ч

и,

в

частности,

мето­

д а м и :

неопределенных множителей Л а г р а н ж а ;

линейного

и

нели­

нейного программирования;

наилучших

приближений .

Н и ж е

рас­

с м а т р и в а ю т с я

вопросы усовершенствования

и

применения

этих

методов к

решению

оптимальных з а д а ч

распределения

добычи

нефти м е ж д у

самостоятельными

объектами

разработки .

З а д а ч а решается

д л я нескольких

возможных

уровней

добычи

нефти

по

данному

многопластовому

месторождению

вплоть

до

потенциально

возможного . З а т е м

на

основе

анализа

планового

за ­

дания

на

это

месторождение, полученного по

приближенной

оцен-

детальными расчетами

и технико-экономическим анализом .

После утверждения

уточненного планового задания на разра ­

ботку многопластового

месторождения проводится распределение

но выбирается

система рациональной разработки месторождения.

Методика

оптимального

распределения

добычи нефти

по эксплуатационным

объектам

многопластового

месторождения

дано методом

нелинейного

программирования в работе [34] . Мы

ж е

рассмотрим

структуру

оптимальных поведений и

на этой осно­

ве

дадим простой метод реализации решения. Д л я

этого

остано­

вимся несколько более подробно на внутренней структуре

решения

задачи, приведенной

в работе

[34] .

Математическая

постановка

задачи:

найти минимум

функции

/V

Ft

fo,

х2, . .

.,

хП)

= 2 Ф/ (*)

в области, определенной

соотношениями

. |

j

*

/ =

c;

(1-1)

ХІ

>

0.

Кроме того, на некоторые объекты 'могут быть введены допол­

нительные ограничения:

ХІ

<

хів;

(1.2)

xi

>

xl5,

(1.3)

причем к а ж д а я

из

функций

Ц>І(Х)

выпукла и непрерывна

при

-ХІ>0.

П о к а ж е м

сначала,

что сформулированная

задача

принадлежит

к з а д а ч а м выпуклого программирования . Рассмотрим

случай

одно-

шагового процесса, для

которого имеем

f(c)

= cPl(c).

Так

как

с р ( с ) — в ы п у к л а я

функция

по

условию,

то

функция

f\(c)

т а к ж е

является

выпуклой.

При

двухшаговом

процессе

рас­

пределения

получим

f2 (с) = min [/і (с — х)

+

ф 2

(А-)],

где f\(с—х)

+фг(л")

— в ы п у к л а я

функция

х д л я

О ^ л г ^ с .

Поэтому

функция /о(с)

т о ж е

выпукла.

В

результате

аналогичных

рассуждений

следует,

что

и /з(с) =

= min[/2(c—х)+(р3 (х)]

является

выпуклой

функцией. Тогда,

рас­

с у ж д а я

по

индукции,

устанавливаем

выпуклость

функции /N(C).

Следовательно, предельная функция

f(c) т а к ж е

выпукла.

Д л я

решения

задачи

воспользуемся

полученным

в

работе

[35]

рекурентным

соотношением,

с в я з ы в а ю щ и м

функции

затрат

IN {с)

и /дг-і {с—х)

:

fN

(с)

=

min

[/Л ,_, (с — ж) + Фдг (*)]

•

(1.4)

При

рассмотрении

М-шагового

процесса

видно,

что

функция

з а т р а т

будет

состоять

из

суммы

з а т р а т

от

(N—1)-

шага

и от

Л; -того шага . Чтобы

с у м м а р н а я

величина

з а т р а т

о к а з а л а с ь

выбран ­

ной наивыгоднейшим образом, очевидно, на іѴ-том

шаге

д о л ж н а

быть соответствующим образом выбрана величина х. •

Это

значение

определяется

при

минимизации

функции-

за­

трат

(1.4).

После дифференцирования

(1.4)

для

относительного минимума

внутри интервала

имеем

f'it-i(c

— x)

=

4tr(x).

(L5)

Н а п и с а в

(1.1)

д л я

двухшагового процесса,

получим

Х

і + х« =

с

или

X]. =~

С

>\-0'

откуда

!

'

<P2^s)-

(1-6)

Нетрудно убедиться в том-, что для /Ѵ-того шагового

процесса

будем иметь

Фі

= % '(*s) = • - ' - = 4>jv (XN)-

(L7)

Н а основании равенства (1.7) можно

установить, что д л я слу­

чая, когда найденные значения хг- л е ж а т

внутри допустимых интер­

лучены

для

равных производных

от зависимостей ф;(х).

Не нарушая общности решения, допустим теперь, что при за ­

данных конкретных функциях затрат значение

х,-, удовлетворяю­

щее

решению уравнения (1.5), больше

х і п ,

где

х,- в — максимально

допустимая

добыча из /-того объекта

эксплуатации.

Из

условия

выпуклости

функции fi\-\(c—х)

+ сріѵ(х)

легко

убедиться

в том,

что минимальное значение этой функции

на допустимом интервале

достигается

при хг- = ХіВ - ЭТО следует

из

того,

что при

рассматри ­

ваемых условиях функции /л--і(с—х)

+ срдг(х)- является

монотонно

убывающей

функцией на интервале значений х,

до x, = x,-n .

Введем

дополнительное

условие

ХІ^Х,,І,

которое

мы

может

иметь, когда

некоторые объекты

у ж е

введены

в

разработку .

Изложенное позволяет сформулировать задачу следующим об­

разом. Необходимо найти совокупность величин

хіг

xj V ,

удовле­

творяющих условию (1.1), для которых справедливо одно

и з Л с л е -

дующих

соотношений:

.

') <г

(*i) = q>;(*a) =

• •

• =

С н ­

если минимум достигается внутри интервала;

2) х г = Х г п , если значение х7-,

найденной

из

выражения

(1.5),

больше

ХІ В;

.

3) х; = 0 для всех СІ,

для

которых справедливо

следующее нера­

4) Хг = х, „, если

значение х,-, найденное из уравнения (1.5),

мень­

ше допустимого значения х,- п .

Аналитическое решение задачи для небольшого

числа

объек­

тов получается

с использованием

Э В М [35] .

П о к а ж е м ,

что

на

основе

рассмотренных выше

структурных

свойств оптимальных

поведений, решение несложно

реализовать

среднегодовой

добычи у = ц>(х) строим графики

их

производных:

2.

Д л я

графиков

производных, ограниченных

по х,- неравенст­

вами

(1.2)

и (1.3), из

крайних

точек

при

абсциссах

х,- = х,,< и хг

=

= х,в

проводим

линии, параллельные

оси

ординат

(рис. 1).

3.

З а д а в а я

ряд значений

производных

на

всем

интервале,

по

оси ординат проводим линии,

параллельные

оси

абсцисс.

4.

Д л я к а ж д о г о выбранного

значения

производных

находим

N

сумму

среднегодовых

уровней добычи ^

л',- = с.

і=і

5.

П о последним

значениям

строится

зависимость

суммарной

добычи нефти по всем объектам

от соответственных значений про­

изводных y' = f(c).

2

3

<(і"га

/2 (4 10 'Biz

Расчетные данные среднегодовых

затрат и среднегодовой добы­

чи были обработаны по квадратичной

параболе . Получены следую­

щие аналитические зависимости:

стающие .

Д л я

распределения

добычи на рис. 1 приведена

номограмма,

в левой

части

которой

представлены графики производных функ­

ций затрат, в

правой — зависимость

м е ж д у суммарной

добычей

нефти со всех объектов

и текущими значениями

производных.

При

построении зависимости

ф ' ( х ) = Д с )

учтены

добывные

воз­

можности по

к а ж д о м у

объекту,

которые

определены,

исходя

из

рассмотренных

сеток

с к в а ж и н

и

условий

эксплуатации

в

млн. т/год: