Файл: Несенчук А.П. Пламенные печи для нагрева и термообработки металла учеб. пособие.pdf

5.5.3. НАГРЕВАНИЕ СИСТЕМЫ МАССИВНЫХ ТЕЛ КЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ ТЕРМОФИЗИЧЕСКИХ КОНСТАНТАХ

( — < 0 ,1 И В І ^ В І к р j

Строгое решение задачи о нагреве и охлаждении многослойных тел представляет определенные трудности. Поэтому в настоящее время разработано много различных методов упрощенного решения задач теплопроводности. Наиболее ценным приближенным реше­ нием уравнения теплопроводности является метод конечных разно­ стей (метод сеток).

Метод конечных разностей основан на замене производных их приближенным значением, выраженным через разности значений функций в определенных точках-узлах сетки. Окончательный резуль­ тат решения дается выражением, по которому последующее значе­ ние температуры в данной точке является функцией времени и на­ чальной температуры данной и смежных ей точек (узлов сетки.)

Рассмотрим, как представляются первая и вторая производные функции f(x) через разностные отношения. Если через а; обозна­ чить угол наклона касательной к кривой, проведенной в точке А (рис. 5.8), то производная функция при х = х , соответствует танген­ су угла между направлением касательной и положительным направ­ лением оси абсцисс:

Если угловой коэффициент касательной FD заменить угловым коэффициентом секущей, то будем иметь

Правая часть уравнения (5.82) называется симметричным разност­ ным отношением.

Приближенное выражение второй производной функции f(x) при х= Х і можно получить, заменив кривую на участке BD ломаной линией BAD, имеющей в точке А два наклона:

128

Метод замены производных разностными отношениями наибо­ лее часто используется при численном интегрировании уравнений теплопроводности.

Рассмотрим дифференциальное уравнение одномерного темпе­ ратурного поля плоской стенки

Так как функция t(х, т) зависит от двух переменных х и т, то можно использовать прямоугольную сетку (рис. 5.9). На оси абсцисс откладывается отрезок длиной X , который делится на отдельные

слои толщиной Ах. По оси ординат откладываем отрезки, пропор­ циональные промежуткам времени Ат. Проведя через узлы на ко­ ординатных осях прямые, параллельные этим осям, получим прямо­ угольную сетку. Значения температуры в узлах, находящихся на осях координат и на прямой, отстоящей от начала координат на рас­ стоянии X, записываем исходя из начального и граничных условий.

Обозначим истинную температуру в точке сетки с координатой пДх в момент времени тДт через tn, т. Буквой п обозначаем поряд­ ковый номер слоя (считая от начала координат), а буквой т —

номер промежутка времени (величиной Ат) с момента, принятого за нуль отсчета.

Частные производные в выбранной точке заменим через разно­ стные отношения (5.80) — (5.83):

или

Выражение (5.90) называется формулой Э. Шмидта. Она имеет большое применение как при численном, так и при графическом решении задач нестационарной теплопроводности.

Формула (5.90) позволяет найти температуру для всех узлов горизонтального ряда (например, ряда т) по известной температуре в узлах предшествующего ряда (т—1). Так как начальными усло­ виями при г — 0 задается распределение температуры по сечению тела (известна температура в узлах, находящихся на оси абсцисс), то можно последовательно найти температуры в узлах первого, вто­ рого и последующих рядов.

Рассмотренная сетка (рис. 5.9) удобна для численного интегри­ рования дифференциального уравнения (5.84) при граничных усло­ виях первого рода (в любой момент времени известна температура на поверхности тела), так как в этом случае граничные прямые х = 0 и Х = 0 принадлежат самой сетке.

При рассмотрении многослойных стенок можно использовать рассмотренный выше метод численного интегрирования. При этом толщина одного из слоев принимается за основную, а толщина остальных слоев многослойной стенки приводится к эквивалентным значениям, используемым для расчета. Так, если рассматривается трехслойная стенка, то эквивалентные толщины второго и третьего слоев (первый принят за основной) можно приближенно определить из выражений

130

и

При этом справедливой оказывается зависимость (5.90) для рас­ чета температуры в каждом из слоев эквивалентной стенки.

Температура на границе раздела слоев многослойной стенки рассчитывается исходя из следующих зависимостей. Для определе­ ния температуры на границе раздела первого и второго слоев ис­ пользуем соотношение

где р — номер расчетного участка (Ax)t первого слоя, примыкаю­ щего ко второму слою многослойной стенки;

д . _______ (Ах)гэкв_____

(Ах) 1экв~Ь (Ах) 2экв

Температура на границе раздела второго и третьего слоев

где s — порядковый номер расчетного участка (Дх)2 второго слоя, примыкающего к третьему слою составной стенки;

д.(Ах) зэкв

(Ах) 2ЭКВ-1"~(Ах) зэкв

Чтобы определить температуру наружной поверхности состав­ ной стенки, можно использовать приближенный метод, который состоит в том, что процесс внешнего теплообмена заменяется про­ цессом теплопроводности в дополнительном фиктивном слое с тер­ мическим сопротивлением, равным термическому сопротивлению теплоотдаче. В этом случае температура наружной поверхности мо­ жет быть найдена из выражения

(Ах) зэквН-------

«2