Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

Неизвестные, связанные между собой одним уравнением, обозна­ чены точками на фиг. 4, а. На этой фигуре четные ряды узлов показаны сплошными линиями, а нечетные — пунктирными.

Переходим к описанию отдельных этапов алгоритма FAGR.

а. Нечетно-четная редукция

Рассмотрим три последовательных уравнения

Умножая промежуточное четное уравнение на —А и складывая все три уравнения, получаем

где свободные члены четных уравнений модифицированы

В новые уравнения (17) входят неизвестные только с четных рядов сетки. Неизвестные, связанные одним уравнением, указаны на фиг. 4, б точками. Процесс нечетно-четной редукции сводится, таким образом, к модификации свободных членов qf во всех четных узлах по формуле (18). Модифицированное значение свободного члена после вычисления записывается на место старого значения.

Эта модификация выполняется подпрограммой RHSE и тре­ бует

операций.

б. Разложение Фурье на четных строках

На четных строках разложение в конечную сумму Фурье выполняется по формуле

158 Гл. 4. Методы расчета потенциала

где коэффициенты Фурье заданы выражениями

Ваналогичной форме представляются величины q*,u q°h’t, %, f Это преобразование не содержит обрывания бесконечных рядов

Фурье и является точным, так как оно представляет собой резуль­ тат некоторого линейного преобразования исходных данных.

Подставляя разложение (20) в уравнения для четных строк (17) и используя разностные соотношения ортогональности, полу­ чаем

показаны узлы, связанные этими уравнениями.

Этот этап выполняется подпрограммой FOUR67, и он требует

операций.

в. Рекурсивная циклическая редукция

Уравнения для коэффициентов Фурье можно сокращенно пере­

где опущены звездочки и индекс к . Эти уравнения образуют трехдиагональную систему и решаются с помощью рекурсивного применения процесса циклической редукции. Этот метод разра­ ботан автором совместно с проф. Голубом, и в случае периоди­ ческих граничных условий для уравнения (25) он имеет преиму­ щества перед методом исключения Гаусса, так как не требует хранения в памяти вспомогательного вектора. В случае условий с заданными значениями или условий с нулевой производной

на границе этот метод, возможно, и не лучше, чем метод исклю­ чения Гаусса, но мы тем не менее его использовали, чтобы рас­ сматривать все случаи с помощью единой подпрограммы.

Входящие в уравнение (25) переменные со смежных узлов сетки можно исключить с помощью той же процедуры, которая использована на этапе нечетно-четной редукции. Нужно лишь заменить матрицу А в уравнениях (16) — (18) скаляром Я. Перво­ начально система содержит NY/2 неизвестных (только величины четных строк), а после однократной редукции остается N Y!4 неизвестных. Эта система уравнений по-прежнему имеет трехдиагопальную форму и сохраняет вид исходной системы. Един­ ственное отличие состоит в величине центрального коэффициента. Таким образом, процесс циклической редукции можно повторять,,

Последнее уравнение, получающееся при l = L = log2 N Y — 1, связывает неизвестные в узлах t = N Y 12 с неизвестными в t — О и t — NY. Значения в двух последних узлах известны из гра­ ничных условий. Следовательно, центральная неизвестная опре­ деляется путем деления:

В случае периодических граничных условий или условий с нуле­

Фо Я(Ь)+2

Определив граничные значения, находим центральную неиз­ вестную тем же способом, что и раньше. После того как полу­ чены центральное и граничные значения, оставшиеся промежу­ точные значения определяются рекурсивно

Ф* = (5*°—Ф*-2* —Ф*+2*)

В правую часть входят только известные величины, вычис­ ленные на предыдущем уровне рекурсии.

Если нигде на границе не заданы значения неизвестных (ІВСХ ,

на решение уравнения Пуассона накладывается дополнительное физическое требование: полный заряд внутри рассматриваемой области равен нулю. При этом потенциал определен с точностью до константы и на решение задачи можно наложить дополни­ тельное линейное ограничение. В подпрограмме Р0Т1 мы из сооб­

Такое допущение подразумевает, что уровень потенциала подобран так, чтобы средний потенциал на линии t = О (или на линиях t = 0 и t ~ NY, если IBCY = 2) был равен нулю. Если полный заряд на сетке оказался не равным нулю, то реше­ ние по подпрограмме Р0Т1 предполагает, что добавлен постоян­ ный заряд, обращающий полный заряд в нуль. Этот постоянный заряд добавляется во всех узлах самого нижнего ряда (t = 0)