ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 292
Скачиваний: 6
|
|
|
|
§ 2. |
Прямые методы |
|
|
|
|
|
147 |
|||
|
|
|
1. |
Описание программы |
|
|
|
|
|
|
||||
Вычисления проводятся на прямоугольной сетке х, у (NX Ф |
||||||||||||||
Ф NY), причем шаги сетки могут |
быть неравными (Н Х Ф HY). |
|||||||||||||
В расчетах |
может |
использоваться |
N — 1, |
N или N + 1 |
|
узлов |
||||||||
в зависимости |
от рода граничных условий, но в любом случае |
|||||||||||||
|
|
Заданный |
граничный потенциал (IBCY=1) |
|
|
|
|
|||||||
NY=8 Г- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 + |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
Ö |
|
ß + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
+ |
+ |
|
|
|
HX |
|
|
|
|
! |
I |
|||
5 + |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
+ r |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 i |
+ |
+ |
|
|
|
HY |
|
|
|
|
|
1 ^ |
||
|
|
|
„ -L |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
||||||
|
|
|
|
|
+ ^ |
|||||||||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
I |
|
3 t |
+ + |
+ |
+ |
+ |
-*- + |
+ + + |
+ |
+ |
+ |
+ |
1 |
Qj |
||
! |
§ |
|||||||||||||
|
|
|
Заданный |
заряд (Неизвестный потенциалj |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L . |
|
\ |
|
|
|
|
|
Ф и г . 1. Примерный вид задачи, решаемой с помощью подпрограммы РОТ1.
Сетка периодически продолжена в х-направлении (І В С Х = 3), а на границе по коорди нате у потенциал принимает заданные значения (1BCY — 1). Число узлов по направле
ниям ж и у не совпадает (IQX |
= 4, |
I Q Y = 3), так что |
основная ячейка сетки имеет |
форму прямоугольника ( НХ ф |
HY). |
Вначале значения |
потенциала заданы в обозна |
ченных точками узлах сетки, а значения зарядов — в узлах, обозначенных крестиками.
Подпрограмма |
заменяет |
эти значения зарядов |
на вычисленные |
значения потенциала |
|
|
|
в тех же узлах. |
|
|
|
число N |
должно |
быть степенью |
основания |
2 |
(NX = 2ІС?Х, |
N Y = 2z<2y). Это |
ограничение упрощает программу |
разложения |
|||
Фурье, в особенности при использовании метода быстрого преоб разования Фурье [7—9]. Оно упрощает также процесс рекурсив ной циклической редукции на шаге «в» в подпрограмме решения уравнения Пуассона. По координате х программа допускает три различных типа граничных условий, задаваемых параметром ІВСХ, и аналогично три различных типа граничных условий, определяемых параметром IBCY, допускается по координате у. Возможны все девять комбинаций этих граничных условий. При
10*
148 |
Гл. 4. Методы расчета потенциала |
этом |
допустимые граничные условия задаются следующим |
образом.
IВ СХ = 1. Потенциал на границе принимает заданные зна
чения, сведенные |
в массивы ф0, t |
и Фіѵх.ю перед входом в под |
|||||||
программу РОТ1. |
По зарядам qlt t ■■■ |
<> заданным в узлах |
|||||||
1 . . . (NX — 1), программа вычисляет потенциал в этих |
|
точках. |
|||||||
ІВСХ = 2. Поле равно нулю |
при s = 0 и s = NX. |
|
Выпол |
||||||
нение этого |
условия достигается |
предположением |
о симметрии |
||||||
Фі, t = ф_і, і |
и фіѵх+і, t = ^ nx-i, t- |
Заданное сначала |
в |
узлах |
|||||
О . . . N X |
распределение зарядов |
q0 . . |
. qnx. t программа |
преоб |
|||||
разует в значения потенциала. |
|
|
|
|
|
|
|||
ІВСХ = |
3. Все функции периодичны по х, т. е. ф_8, t — q>Nx-s, t- |
||||||||
Заданные перед входом в программу |
в узлах 0 . . . N X — 1 |
||||||||
значения |
зарядов |
q0, t . . . qNx-\ |
t |
преобразуются |
в |
значения |
|||
потенциала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично определены возможности IBCY = 1, 2, 3.
Для обращения к этой программе необходимо задать вели чины IQX, IQY, HX, HY, ІВСХ, IBCY и распределение заря дов, а в случае ІВС = 1 — граничные значения потенциала. Для примера на фиг. 1 показана сетка задачи при IQX = 4,
IQY = 3, ІВСХ = 3, IBCY = 1.2
2.Программа разложения Фурье
Все, за единственным исключением, прямые методы вычисле ния потенциала основаны на преобразовании Фурье с конечным числом членов. Поэтому мы сначала опишем подпрограмму FOUR67, предназначенную для выполнения вещественного фурьепреобразования заданной в п узлах вещественной сеточной функции.
Идея метода восходит к Рунге [10] и заключается в том, что члены с общим множителем группируются прежде, чем выпол няется умножение. Процесс группировки содержит только опера ции сложения и вычитания, и его можно интерпретировать как перегибание пополам графика заданной сеточной функции, после чего совместившиеся значения функции складываются или вычи таются. Хокни [11] систематизировал этот процесс. В прило жении А дана программа FOUR67 на языке Фортран IV. Пере гибание сеточной функции осуществляется подпрограммами TFOLD и TFOLD1. Такое перегибание продолжается до тех пор, пока синусоидальные функции сохраняют свойство симметрии, после чего коэффициенты Фурье выражаются существенно уко роченными суммами. В этих укороченных суммах уже нельзя избежать перемножений, и они вычисляются подпрограммой KFOLD с помощью рекурсивной процедуры, аналогичной алго ритму быстрого преобразования Фурье. Подпрограмма FOUR67
§ 2. Прямые методы |
149 |
имеет два входных параметра IQ и ІВС, которые задают коли чество узловых точек задачи и граничные условия аналогично тому, как это определялось параметрами подпрограммы РОТ1.
ІВС — 1. Прямое или обратное синус-преобразование опре деляется формулой
71=1 |
|
Y k = ^ Zss i n ( ~ ) , l < Ä < r a — 1. |
(4) |
S = 1
Переход к фурье-образу и обратный переход по этой формуле приводят к умножению исходной сеточной функции на га/2.
ІВС = 2. Прямое или обратное косинус-преобразование опре деляется формулой
|
П |
|
|
|
П = |
2 E(s, |
ra)2Zsc o s ( - ^ ) , OCfcCra, |
(5) |
|
где |
s—О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г 1/ |
У 2 , |
если і = О, |
|
Е (і, |
і) = \( . 1 . |
в остальных случаях. |
|
|
Последовательный переход к фурье-образу и обратно по формуле
(5) приводит к умножению исходной функции на га/2.
ІВС = 3. Разложение в ряд Фурье определяется формулами
Y h = 2 2 Е (к, I ) Zsc o s ( - ^ ) , |
OCAC - J - , |
(6) |
Y h = 2 2 Z,sin |
+ l < f c < n - l . |
|
s=0 |
|
|
ІВС = 4. Переход от коэффициентов Фурье к исходной функ ции определяется формулой
|
п/2 |
|
|
cos I12nsk j 1 |
|
|
У ,= |
2 2 Е |
(»■ - г ) 1 |
|
|||
71-1 |
k=Q |
|
|
|
|
|
|
Г2ns (к—■п/2) П |
0</s<;ra— 1. |
|
|||
2 |
|
(7) |
||||
ZhSin L |
п |
|
||||
ft=n/2+l |
|
|
|
|
|
|
Последовательное применение операций разложения в ряд Фурье
(6) и суммирования ряда (7) приводит к умножению исходной функции на 2га.
150 |
Гл. 4. Методы расчета потенциала |
Перегибание сеточной функции осуществляется подпрограм мой TFOLD в соответствии с формулами
Л /с |
__ у(0 |
у(^) |
y(t+1)_ |
у'(0 |
+ z^_ |
— L i о |
----- z > m — |
Лтп—S |
^ |
||
|
|
=0, 1, |
m |
|
(8) |
|
|
1 Г |
|
Выполнение перегибания сеточной функции, состоящей из чи стых гармоник (а в виде линейной комбинации последних пред ставима любая функция), показано на фиг. 2. Мы рассматриваем
Ф и г . 2. Разделение гармоник с помощью перегибания.
Показано изменение содержания массива Z при разложении в ряд по 16 точкам. Во избе жание путаницы на каждом уровне изображено только несколько первых гармоник.
L — размер складки.
периодический случай (ІВС = 3). Первое перегибание отделяет синусоидальные составляющие от косинусоидальных. Последую-
§ 2. Прямые методы |
151 |
щие перегибания и тех и других компонент постепенно разделяют гармоники на группы. Первая группа состоит из гармоник с нечет ными номерами, вторая — из гармоник с номерами, образован ными умножением нечетного числа на два, затем на четыре, на восемь и т. д. Когда гармоника уже не допускает дальнейшего перегибания, она принимает одну из двух форм:
/і-і |
( я ks \ |
|
/і-і |
|
|
t |
ks \ |
|
2 |
ИЛИ |
■ чгі |
a° |
/ J |
||||
а*81. П( т і Г ) |
|
|
||||||
s—0 |
|
|
Zi |
|
COS[ - r — ) ’ |
|||
|
|
s—О |
|
|
|
|
||
|
О <Ск |
(нечетное) < |
2h. |
|
(9) |
|||
Эти суммы гораздо короче чем исходные, а область измене ния аргументов синусов или косинусов измеряется полуцелым значением л.
Такие укороченные суммы вычисляются с помощью рекурсив ной процедуры, сходной по замыслу и скорости с алгоритмом быстрого преобразования Фурье. Однако эта процедура имеет некоторые особенности, так как она была разработана для непо средственного вычисления вещественных сумм (9) по интервалам, измеряемым полуцелыми значениями я, минуя вычисление ком плексных сумм по интервалам, кратным 2я, которые входят
валгоритм быстрого преобразования Фурье. Введем рекуррентные соотношения
S?+i) (к) = S ? (к) + {cos(Ѳ) S%hK2m) (к) + sin (Ѳ) C%h/(2m) (к)},
Sf+m2m) (4/n — к) = — Sf'* (к) + (аналогично), |
|
|||||
C(rt+1) (к) = |
(к) + (cos(0) Cf+hK2n) {к) - |
(10) |
||||
|
|
— sin (Ѳ) <Sf+/i/(2m) (Щ, |
|
|||
Сг+л/(2т) №т — к) = |
(к) — (аналогично) |
|
||||
для t = 0, 1 . . . Т — 1, где |
Т — log2 h. |
t. |
||||
Параметры |
m |
и Ѳ зависят |
от |
уровня рекурсии |
||
|
|
in — 2l, |
Ѳ |
як |
|
|
|
|
Тѣ ’ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
соотношения |
(10) |
применимы |
для |
|
|
|
г = 0, |
1, |
— |
1, |
1<;/Ь (нечетное)< ;2т — 1. |
||
Начальные условия задаются значениями S° (1) и С® (1). Если S™ = IS'“’ = 0, то результатом применения рекуррентных
152 Гл. 4. Методы расчета потенциала
соотношений |
будет |
|
|
|
|
|
|
Л-1 |
|
|
|
s p |
№ = |
2 |
№ |
. (1) + CT (1)) sin ( - f £ ) , |
|
|
|
s — 0 |
|
|
|
|
|
Л -1 |
|
|
|
C<T>(*) = |
2 |
( - |
^ s(l) + C r ( l ) ) c o s ( - ^ ^ ) , |
(H) |
|
|
|
s = 0 |
|
|
|
|
|
l<;/c |
(нечетное) <12h—1. |
|
|
Подходящим выбором начальных условий можно получить любые требуемые суммы. В случае периодических граничных условий
1
У ровень t
|
|
|
|
Ф ( * ) |
|
|
|
|
|
|
Ф ( к ) |
|
|
|
|
|
||
г |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
7 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
m |
|
•— г — |
ff |
1tNi |
|
•—г — ».------ h / 2 т------ |
|
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 т - к |
|
|
|
/г |
|
|
|
4 т ~ к |
|
|
||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
3 |
3 |
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
|
3 |
3 |
3 |
|
г |
1 |
I |
7 |
1 |
3 |
1 |
|
1 |
/ |
I |
|
1 |
3 |
|
1 |
5 |
1 |
|
1 |
7I |
3I |
5 5 |
1/і |
7 7; |
|
31 |
5; |
г |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
3 |
/ 1 / 5 19 |
3 1/5 5 111 / 1 / 5 7 1 9 3 113 5 111 |
|
НС ум7нм ы |
п о Нс и н у с а мн нС ум мны по к оНс и н уса мн |
Ф и г . 3. Формирование и хранение сумм для различных значений к при рекурсивном обращении к соотношениям (1 0 ).
Целые числа в центральной части означают величину h в суммах на различных уровнях рекурсии, а стрелки указывают позиции, объединяемые в частичные суммы на каждом уровне.
суммы по синусам и косинусам для выделенного набора гармоник могут быть получены одновременно однократным применением рекуррентных соотношений.
Эти рекуррентные соотношения использованы в подпрограмме KFOLD, и на фиг. 3 показано, каким образом сочетается хра нение переменных в машинной памяти на разных уровнях рекур
сии. На всех уровнях новые значения записываются на место старых.
Количество вещественных арифметических операций (т. е. операций сложения, вычитания, умножения и деления), необ
