ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 256
Скачиваний: 6
§ 3. Исследования с частицами конечного размера |
27 |
ления), чтобы продвинуться дальше. При любом математическом методе, используемом для сглаживания функции распределения, нет ясности в его физических последствиях. Такое сглаживание отчасти похоже на влияние столкновений в модели дискретных частиц. Однако оно является полностью численным по своей природе, зависит от процедуры сглаживания и требует анализа его воздействия на результаты (теоретического или эксперимен тального).
Приближение частиц для моделирования плазмы автоматиче ски ограничивает информацию, с которой машина должна рабо тать, до того предела, который требуется для описания движения
частицы. |
Если |
повышенные столкновительные эффекты удастся |
в достаточной |
степени уменьшить, то этот метод окажется есте |
|
ственным |
и физически привлекательным методом такого ограниче |
ния информации. Оставшиеся столкновительные эффекты можно будет понять и учесть на основе физических соображений, которые в общем уже ясны.
Ряд авторов 119—21] уменьшали столкновительные эффекты, сглаживая поле, обусловленное частицами. Хокни выполнял такое сглаживание, разделяя г-пространство на ячейки и затем вычисляя поля так, как будто все частицы одной ячейки находят ся в ее центре. Он пренебрегает взаимодействием частиц внутри каждой ячейки друг с другом, обрезая таким образом взаимодей ствие на малых расстояниях. Бэрдсол [20] модифицировал метод Хокни, распределив заряд ячейки по ее углам. Метод «частиц в ячейке» Морза [21] эквивалентен методу разделения заряда Бэрдсола.
Все эти методы используют какую-либо математическую про цедуру для сглаживания потенциала, а это практически эквива лентно сглаживанию взаимодействия при близких столкновениях. Однако всем этим методам присуща одна и та же трудность — необ ходимость сглаживания функции распределения при решении уравнения Власова. Процедура же математического сглаживания вводит эффекты, последствия которых понятны не вполне. Сомне ния такого рода можно ликвидировать только в результате кро потливого исследования поведения модели (как теоретического, так и экспериментального).
Поведение системы в целом, по-видимому, не зависит крити чески от детального движения всех частиц. Оно должно опреде ляться рядом макроскопических параметров. Число этих парамет ров может быть большим, но оно должно быть существенно мень ше, чем число частиц. Если это не так, то у нас не остается надеж ды на описание плазмы. Если это правильно, то должен существо вать метод сохранения важной информации и исключения массы деталей, которые неважны. Метод «частиц в ячейке» достигает этой цели путем использования конечного числа частиц и ячеек.
28 |
Гл. 1. Модель плоских листов и ее модификация |
1. Модель частиц конечного размера
Мы использовали другой подход к этой проблеме. Поскольку нас в основном интересуют длинноволновые коллективные движе ния плазмы, то нам нужно удержать при вычислениях только эти моды, т. е. только фурье-моды с длинами волн, большими некото рой минимальной. Это просто сделать, если опустить электриче ские поля с длинами волн короче, чем те, которые считаются
Е
важными. Таким образом, мы могли бы принять, что электри ческое поле, обусловленное частицей, определяется конечной суммой Фурье:
Ьмакс |
|
|
Е(г)=4гох 2 |
ѳхр [tk-(г— |
(24) |
^мин где /смаке и /смин определяются наименьшей и наибольшей длинами
волн, |
которые |
нас интересуют, г — координата частицы |
и о — |
ее заряд. Обычно /смакс должно быть порядка Къ1, где XD — деба |
|||
евская |
длина, |
а /смин определяется размером -системы; |
/смин — |
порядка і?-1, где R — радиус системы. |
|
Если электрическое поле выбрано в виде (24), то оно будет иметь колебания, которые для одномерного случая представлены на фиг. 9. Такие колебания поля нежелательны и могут быть ликвидированы *). Нам не обязательно выбирать поле в виде (24), можно принять и следующее выражение:
ймакс
Е(г) = 4яа 2 -р-/ (Ä)exp[ik.(r —Гі)], |
(25) |
Ь
МИН
*) A t В . Langdon, частное сообщение, 1967.
§ 3. Исследования с частицами конечного размера |
29 |
где / (к) — формфактор. Подходящим выбором для / (к) является ехр (—к2а2/2). Теперь видно, что если &макс было бы бесконечно, то выражение (25) давало бы электрическое поле, соответствую щее распределению заряда по закону Гаусса:
Р (г) ~ а |
(г—г;)2 Н |
|
(26) |
|
2а2 J |
• |
|||
|
|
Таким образом, формула (26) будет определять поле, соответ ствующее частице конечного размера а. Если ймаксаг велико, то все члены бесконечной суммы с к, большими кмакс, малы, и конечная сумма дает хорошее приближение для поля такой частицы. Поскольку поле такой частицы гладкое и не осциллирует, то это в основном будет так и для конечной суммы.
Теперь ограничим себя одномерным случаем и рассмотрим взаимодействие между частицами, плотность зарядов которых имеет вид
Р (х) = |
0 ехр [ —(х —Хі)2/2а2] |
(27) |
|
У 2ла |
|||
|
|
где Хі — координата центра облака и (—а) — его полный заряд.
Разлагая плотность заряда в ряд |
Фурье, |
получаем |
|
|||
|
Р (*) = |
0 ехр [— (к2а2/2) -f- ікхі] |
(28) |
|||
|
У |
2л |
|
|||
|
|
|
|
|
||
в |
то время как Е (к) |
определяется |
выражением |
|
||
|
ікЕ (к) |
= |
4я0 ехр [ — (/с2а2/2) |
ікх{\ |
(29) |
|
|
У2л |
|
||||
|
|
|
|
|
||
Сила, с которой частица / |
действует на частицу і, записывается |
|||||
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
F i j = |
j E j ( x ) p t (x)dx = |
|
|
||
|
2оЧ |
ехр [ik (xj — х) — (fc2a2/2) — (ж —х ^ / 2 а Ц |
(30) |
|||
|
У2ла S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ехр [ік (хі —x j )—fc2a2] ^ |
(31) |
|
к |
||
|
Эта сила имеет ту же функциональную форму, что и поле Е в точ
ке X}, создаваемое частицей в точке xj с полушириной У 2 а и за рядом о.
Поскольку теперь нам нужно работать с конечным числом чле нов, мы заменим полученное выражение для силы конечной сум-
30 |
Гл. 1. Модель плоских листов и ее модификация |
|
мой Фурье |
|
|
|
Fij = F0 2 je x p ( — kW) sin k(xj — xt), |
(32) |
|
b |
|
|
МИН |
|
где k = 2nnlL, n — целое число и L — длина системы. Эта сила периодична с периодом L и соответствует рассмотрению бесконеч ного набора повторяющихся идентичных систем. Система в целом нейтральна, поскольку поле периодично. Последнее эквивалент но наличию неподвижного нейтрализующего фона.
Сила, с которой на частицу і действуют все другие частицы, определяется выражением
(і-й член можно включить в суммы по /, поскольку отсутствует воздействие частицы і самой на себя).
Чтобы рассмотреть движение частицы во времени, предполо жим, что в течение временного шага силу можно вычислять так, как будто частицы движутся с постоянной скоростью. Далее предположим, что kMaKCViAt мало, т. е. что частица проходит за один шаг только малую часть самой короткой из рассматривае мых длин волн. Тогда мы сможем аппроксимировать (33) следую щим уравнением:
Ъ |
|
макс |
|
тх( = 2 -^-ехр( — &2а2) | j^sinA:.^ (t) |
^ k2vf (t) т2 J -j- ' |
j |
|
X [ 2 vi (0 sin hXj (£)1 — k%T2 sin kXi (£)"| |
2 v) (t) cos kxj (£)] — |
j^cos kxt (t) ^ 1 — у &2k? (t) t2j —kvt (i)rsin k x t (i)J £ 2 sin&a:^)^—
— [/rr cos kxt (t) — k2Vi (t) Tzsin kxt (t)] [ 2 ^ ' (0 cos kxj (£)J +
j
§ 3. Исследования с частицами конечного размера |
31 |
Здесь t — время в начале временного шага; т — время, истекшее от начала временного шага; удержаны члены не выше второго порядка по т. Уравнение (34) можно проинтегрировать, чтобы получить скорости и координаты частиц.
Уравнение (34) выглядит довольно сложным, поэтому возни кает вопрос, не потеряли ли мы больше, чем выиграли, используя нашу технику. Здесь необходимо отметить следующее. Во-первых, суммы по / не зависят от і и могут быть вычислены для всех частиц раз и навсегда. Каждая сумма по j должна быть определена для каждого рассматриваемого к. Таким образом, если имеется N частиц и М мод, то нужно вычислить а N M членов, где а — коэф фициент пропорциональности, определяемый числом сумм по / (в нашем случае их будет шесть). Аналогично, чтобы описать движение частиц, нам нужно вычислить ßAf членов для каждой частицы, что требует нахождения f>MN членов. Следовательно, время полного вычисления будет пропорционально MN. Если бы мы попытались вычислять взаимодействия частиц непосредствен но (последовательно для каждой пары), то время вычислений было бы пропорционально N 2/* 2. Таким образом, если М гораздо меньше числа частиц, то наша техника дает преимущество по срав нению с прямым вычислением взаимодействий. По существу, мы стремимся удержать только несколько мод — длинноволновые коллективные моды, которые существенны для рассматриваемых проблем. Следовательно, М должно быть много меньше N. Кроме того, поскольку частицы должны представлять полную функцию распределения в фазовом пространстве, а моды — только коор динатную часть возмущения, то необходимо гораздо больше частиц, чем мод.
В результате включения в уравнение (34) зависимости поло жений частиц от времени мы усложняем вычисления.] Однако одновременно мы значительно улучшаем точность метода и полу чаем возможность выбирать большие временные шаги, что с лих вой компенсирует дополнительные вычисления. Если не делать этого, то закон сохранения энергии для системы будет выполнять ся очень плохо. С учетом же временной зависимости энергия сохраняется с точностью до ІО-3 в течение ^ЮОнф1. Недавно мы обнаружили, что при использовании для определения координат и скоростей схемы «с перешагиванием» *) учет указанной времен ной зависимости дает много преимуществ.
При одинаковом числе частиц и числе мод, таком же, как число точек сетки, используемое в методах Хокни [19], Бэрдсола [20] и Морза 2), вышеуказанный метод является более медлен
ным |
(их времена |
счета |
пропорциональны аN + $М2, где М — |
*) |
В оригинале: |
leap frog m ethod.— П рим , перев. |
|
2) |
R . L . Morse, |
частное |
сообщение. |
32 |
Гл. 1. Модель плоских листов и ее модификация |
число точек сетки). Однако можно модифицировать эту процеду ру, используя комбинацию сеток в г- и /с-пространствах для того, чтобы сделать число вычислений пропорциональным N + ßikP. Мы проделали некоторые предварительные вычисления этого типа и достигли значительной экономии времени, а точность, по-види мому, сохранилась. Поскольку этот метод прослеживает точную динамику частиц, взаимодействующих через модифицированный кулоновский потенциал, то для проверки вычислений можно использовать многие физические законы сохранения, например можно проверить выполнение сохранения энергии и импульса.
2. Исследование флуктуаций вблизи теплового равновесия
Флуктуации около теплового равновесия явились первой проблемой, которую мы исследовали на модели частиц конеч ного размера. Мы хотели убедиться, что флуктуации ведут себя
|
|
так, |
как |
предсказывает |
||||
|
|
теория. На фиг. 10 пред |
||||||
|
|
ставлен график зависимо |
||||||
|
|
сти |
амплитуды |
средне |
||||
|
|
квадратичной |
флуктуации |
|||||
|
|
электрического поля от но |
||||||
|
|
мера моды для заряженных |
||||||
|
|
облаков |
|
с |
а = 2XD |
и |
||
|
|
& м а к с = 2, |
где |
А.£> — де |
||||
|
|
баевская длина. Сплош |
||||||
|
|
ная |
кривая |
получена |
из |
|||
|
|
теории для облаков, заряд |
||||||
|
|
которых |
распределен |
по |
||||
|
|
закону |
Гаусса. |
Эта кри |
||||
|
|
вая получается из формулы |
||||||
|
|
|
Р (Eh) dEh ~ |
|
||||
|
|
~ |
ехр [ — |
|
] dEh, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(35) |
|
|
|
где |
Р (E k) — вероятность |
|||||
|
|
нахождения электрическо |
||||||
Ф и г . 10. |
Среднеквадратичная флуктуа |
го поля |
в |
интервале dEh |
||||
ция поля |
Е как функция номера моды. |
около |
величины |
Eh, |
а |
|||
|
|
фй — работа, |
необходимая |
для создания флуктуаций E h\ фк определяется следующей форму лой:
Фи = |
+ к2х° ехр f*2a2D’ |
(36) |
|