Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 342

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

'288 Гл. 7. Модели плазмы без столкновений

Сформулированная математическая модель и описанные вычис­ лительные методы были использованы для объяснения некоторых явлений, наблюдавшихся в плазме, образуемой путем инжекции нейтральных атомов в ловушку с магнитными пробками. Опубли­ кованы результаты 17], которые объясняют влияние большого потенциала на коллективное поведение разреженной плазмы

иподтверждают стабилизацию плазмы конечным размером орбит

вусловиях, наблюдавшихся экспериментально. С помощью этой программы можно также изучать устойчивость плазмы в пробочных полях с положительным градиентом (с минимумом В).

2.Двумерная нелинейная модель

а. Основные уравнения

Неустойчивости плазмы с большими амплитудами мы будем изучать с помощью расчета на ЭВМ двумерного движения ионной

иэлектронной жидкостей. Две заряженные жидкости движутся

сдрейфовыми скоростями во внешних магнитном и гравитацион­

ном полях и в собственном электрическом поле, возникающем из-за наличия некомпенсированного заряда или разделения заря­ дов. Обе жидкости являются разреженными, взаимопроникающими в некоторой области пространства и подвержены действию оди­ наковых сил. Действие сил, пропорциональных массе, на относи­ тельно легкие электроны не учитывается; следовательно, суще­ ствует различие в скоростях жидкостей. Несовпадение скоростей вызывает разделение зарядов и, следовательно, возникновение электрического поля Е. В свою очередь это поле вместе с магнитным полем В вызывает колебания или экспоненциальное нарастание малых возмущений. Одним из вопросов, изучаемых в ходе вычислений, является выявление особенностей конечной стадии (известных) неустойчивостей, когда в начальный момент плазма возмущается малыми колебаниями.

Плазма нейтральна или почти нейтральна и находится в посто­ янном однородном магнитном поле В и внешнем силовом поле g. Выражения для скоростей каждой жидкости следуют из дрейфовой теории [10]. Каждая жидкость удовлетворяет уравнению непре­ рывности. Плотность некомпенсированного заряда е {nt — пе) используется в уравнении Пуассона для вычисления потенциала ср. Новое электрическое поле изменяет дивергенцию скоростей и, сле­ довательно, плотности.

Перемещение плазмы рассматривается как коллективное дви­ жение заряженных частиц, перпендикулярное магнитному полю В. Отношение давления плазмы к давлению магнитного поля столь мало, что изменения в величине В. вызываемые токами в плазме, не учитываются. Сильное магнитное поле позволяет также* считать

§ 3. Модели плазмы с малым ß

289

движение двумерным. Влияние кривизны магнитного поля моде­ лируется однородным гравитационным полем g, перпендикулярным магнитному полю В. Как известно, дрейфовое приближение пригодно для описания большого числа низкочастотных явле­ ний 111]. Влияние конечного размера гироорбит можно учесть с помощью поправочных членов [12]. Соответствующая физическая теория и результаты вычислений обсуждались в работах [13, 14].

Независимыми переменными являются пространственные коор­ динаты х, у и время t. Плазма заполняет область, ограниченную при у = 0 и у = h проводящими стенками, потенциал которых равен нулю; по х задача предполагается периодической с периодом L — 48 Ах. Зависимыми переменными являются плотности элек­ тронов пе и ионов nt, потенциал, создаваемый исключительно некомпенсированным (полным) зарядом, или разделением зарядов Пі — пе, соответствующее электрическое поле Е = — V <р и дрей­ фовые скорости ѵе и V; электронной и ионной жидкостей.

Уравнения, описывающие движение плазмы, имеют вид

Ѵ2Ф =

е(пі — пе)

(107)

 

ео

ѵ

[ E X В]

В2

qJ S-5 ^ к

Е :=

— Ѵф,

 

 

 

(108)

=е

[Е

X

В]

 

 

 

(109)

В%

 

 

 

 

,

 

т [g

X

В]

 

т (Ш

 

(HO)

 

 

е

 

 

 

 

 

“Г

 

 

 

В2

1

dt

’

 

 

 

 

1

= — Ѵ

 

 

-

(

г е «

ѵ г ) ,

(1 1 1 )

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

(1 1 2 )

 

= — V -(r a ev e).

 

 

Решение разностных уравнений вычисляется в точках

Хі = іАх, і = 1, 2, . . . , 48; yj = jAy, / = 1 , 2 , . . ., 48

для моментов времени tn — nAt, n = 1, 2, 3, . . . .

Общая схема решения состоит в следующем. Сначала по извест­ ным значениям плотностей nt и п вычисляются потенциал ф, элек­ трическое поле Е и, следовательно, скорости ведущих центров для фиксированного временного слоя. В вычислениях, содержащих дифференцирование по времени, требуется хранение более чем одного временного слоя. Новые значения плотностей ?г; и пе вычи­ сляются с помощью разностного решения уравнений непрерывно­ сти.

Мы рассматриваем плазму, в которой коллективное движение обеих заряженных компонент представляет собой медленный дрейф ведущих центров со скоростью Е X В/В2 поперек создаваемого извне магнитного поля. Такое описание движения заряженных

19-01236

290

Г л . 7 . М о д е л и п л а з м ы б ез с т о л к н о в е н и й

 

частиц в виде дрейфа ведущих центров пригодно только тогда, когда все частоты малы по сравнению с циклотронной частотой ионов,

®®СІ1

ивсе макроскопические длины намного больше, чем ионный лар­ моровский радиус

L > at.

Эти требования приводят к ограничению максимальной плотности свободного заряда:

I JTI /S л

Заметим, что значение К = игпг;/е05 2 может быть много больше единицы, если величина \щ — пе| достаточно мала. Параметр К является критическим и характеризует реакцию плазмы на изме­ нение электрического поля.

Предположение о том, что магнитное поле постоянно во вре­ мени, требует, чтобы все токи в плазме были достаточно малыми. Это и есть по существу приближение «малого ß», которое огра­ ничивает величину «тепловых» скоростей, или, проще, требует, чтобы плотность тепловой энергии плазмы была намного меньше плотности магнитной энергии.

Читатели, знакомые с гидродинамическими моделями для не­ сжимаемых жидкостей, заметят близкую связь их с обсуждаемой моделью плазмы. В предельном случае, когда рассматривается толь­ ко одна заряженная компонента со скоростью \ в — Е X ВІВ2, такая модель плазмы вполне аналогична гидродинамической мо­ дели, в которой плотность заряда играет роль плотности вихрей (компонента, скорость которой перпендикулярна плоскости дви­ жения), а электростатический потенциал играет роль функции то­ ка. Новым фактором в этой модели плазмы является наличие двух противоположно заряженных жидкостей, в которых плотность свободного заряда обусловлена различием в плотности жидкостей. Его выражением служит следующий факт. Если две заряженные жидкости имеют примерно равные плотности, то даже небольшие относительные скорости важны, поскольку они могут вызвать разделение зарядов и, следовательно, привести к изменению электрического поля. По этой причине два последних слагаемых в скорости ионов очень важны (аналогичные слагаемые вскорости электронов не учитываются, так как отношение масс велико). Слагаемое вида {тіІеВ‘1) [g X В] ведет к разделению зарядов и служит причиной возникновения желобков (гармоник Рэлея — Тейлора) в плазме [15]. Последнее слагаемое (mJeB^dtldt, извест­ ное как поляризационный дрейф, также вызывает разделение зарядов и является причиной существования низкочастотной

§ 3 . М о д е л и п л а з м ы с м а л ы м ß

291

диэлектрической проницаемости плазмы, е0 (1 + К), где

Именно этот поляризационный дрейф вызывает сильную не­ устойчивость вычислений, в которых используется обычная про­ цедура дифференцирования по времени (схема «с перешагивани­ ем» или схема «средней точки»). Мы будем применять чередующиеся методы дифференцирования по времени, которые сохраняют положительные свойства схемы «с перешагиванием» и ликвидируют неустойчивость вычислений, вызываемую поляризационным дрей­ фом.

б. Процедуры конечно-разностного дифференцирования в пространстве

Внашей модели применялись обычные хорошо известные про­ странственно-центрированные консервативные схемы разностного

дифференцирования, которые обсуждались в § 2 .

Метод, использованный при решении уравнений пятиточеч­ ной разностной схемы для уравнения Пуассона, аналогичен мето­ ду, описанному в работе [16]. Он представляет собой быстрое, прямое решение уравнения Пуассона. Метод основан на пре­ образовании Фурье для плотности зарядов по каждому направ­ лению, вычислении коэффициентов Фурье для потенциала и последующем вычислении потенциала в каждой точке сетки суммированием членов Фурье вдоль каждого направления. Как оказалось, этот метод позволяет получить решение гораздо быстрее, чем любой известный релаксационный метод. К тому же знание коэффициентов Фурье для плотности заряда и электро­ статического потенциала может служить полезной диагностикой.

В ходе интегрирования уравнения непрерывности сохранение жидкости достигается применением пространственно-центриро­ ванного разностного аналога оператора у • (пх), который в про­ стейшей двуточечной форме для одномерного случая имеет вид

(113)

Если интерпретировать величину +Дж/2

как полное количество жидкости в ячейке длиной Ах с центром

в

точке сетки

у, то станет ясно, что полные потоки жидкости

в

ячейках /+

2 и ; — 2 будут содержать вклады, в точности ком-

19*

Смотрите также файлы