278 |
Гл. 7. Модели плазмы без столкновений |
Разделив это выражение на постоянную г%В%і4, мы получим величину
|
|
I* |
ймакс |
|
F(t) = |
J |
dZ j |
RdR[b2T + bi + eg], |
|
где |
- i * |
|
|
|
_ E q _ |
1 é?jx |
|
- |
|
|
|
|
— Ш ~ д х ' |
|
Квадратурная формула для этого интеграла имеет вид |
|
Fn+1= h3m S S |
;4[(M ”+/ ] 2+ [(6z)”Y ]2+[(ëe)”Y ]2>- (72) |
|
t = - J j = o |
|
|
|
Энергию инжектированных частиц можно определить выражением
г
m0c2AuTAuzArAz j yS dt'.
о
Разделив его на г®/?®/4, с учетом описанного выше способа инжек ции получим
n-fl |
|
T ^ = C?h*2h2m 2 y f ’on'Axm; |
(73) |
то ' — 1 |
|
где — значение у для того элемента, в который инжекти руются частицы. Энергия частиц в системе равна
dr dz dur duz.
Снова, разделив ее на r\B\l4, будем вычислять безразмерную величину
|
1 J |
к |
L |
-.71+1 пП+1 |
|
|
Еп+1 = C?h*2h2m 2 2 |
2 |
2 |
(74) |
|
Yiy j, ft, IWiy j, ft, I • |
|
~ - І j=l fc=_K l = —L |
|
|
Тогда уравнение сохранения энергии, используемое для контро ля, принимает вид
р п + 1 __р о _|_ ^ n + l _ р п + 1 ' |
(75) |
д. Применения
Впрограмме LAYER предусмотрены два возможных способа задания внешнего магнитного поля. В первом варианте исполь зуются формулы
аѲс = |
R + А 2іі {'AR) cos AZ, |
(76a) |
§ 2. Решение уравнения Власова |
279 |
Ъгс = |
КА2І 1 (KR) sin KZ, |
(766) |
bzc = 2Ai |
-f- KA2I 0 (KR) cos KZ, |
( 7 6 b ) |
где / 0 и /) — модифицированные функции Бесселя первого рода
иК, А и А 2 — заданные постоянные. Другой вариант имеет вид
|
|
|
|
|
|
ß0c = | - 4 - | - / 1(^)e-w *chX Z, |
(77а) |
|
Ъгс = - |
«Л (KR) е-«* sh KZ, |
(776) |
|
bzc= |
1- \ - а J о (KR) e~u * ch KZ, |
( 7 7 b ) |
где / 0 и |
— функции |
Бесселя первого рода и К, |
а — заданные |
постоянные. |
Преимущество этого способа состоит в том, что если К |
удовлетворяет уравнению |
( |
|
|
|
KJ0 (К) = / , (X), |
|
то Рт= 0 при R = 1 для всех Z. Следовательно, если частицы инжектируются при R — 1 с иг = 0, то они не будут распростра няться вдоль радиуса в начальной стадии формирования элек
тронного слоя. |
Конечно, |
вследствие |
роста собственного поля Рт |
не будет потом равно нулю при R = |
1 и слой будет расширяться |
в радиальном направлении. |
|
Значение а определяется желаемым углом наклона в средней |
плоскости. Рассмотрим |
равновесную орбиту частицы, R = 1, |
с компонентами |
скорости |
в средней |
плоскости z = О |
(R, RQ, Z) = (О, V sin б, V cos б);
тогда для той орбиты, которая повернет назад при Z — I*, будет выполняться равенство
2Х (cosec б 4-1)
J \ ( X )
Введенную’ выше постоянную R 0 можно определить следую щим образом:
_ ™o£!lßs.n
ег0
где ß и у — параметры, зависящие от энергии инжекции. Зная R0 и г0, можно вычислить значение параметра С^. В частности, при г0 = 30 см и R 0 = 600 Гс получается Ct = — 5,27.
С помощью описанной программы было выполнено много вычис лений для различных условий инжекции и нескольких вариантов наложения внешнего магнитного поля в случае длинного и ко роткого .Е-слоя. В первых вариантах для вычисления внешнего магнитного поля обычно использовались формулы (77). Часть
280 Гл. 7. Модели плазмы без столкновений
результатов вычислений обсуждается в работе Киллина и Ромпель [4].
В более поздних вариантах внешнее магнитное поле вычисля лось по формулам (76) с заданными, но различными при Z > 0
и Z < |
0 параметрами Аі и А г. |
Основанием |
для такого выбора |
служит |
необходимость получить |
сильную магнитную пробку при |
Z = — Z* в случае инжекции со стороны Z = |
+ I*. |
На фиг. 1 показаны силовые линии магнитного поля для ре шения, при котором суммарное поле меняет, направление.
Ф и г . 1. Силовые линии магнитного поля для решения с изменением напра вления поля, полученного с помощью программы LAYER.
|
|
|
|
|
|
В случае фиг. 1 область Z имеет |
размеры —3 ^ Z ^ |
3 с еди |
ницей длины г0 = 30 |
см. Область R |
имеет размеры 0 ^ |
R ^ 2Г |
Ri = 0,5 и Т?2 — |
1,5. |
Область скоростей имеет размеры |
—10 ^ |
^ uz ^ 10 и — |
5 ^ |
иТ^ |
5. Применявшаяся конечно-разност |
ная сетка имела ячейки со |
сторонами AR = h = 0,1, AZ = 2h = |
= 0,2, Au r = Au z = h * == 1,0.
Источник электронов описывается функцией а согласно форму ле (45). Инжекция осуществлялась в одной точке фазового про странства, а именно в точке Z = 3, R = 1, uz = — 1, иГ = 0, причем на каждом временном шаге вводилось иАт электронов. Если ток электронов в 1000 А инжектируется в объем фазового пространства AR АZ AurAuz — (0,1)(0,2)(30)2 см2, то из форму лы (45) получается значение о = 3,0. Обычная процедура состоит в том, чтобы решать задачу формирования, определяемую урав нениями (43) и (44), до установления стационарного решения, при котором уравновешиваются поступление и потери частиц. Затем можно удвоить а и продолжать решение до установления нового стационарного состояния и т. д. Результат вычислений, изображенный на фиг. 1, был получен для ст = 12,0. Необходимо отметить, что захватывающий эффект проводящих шин не был включен в модель. Он учитывается в новом варианте програм мы LAYER.
§ 3. Модели плазмы с малым ß |
28? |
§ 3. М одели п л а з м ы |
с малым |
ß, и с п о л ь з у ю щ и е |
дрейфовые у р а в н е н и я |
д в и ж е н и я |
ведугцего |
ц е н т р а |
1.Линейная модель
а. Основные уравнения
Мы рассматриваем проблему крупномасштабной устойчивости ограниченной неоднородной плазмы, в которой отсутствуют столк новения и мал параметр ß. В теоретическом исследовании учи тывается стабилизирующий эффект, обусловленный конечным размеррм ионных орбит, а также некоторые новые особенности, не учитывавшиеся в предыдущих работах. В частности, изучается влияние электрического поля нулевого порядка и эффект неравен ства плотностей ионов и электронов. Предполагается, что как электрическое, так и магнитное поля являются произвольными функциями пространственной координаты г. Учет этих особен ностей представляет собой попытку объяснить эксперименталь ные явления, наблюдавшиеся в экспериментах на установке- «Алиса» с внешней инжекцией нейтральных атомов [7].
Мы запишем уравнения в цилиндрической геометрии и исполь зуем подход работы [8], в которой учитывалась цилиндрическая форма плазмы и граничные условия на металлической стенке. В общем случае невозможно получить аналитическое решениесоответствующих уравнений, поэтому основные уравнения реша ются численно конечно-разностными методами. Аналитическиерешения, которые удалось получить для некоторых предельных случаев, находятся в согласии с численными расчетами.
Рассмотрим двумерную двухжидкостную модель. Все возмуще ния величин будем считать функциями цилиндрических коорди нат г и ф и времени t. Невозмущенные плотности компонент плаз мы, магнитное поле и электрическое поле нулевого порядка являются функциями только г. Уравнение для возмущенного-
электростатического |
потенциала |
ф имеет вид |
|
Г 2 |
г+а |
п+ (R, ф, |
t) R dR |
|
(* |
(78} |
Ѵ2ф = — 4лес L Я |
J |
[4Д2г2—(Д2_|_г2 — а 2 )2 ]Ѵг |
|
T — CL |
|
|
|
где п+ и п_ — возмущенные плотности ведущих центров |
ионов; |
и электронов, е — заряд электрона, с — скорость света |
и а — |
ларморовский радиус ионов. Уравнение (78) было получено под становкой в уравнение Пуассона выражения для плотности ионов; вида
г+а |
п+ (і?, ф, t) R dR |
2 Р |
Я |
[ 4 Д 2 г 2 _ ( Д 2 + г 2 _ а 2)2] Ѵ2 ’ |
282 Гл. 7. Модели плазмы без столкновений
которое является точным выражением для плотности частиц, за писанной через плотность ведущих центров [9]. В отношении элек тронов мы полагаем, что плотность частиц совпадает с плотностью ведущих центров.
Так как магнитное поле и электрическое поле нулевого поряд ка, Е 0, зависят только от г и Е 0 направлено вдоль радиуса, ради альные компоненты дрейфовых скоростей нулевого порядка равны нулю. Линеаризованные уравнения непрерывности для плотностей ведущих центров имеют вид
|
^ |
+ (Ѵ+• V) п++ |
(ѵ+• V) N+ + N +div v+ = О, |
(79) |
|
дп_ |
(Ѵ_• V) и- + |
(ѵ_• V ) ІѴ_ + |
AL div v_ = 0, • |
(80) |
|
dt |
|
Л’_(г) невозмущенные |
плотности ларморовских |
|
где N +(г) и |
центров ионов и электронов, Ѵ+ и Ѵ_ — дрейфовые скорости нуле вого порядка для ионов и электронов, обусловленные градиентом
магнитного поля и слагаемым |
Е 0 X ВІВ2, и ѵ+, ѵ_ — возмущен |
ные дрейфовые скорости. Последние имеют вид |
E j X В |
|
Ѵ2Е і X В |
(81) |
J52 |
|
£2 |
ѵ_ = |
Еі ХВ |
(82) |
£2 |
|
где |
|
|
|
Еі = — Ѵф, В = Вг (г) r„ + |
.Вф (г) фо + |
Вг (г) z0, |
B2 = Br2 + В І |
+ В І . |
|
В формуле (81) учтено выражение |
|
|
(Е П -Е і + ^ Ѵ 2^ |
(83) |
для среднего значения вдоль ионной орбиты, которое содержит слагаемое второго порядка относительно ларморовского радиуса ионов а. В выражении для возмущенной скорости электронов не нужно выполнять усреднения, так как ларморовский радиус электронов считается пренебрежимо малым. В выражениях (81) и (82) мы пренебрегли также слагаемыми дрейфовой скорости вида (d/dt-\- Ѵ± -Ѵ)Е1/Всос, которые для типичных полей в системах с магнитными пробками малы по сравнению с поправочными чле нами, возникающими из-за конечных размеров ионных орбит.
Мы предполагаем, что возмущенный электростатический потен циал и возмущенные плотности ионов и электронов имеют следую щую форму:
ф (г, ф, t) = ф (г, t) ßiwKP,
п+(г, Ф, t) = п+(г, t) еітч>,
п_ (г, ф, t) = и_ (г, t) еітц>.
