Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 272

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

в

данной

точке пространства

могут

встретиться потоки

электронов

с

разными

скоростями

v a ,

тогда

 

 

 

 

 

 

 

р =

2Pa,

J =

2PaVa -

(1.11)

 

 

 

 

 

а

 

 

а

 

 

Здесь

индекс а •— не номер

электрона, а номер электронного потока.

Если

же

имеется

только

единственный

односкоростной

поток, то

 

 

 

 

 

 

 

j=pv,

 

 

(1.12)

причем р и v связаны уравнениями

(1.04) и (1.05).

 

 

Ясно,

что в

случае одного потока

соударения несущественны

даже при учете разброса скоростей, поскольку не изменяют средней скорости электронов j/p (вследствие закона сохранения импульса при соударениях). При наличии двух или более потоков соударения при­ обретают большее значение и в силу своего случайного характера могут увеличить разброс скоростей. Применение односкоростного приближения в этом случае связано с пренебрежением соударениями; оценки показывают, что в электронике это пренебрежение законно.

С экспериментальной точки зрения наиболее наглядной иллюст­ рацией того, что соударения несущественны, служит движение элект­ ронов в отражательном клистроне, где возвращающиеся сгустки про­ ходят через сгустки, движущиеся от резонатора, без заметных взаим­ ных возмущений.

В электронике часто применяют так называемое «гидродинами­ ческое приближение». В кинетической теории газов из уравнения

Больцмана получают

уравнения

гидродинамики, согласно

которым

газ

характеризуется

плотностью,

скоростью,

давлением

и

т. д. —

все

эти величины должны быть однозначными

скоростями

координат

и времени. Если из уравнений гидродинамики получается, что в дан­ ной точке газ может иметь в данный момент две скорости, то такое решение считают нереализующимся, и вместо него, в согласии с опы­ том, реализуется ударная волна. Причина этого — в малости длины свободного пробега в газах.

Как мы отметили выше, в электронике имеет место обратная ситуация, и появление многоскоростных потоков полностью соответ­ ствует действительности. Пусть, например, мы рассматриваем одно­

мерное

свободное

движение электронов по оси z; уравнение v = О

(v = vz,

vx = vy

= 0) в гидродинамической форме имеет вид

 

 

—-JrV

— = 0,

 

 

dt

дг

поскольку мы считаем v = v (t, z). Общее решение этого уравнения есть

v = G[t -

где G — произвольная функция. Поскольку зависимость vm і и г по­ лучается в неявном виде, v может быть многозначной! функцией. Так,

' с : ' •?.

ЧИТ/.;г •<.-. т. ...

если при 2 = 0 скорость модулирована по синусоидальному закону

 

v = v0[l

-fxsinco/]

( 0 < и < 1 ,

v0 = const> 0),

при z >• 0 имеем

 

 

 

 

 

 

1 +

х sin со (t

 

 

 

 

 

V

 

 

причем

при к —

> 1 скорость у принимает

при

некоторых £ два и

больше

значений

(см. задачу

3). Это — известный

в баллистической

теории клистронов факт: после синусоидальной модуляции по ско­ рости электроны дрейфуют, причем при достаточно большом z в дан­

ной

точке встречаются электроны,

вошедшие

в пространство дрейфа

(г > 0) в разные моменты времени;

электрон,

вошедший позже,

наг­

нал

электроны, движущиеся в этом пространстве дольше.

 

 

Это явление обгона делает неприменимым

(или, по крайней

мере,

неудобным) гидродинамическое рассмотрение, приводящее, как мы видели выше, даже в простейшем случае свободного прямолинейного

движения к соотношениям,

не соответствующим сути дела. Обычно

в электронике применяются

(см. 7-ю лекцию) другие переменные,

вкоторых обгон учитывается легко и естественно.

Вэлектронике обычно рассматривают периодические процессы,

для которых можно положить

ОО

ОО

 

E = Re 2 Е д е - " « ш ' ,

H = Re 2 Н п е - ' и в > '

(1.13)

п = 0

п=0

 

(2я/со—период колебаний), и исследование полей упрощается. Комплексные амплитуды Е п и Н Л , зависящие только от координат, удовлетворяют комплексным уравнениям Максвелла

rot En = ikn\in Нп,

r o t H „ = — iknenEn-\

j„,

(1.14)

где

 

с

 

 

 

 

К = — >

в п = в(шо), | і п = ц,(шо),

 

(1.15)

с

 

 

 

причем є (со) и \i (со) — комплексные проницаемости на частоте со, за­ висящие также от координат. Во втором уравнении (1.14) j n суть комплексные амплитуды электронной плотности тока

 

 

 

J =

Re 2 1 п е - '"я ш ',

 

(1.16)

поскольку

плотность

тока

проводимости

включена в

слагаемое

— iknenEn

благодаря

тому, что мы соответствующим образом опреде­

лили комплексную

проницаемость є (со): она содержит

слагаемое

.

4ла

 

 

 

 

 

і

—.

 

 

 

 

 

К этим линейным уравнениям прибавляются еще уравнения (1.04) и (1.05) вместе с соотношениями (1.11) и (1.12). Благодаря нелиней-

18

ности системы уравнений электроны возбуждают поля на всех гар­

мониках псо основной частоты

со, определяющей

периодичность всех

процессов

(период

2л/со). В

этом — сложность

задач электроники.

Упрощение

возможно благодаря тому, что лишь на основной частоте

со обычно имеется

синхронизм, вследствие чего

можно выделить ре­

зонансную часть поля, а остальное поле (на частоте со и ее гармо­

никах), имеющее нерезонансный характер,

трактовать

как поле

про­

странственного заряда. В

дальнейшем

эта

трактовка

будет развита

в деталях применительно

к приборам

различных типов.

 

Нелинейность уравнений делает задачи электроники более труд­

ными, чем задачи «чистой» электродинамики. Нужно,

однако,

иметь

в виду, что нелинейность уравнений отражает существо дела: если бы уравнения были линейными, то невозможно было бы усиливать, ге­ нерировать и преобразовывать колебания, т. е. не было бы самой электроники*.

Д л я электроники представляют интерес не только периодические (установившиеся) колебания, но и переходные режимы: установление колебаний, их устойчивость к возмущениям и т. д. Переходные режимы можно исследовать, считая Е„, Н п и j„ медленно меняющимися функ­ циями t (см. 2-ю лекцию.)

б. ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ

Применим комплексные уравнения поля к расчету полей, создаваемых движущимся электроном.

Если электромагнитное поле непериодично и достаточно быстро убывает при ^—>- ± оо, то вместо рядов Фурье (1.13) следует приме­ нить интегралы Фурье

ос

 

 

 

 

сс

 

 

 

E(0 = Re j E(©)e-""><d(o,

H ( 0 = R e JH(co)e-^dco.

(1.51)

о

 

 

 

 

0

 

 

 

Входящие в эти

интегралы

комплексные амплитуды

Е (со) и Н (со)

удовлетворяют

уравнениям

 

 

 

 

 

 

rot Е (со) =

Нір Н (со), rot Н (со) = — ike Е (со) + —

j (со),

(1.52)

 

 

 

 

 

 

с

 

 

в которых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k = —,

є = є(со),

jLi = fi(co),

 

(1.53)

* Сказанному

не противоречит то обстоятельство,

что в некоторых

случаях

уравнения удается линеаризировать

и таким

образом

выяснить, устойчива или

неустойчива данная

система. Такая

«линейная

теория»

не является полной: она

в лучшем случае позволяет исследовать начало усиления или генерации, а в дру­

гих

случаях дает

начальный этап разрушения данного электронного состояния

(ср.

приложения

I I и I I I ) .

a j (со) есть комплексная амплитуда электронной плотности тока

оо

 

 

j(/) = R e j }(а)е-ш

das.

(1.54)

о

 

 

Чтобы отличить сами физические величины от их комплексных ампли­ туд, у физических величин явно выписана зависимость от времени (кроме того, они зависят еще от координат).

Если электрон движется в пустоте прямолинейно и равномерно,

то, как известно, он не излучает. Если

же он движется

в среде, то

возможно излучение — так называемое

черенковское излучение, или

излучение

Вавилова — Черенкова.

 

 

Изложим элементарную теорию этого излучения. Пусть точечная

частица (электрон)

движется со скоростью v вдоль оси г,

тогда плот­

ность тока

имеет

единственную составляющую

 

 

 

]\(t) =ev8(x)6(y)8(z

— vt).

(1.55)

Очевидно, что в любой фиксированной точке пространства поле элект­ рона исчезает при t—> ± со, поэтому следует применить интегралы Фурье. В силу соотношения

оо оо

8(z — vt) = 7^ j e^(z-vt)

d w = £ e - L ^ e ' e ( T - ' ) fa, (1.56)

_<x>

0

которое нетрудно проверить, пользуясь формулой обращения интег­ рала Фурье, имеем

Іг(<*) = —Чх)8(у)е1»*.

(1.57)

я

 

Такая «волна тока» возбуждает в пространстве коническую волну, зависящую от координаты г так же, как сам ток (1.57); волновой век­ тор этой волны имеет составляющие

kz = ^-,

^ = | A a 8 l

i - - £ = = - f ( 1 . 5 8 )

поскольку должно

быть

 

 

kt+k2r=k*e\i,

(1.59)

так как поле выражается через векторный потенциал с единственной

составляющей

Аг, удовлетворяющей волновому уравнению

 

 

АЛг + /г2 .е^Лг = 0

(1.60)

для монохроматических колебаний в среде с проницаемостями

є и [г.

В формуле

(1.58) через |3 обозначено отношение

 

 

Р = - ^ .

(1.61)

с

Смотрите также файлы