Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 275

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Р е ш е н и е . Кинетическое уравнение имеет вид

д{

Д

е_ І Ф д{

dt~^~Vdz

т dz

dv

а уравнение Пуассона

 

 

 

 

 

д2Ф

 

?

,

 

— - = — 4 я е

 

/do,

 

fc*

 

- о с

 

причем е < 0. Введем безразмерные величины V, z', v', Ф', /' по формулам

t = [t]t'. г=[г]г'.

v = [v]v'. Ф = [Ф]Ф', / = [/]/'-

где, например, [t] — новая единица времени. Для того чтобы выписанные выше уравнения приобрели наиболее простой вид

 

 

dt'

 

дг'^~

 

dz'

dv'

'

 

 

 

д2

Ф'

 

 

СО

 

 

 

 

 

=

 

С

f'dv',

 

 

 

dz'2

 

J

 

 

 

 

 

 

 

нужно, чтобы выполнялись соотношения

 

 

 

\z]

 

 

 

 

 

 

УФІ

l v ]

= = № '

~

е [

ф ]

=

ш

№

[^г = - 4 я е І / ] [ о ] .

Чтобы упростить граничное условие для / на катоде, положим

М = У Ж '

№ ] = - - •

 

I / ] - - T V =A - 5 "

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/' = е

22

при z =

0 и

у' > 0,

[2] ~ | /

 

 

 

 

 

 

 

 

т

4ле2 [/]

~

| /

4ле2 [/] [У] '

^ ~~ у 4ле\ 2 If] [v]

Произведение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

[v]s=Jf-

е

~

= [п]

 

 

 

 

 

 

[и]

 

имеет размерность объемной концентрации электронов — числа частиц в единице объема. Пользуясь величиной [л], можно переписать выражения для [г] и [t] в виде

/~kT

...

_ Г

т

/

[ t ] =

] f - 4ле2 [п]

2. Формулы, полученные в предыдущей задаче, можно физически интер­ претировать следующим образом: если мы имеем однородную плазму с элект­ ронной концентрацией [п] и температурой Т, то [г] — дебаевское расстояние (радиус Дебая), a l/[t] — плазменная частота (круговая частота Лэнгмюра). Вычислить [z], [t] и [Ф], положив

Т = 1000° К, U = — Ю а/см2.

Взяв U = 10 в, вычислить U' — значение безразмерного потенциала Ф' на аноде.

Эти численные оценки интересны потому, что безразмерный потенциал Ф' в потенциальном минимуме и безразмерное расстояние г' минимума от катода —• порядка единицы, вследствие чего [Ф] и [г] дают представление о тех потенциалах и расстояниях, которые характеризуют «виртуальный катод».

 

Р е ш е н и е .

Исходя из табличных

значений

 

 

 

 

 

 

т =

9,11

• 10 - 2 8

г,

е =

—1,60 . \0~19

к =

—4,80 • \0~10

э. с. единиц,

 

k=

 

1,38

• Ю - 1

6 эрг/град

=

8,62

. 10~5

эв/град,

 

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[Ф]

= 0,086 в,

V

=

116,

[v] =

1,2 • 107

см/сек,

[п]

= 5,1

. 101 2 еж" 3 ,

 

[г]

=

0,97

•

10-*

см, [t] =

0,79

. 10"" сек.

 

 

 

 

 

 

3. Уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v =

v0

1 +

к sin со

t —

г

 

0 <

к «

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сог

 

 

дает в неявном виде v как функцию ( и г. Показать, что при х —

<

1 скорость и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сог

 

 

 

 

 

 

 

 

есть

однозначная

функция

f,

а при х —

> 1 — по

крайней мере

двухзначная

 

 

 

 

 

t),

 

 

 

 

 

 

v°

 

 

 

 

 

 

зависимость v

(при

некоторых

 

для чего при фиксированном

г

исследовать

и f от параметра

ср =

со \ t — — |.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

В параметрической

форме решение уравнения

имеет вид

 

 

 

4 = o 0

( l - f xsincp),

 

1

/' .

шг

—

1

 

 

 

 

 

 

t = —

с р + —

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

\

v0

1+xsincp

 

 

Образуя

производную

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt_

1_

 

шг

 

cos ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dq>

ш

1 — х V о

( l + x s i n f ) 2

 

 

 

 

и учитывая

соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| cos ф |

1 + 0

(х 2 )

при х «

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 -fx

sin ф)г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

шг

видим, что -г-

> 0 при х — < 1, т. е. t есть монотонная функция ср, а ф —

Оф

v0

значная функция t. Следовательно, при этом условии v есть однозначная ция t.

однофунк­

 

Если

шг

 

dt

< 0

при ф = 0,

 

 

dt

1

> 0

 

же х — ;

> 1, то —

в то время как — =

—

 

 

v0

 

аф

 

 

 

 

dtp

со

 

 

 

JX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

ф =

± П о э т о м у

функция

г = г(ф) является

немонотонной,

ее

обра

ЩЄНИЄ Ведет К МНОГОЗНачНЫМ ФУНКЦИЯМ ф = ф(^)

и

v =

v(t).

 

 

 

4. Электромагнитное

поле,

создаваемое током (1.57), можно вычислить,

зная

единственную

составляющую Ах векторного потенциала. Пользуясь

урав­

нением (1.60), найти Az в цилиндрической системе

координат г, ф, г. Рассмотреть

черенковское излучение в среде

и поле в пустоте.

 

 

 

 

 

 

• Р е ш е н и е .

Из соображений

симметрии Аг

не зависит от ф; кроме того,

можно положить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Az = A(r)

e V \

поскольку зависимость Az от г естественно взять такую же, как у возбуждающего тока; тогда функция А(г) будет удовлетворять уравнению

d2 А ,

1

dA

2 ,

dr*

г

dr

 

где kr определяется формулой (1.58). Общее решение этого уравнения имеет вид

А=СН[Х) (krr)+DH[2)(krr),

где С и D — постоянные. Поскольку функция Ханкеля Я*2 ,' (kT г) дает волну, сходящуюся к оси г, из физических соображений (принцип излучения!) следует положить D = О, так что окончательно

 

AZ = CH[^

(krr)e

•

5L.

 

 

 

 

v

2

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

or

 

 

 

 

 

 

 

Постоянную С можно вычислить так: будем считать kTr

 

0, тогда

„,

21І

 

Я „ = -

2іС

е

і ~ г

H[x)(krr)=

-——,

г'

яг

0

 

nkr

•

 

 

 

 

 

 

 

г — z

 

 

 

 

2 п / - Я ф =

— 4/Се 0

Z -

 

 

 

е

Последняя величина согласно формуле (1.57) должна быть равна 4зх —

=4е, откуда С = ге.

При ЛГл -> оо выражение для Л 2 принимает вид

 

 

 

 

 

. / .

, (В

я \

 

 

 

 

 

 

2 _ е г < А ' + 7 У г - г )

 

Это — коническая волна, о которой говорилось

в лекции (см. также рис. 1.2).

Выражения

для Я

, Ет

и Ez

имеют аналогичный

вид — они пропорциональны

e < - ( v + - N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коническая волна

будет

при вещественном

kT,

т. е. при условиях (1.62).

В пустоте kT

— i\kT

\ и поле экспоненциально

убывает при удалении от оси г.

5. Рассчитать

возбуждение

двухмерной

периодической структуры

(ре­

шетки), изображенной на рис. 1.3,

током

 

 

 

 

 

 

iz(t) = qvb(y)d(z—it),

j x =

j y = 0,

 

соответствующим заряженной

нити

с погонным

зарядом q, параллельной

оси х

и движущейся в направлении оси z со скоростью v; от координаты х поле не за­ висит. Для этого получить, как в предыдущей задаче, выражение для поля нити, движущейся в бесконечном пустом пространстве, и показать, что на каж­

дой частоте со это поле имеет вид обобщенной

(неоднородной) плоской волны,

падающей на решетку. Распространить основную формулу теории решеток

L (cos •{>„— cos#0 ) = «^ (n = 0,

± 1 , ± 2 , . . . )

на такую волну и исследовать спектр диффракционных волн, возникающих при движении заряженной нити над решеткой. Вывести формулу (1.67) для поля точечной частицы в плоскости у, г при условии, что на решетке kr > 1, причем относительное изменение г невелико. Воспользоваться решением предыдущей задачи.

Р е ш е н и е . Комплексная амплитуда плотности тока в данной задаче

равна

Я

В данной системе эта плотность тока возбуждает поле, которое имеет единствен­ ную составляющую векторного потенциала

. и

Аг (©)= А (у) е ° \

причем функция А(у) должна удовлетворять уравнению

d? А

і 1

— + Л » Л = 0. kym*l\ky\ = ш у

—

dy»

 

всюду, за исключением плоскости у = 0, в которой течет ток. Решим это урав­ нение сначала для нити в свободном пространстве (при отсутствии решетки). Общее решение уравнения для А имеет вид

 

 

 

А = СеІкУУ

± D e - l k y y ,

 

 

 

и поскольку поле, создаваемое нитью, должно убывать при | у | ->

оо, полагаем

D = 0 при г/ > 0 и С =

0 при {/ < 0. Так как функция А должна быть

непре­

рывна при у =

0, а составляющая магнитного поля

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дА2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ду

 

 

 

 

должна терпеть

скачок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

I

w

і

 

 

?

• w

 

 

 

 

4 я

' F *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то при у < 0

будем

иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л ж =

2 ?

е

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

Если бы величина ky

была вещественной

(так будет только при v >

с, что

нереально), то последняя

формула

представляла бы плоскую волну, падающую

на решетку. В силу

того,

что v

<

с

к ky=

i\ky\,

эта формула

представляет

собой обобщенную плоскую волну, которая характеризуется волновым векто­ ром с составляющими

со

/

с о

\

&sc=0, —ky, kz-= •—=fecos'd0

[ k——

,

v

\

 

с J

где чисто мнимый угол йо = і I #o I определяется

соотношением

с

 

cosd0 = chldo | = —

> 1.

V

 

Если бы вместо диффракционной решетки была плоскость у = const < 0, ю

в результате отражения от этой плоскости возникла

бы отраженная

волна, вол­

новой вектор которой имел бы составляющие

 

 

kx~0,

ky = ksin'&0, fe2 =

fecos#0.

(а)

Смотрите также файлы