Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 0
К . А . А б г а р я н
МАТРИЧНЫЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ В ТЕОРИИ
АИНЕИНЫХ с и с т е м
К. А. АБГАРЯН
МАТРИЧНЫЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
-4
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФІ1311КО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1973
6Ф6.5 |
|
|
А13 |
' jv""* |
|
УДК 62-50 |
Ч А Я |
|
|
н /.у ч ;’:' |
|
|
|
|
|
ЕЙ |
|
|
f - 'è |
З У О * |
Матричные и асимптотические методы в теории ли нейных систем. А б г а р я н К. А., Главная ре дакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1973, 432 стр.
Книга посвящена применениям аппарата мат ричного исчисления и идей асимптотического ин тегрирования дифференциальных уравнении в тео рии управляемых и неуправляемых процессов.
Наряду с изложением в матричной форме об щих вопросов теории линейных систем в книге ши роко представлены методы асимптотического рас щепления, канонического преобразования и прибли женного интегрирования различного типа систем уравнений, которые обычно встречаются в линейной механике, технике и различных приложениях. При ведены алгоритмы для построения динамических характеристик линейных нестационарных систем и преобразования уравнений нестационарного объек та управления к виду, удобному для моделирования. Заключительная часть книги посвящена теории устойчивости процессов.
Книга рассчитана на специалистов в области ма тематики, механики и автоматического управления.
Илл. 9. Библ. 84 назв.
©Издательство «Наука», 1973.
д 3314-1798 161-73 042 (02) -73
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................ |
|
|
|
|
8 |
|
Г л а в а |
I. Матрицы |
.......................................................................... |
|
|
|
11 |
§ 1. Исходные определения и обозначения................................. |
|
число . . . |
11 |
|||
§ 2. |
Сложение матриц и умножение матрицы на |
13 |
||||
§ 3. |
Умножение прямоугольных м атр и ц ..................................... |
|
|
14 |
||
§ 4. |
Определитель произведения м а т р и ц ..................................... |
|
|
18 |
||
§ 5. |
Присоединенная |
матрица ..................................................... |
|
|
|
19 |
§ 6. |
Обратная м а т р и ц а ...................................................................... |
и переход |
к |
сопряженной |
20 |
|
§ 7. |
Транспонирование |
матрицы |
21 |
|||
§ 8. |
матрице ...................................................................................... |
|
|
|
|
|
Блочные матрицы |
...................................................................... |
матрицы |
|
|
22 |
|
§ 9. |
Линейные преобразования и |
............................. |
|
27 |
||
Г л а в а |
II. Векторы, векторные пространства, |
линейные опера |
30 |
|||
торы и матрицы .................................................................................. |
|
|
|
|
||
§ 1. |
Векторы и векторное п р о стр ан ство ..................................... |
|
|
30 |
||
§ 2. Линейная зависимость векторов............................................. |
|
|
32 |
|||
§ 3. |
Размерность и базис векторного п ростран ства................. |
34 |
||||
§ 4. |
Изоморфизм я-мерных п р о стр ан ств ..................................... |
|
|
37 |
||
§ 5. |
Подпространства |
векторного |
пространства |
..................... |
38 |
|
§ 6. |
Линейные операторы в векторных пространствах . . . |
39 |
||||
§ 7. |
Матрица как линейный оператор в численных простран |
41 |
||||
§ 8. |
ствах .............................................................................................. |
|
|
|
|
|
Неравенства Сильвестра .......................................................... |
|
|
|
45 |
||
§ 9. |
Разложение матрицы на прямоугольные множители . . |
48 |
||||
Г л а в а |
III. Линейные операторы в я-мерном векторном про |
50 |
||||
странстве .............................................................................................. |
|
|
|
|
||
§ 1. Кольцо линейных операторов.................................................. |
базисах . . . . |
50 |
||||
§ 2. |
Матрицы линейного оператора |
в разных |
51 |
|||
§ 3. |
Обратный оператор ................................................................. |
|
|
|
52 |
|
§ 4. |
Собственные векторы и собственные значения линейного |
53 |
||||
§ 5. |
оператора и квадратной матрицы ......................................... |
|
|
|||
Линейные операторы и матрицы простой структуры . . |
56 |
|||||
§ 6. |
Расщепление я-мерного п р о стр ан ства................................. |
|
|
58 |
||
§ 7. |
Проекционные опер'аторы и м а т р и ц ы ................................. |
|
|
59 |
4 |
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
|
Г л а в а |
IV. Расщепление пространства на инвариантные подпро |
||
странства. Нормальные формы |
м атр и ц ы ..................................... |
67 |
|
§ 1. Минимальные многочлены |
вектора, векторного |
простран |
|
§ 2. |
ства, м а т р и ц ы .................................................................... |
|
67 |
Инвариантные подпространства векторного пространства 71 |
§3. Расщепление векторного пространства на инвариантные подпространства с взаимно простыми минимальными мно
§ 4. |
гочленами ...................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
74 |
|
Сравнения. Пространство классов сравнимых векторов |
77 |
|||||||||
§ 5. |
Циклические |
подпространства векторного пространства |
82 |
|||||||
§ 6. |
Нормальные формы |
м атрицы ....................................... |
|
87 |
|
|||||
§ 7. |
Инвариантные |
многочлены. |
Единственность нормальных |
92 |
||||||
|
форм |
линейного |
оператора ................................................. |
|
|
|||||
Г л а в а |
V. Преобразование матрицы к квазидиагональному виду |
97 |
||||||||
и разложение ее на составляю щ ие................................................. |
|
|
||||||||
§ 1. |
Дефект матричного м ногочлен а................................... |
|
97 |
99 |
||||||
§ 2. |
Теорема Гамильтона— Кэли ................................................. |
|
|
|||||||
§ 3. Построение матрицы, преобразующей квадратную матри |
100 |
|||||||||
цу к квазидиагональному |
виду ............................................. |
преобразованной |
||||||||
§ 4. |
Собственные |
значения |
субматрицы |
103 |
||||||
§ 5. |
квазидиагональной |
матрицы ............................................. |
|
|
||||||
Общий |
вид преобразующей |
м атр и ц ы ................................. |
104 |
|||||||
§ 6. |
Построение жордановой формы м а т р и ц ы ................................. |
|
107 |
|||||||
§ 7. |
Случай матрицы простой с т р у к т у р ы ......................................... |
|
. . |
111 |
||||||
§ 8. |
Разложение квадратной матрицы на составляющие |
115 |
||||||||
§ 9. |
Матрицы ортогонального |
проектирования ............................. |
|
122 |
||||||
§ 10. |
О приведении |
к квазндпагональному |
виду и разложении |
127 |
||||||
|
на составляющие одной матрицы специального вида |
. . |
||||||||
Г л а в а |
VI. Матрицы и линейные дифференциальные уравнения. |
131 |
||||||||
Общие свойства уравнений.................................................................. |
|
|
|
|
||||||
§ |
1. Производная и |
интеграл |
м а т р и ц ы ........................................ |
|
|
131 |
§2. Векторно-матричная запись линейных дифференциаль
§ |
|
ных уравнений |
........................................................................... |
132 |
|||
|
3. |
Норма |
матрицы ......................................................................... |
140 |
|||
§ |
|
4. |
Матричные |
ряды .................................................................... |
141 |
||
§ |
|
5. |
Теорема существования и единственности............................ |
141 |
|||
§ |
|
6. |
Фундаментальная матрица си стем ы ........................................ |
146 |
|||
§ |
|
7. |
М а тр и ц ан т |
................................................................................ |
уравнение |
149 |
|
§ |
|
8. |
Сопряженное |
|
151 |
||
§ |
|
9. |
Неоднородное |
уравнение ......................................................... |
152 |
||
§ |
10. |
Решение одного матричного у р а в н е н и я ................................ |
154 |
||||
Г л а в а |
|
VII. Системы |
линейных дифференциальных |
уравнений |
|||
первого порядка с постоянными коэффициентами......................... |
156 |
||||||
§ 1. |
|
Экспоненциал |
м атрицы .................................................................. |
156 |
|||
§ 2. |
Решение |
дифференциальной системы в форме |
экспонен |
||||
§ 3. |
|
циала .................................................................................................... |
Э й л ер а |
158 |
|||
|
Метод |
158 |
|||||
§ 4. |
|
Преобразование |
Л а п л а с а ............................................................. |
160 |
|||
§ 5. |
|
Интегрирование |
путем замены п ер ем ен н ы х ......................... |
164 |
|
|
|
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
5 |
||
§ 6. |
Расщепление системы на независимые подсистемы мень |
||||||
§ 7. |
шего порядка ................................................................................... |
|
|
|
|
167 |
|
Теория |
возмущений |
....................................................................... |
|
|
|
172 |
|
Г л а в а |
VIII. |
Асимптотическое |
расщепление |
нестационарной |
|||
системы уравнений.............................................................................. |
|
|
|
|
180 |
||
§ 1. |
Дифференцируемость матрицы, |
преобразующей |
квадрат |
||||
|
ную матрицу к квазидиагональному в и д у ...................... |
181 |
|||||
§ 2. |
Построение формального |
процесса для |
расщепления си |
||||
|
стемы дифференциальных уравнений на независимые под |
||||||
|
системы |
меньшего |
порядка |
...................................................... |
|
185 |
|
§ 3. |
Общий |
вид матриц |
К ^ , |
Л ^ . |
Инвариантность |
матриц |
|
Q ^] |
|
195 |
§ 4. |
Рекуррентные соотношения в частных случаях |
. . . . |
201 |
§ 5. |
Условие сохранения нормы решений уравнений |
при за |
202 |
|
мене переменных .......................................................................... |
|
§ 6. |
Случай полного расщепления си с те м ы ..................................... |
|
. . |
206 |
||||||||
§ 7. |
Система уравнений с постоянными коэффициентами . |
206 |
||||||||||
§ |
|
8. |
Расщепление сопряженной системы ............................ |
|
|
208 |
||||||
§ |
|
9. |
Приближенное решение системы .............................. |
|
|
220 |
||||||
Г л а в а |
IX. Асимптотическое расщепление |
нестационарной |
си |
223 |
||||||||
стемы уравнений (второй м е т о д ) .......................................................... |
|
|
|
|
||||||||
§ 1. |
Две леммы |
...................................................................................... |
|
линейной дифференциальной |
223 |
|||||||
§ 2. Преобразование однородной |
|
|||||||||||
|
|
системы с постоянными коэффициентами к системе не |
226 |
|||||||||
§ 3. |
зависимых |
дифференциальных |
уравнений ............................. |
системы |
||||||||
Преобразование |
однородной |
нестационарной |
232 |
|||||||||
|
дифференциальных |
уравнении |
к расщепленнойсистеме |
. |
||||||||
§ 4. |
Расщепление |
неоднородной |
системы |
..................................... |
|
|
245 |
|||||
§ 5. Приближенное решение системы .............................................. |
|
|
|
253 |
||||||||
Г л а в а |
X. Динамические характеристики линейных систем |
. . |
255 |
|||||||||
§ |
1. |
Единичная ступенчатая функция и дельта-функция |
. . |
255 |
||||||||
§ |
2. |
Реакция системы на входной сигнал в виде дельта-функ |
258 |
|||||||||
§ |
3. |
ции. Импульсная |
переходная |
функция ............................. |
посред |
|||||||
Связь между входными и выходными |
сигналами |
261 |
||||||||||
|
|
ством импульсной переходной функции ............................. |
|
|
||||||||
§ |
4. |
Реакции системы ма входной сигнал |
в виде производной |
263 |
||||||||
§ |
5. |
и интеграла |
от дельта-ф ункции ............................................. |
на выходе системы |
||||||||
Преобразование начальных условий |
265 |
|||||||||||
§ |
6. |
в эквивалентный входной с и г н а л .............................................. |
|
|
|
|||||||
Определение дифференциального уравнения по импульс |
266 |
|||||||||||
§ |
7. |
ной переходной функции |
.......................................................... |
|
|
|
|
|||||
Построение |
импульсной переходнойфункции . . . . |
|
268 |
|||||||||
§ |
8. |
Реакция системы на показательное возмущение. Пере |
|
|||||||||
§ |
9. |
даточная |
функция ...................................................................... |
|
|
|
|
|
282 |
|||
Связь между входными и выходными сигналами системы |
|
|||||||||||
§ |
10. |
посредством |
передаточной |
функции |
..................................... |
|
|
284 |
||||
Построение |
передаточной |
функции |
..................................... |
|
|
285 |
б |
|
|
|
|
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
|
|
|
|
|
|||
Г л а в а |
XI. Приближенное интегрирование уравнений управляе |
290 |
||||||||||||
мого |
процесса .................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ 1. |
Интегро-дифференциальная система уравнений управляе |
290 |
||||||||||||
мого процесса |
................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
§ 2. Приведение уравнений управляемого процесса к расщеп |
|
|||||||||||||
ленной дифференциальной |
системе |
(метод |
последователь |
294 |
||||||||||
|
ных |
приближений) ...................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
§ 3. Приближенное |
интегрирование уравнений |
управляемого |
|
|||||||||||
|
процесса |
при |
малом |
воздействий |
регулятора |
на про |
298 |
|||||||
§ 4. |
цесс |
(случай А) |
........................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приближенное интегрирование уравнений управляемо- |
|
|||||||||||||
мого процесса (случай Б ) |
............................................................... |
|
|
|
|
|
|
303 |
||||||
Г л а в а |
XII. Некоторые канонические формы уравнений |
линей |
308 |
|||||||||||
ных п р о ц ессо в ........................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
§ 1. Преобразование системы уравнений с постоянными коэф |
309 |
|||||||||||||
фициентами к |
расщепленному |
в и д у .......................................... |
|
|
|
|||||||||
§ 2. |
Формальные преобразования нестационарной системы . . |
312 |
||||||||||||
§ 3. |
Уравнения управляемого |
процесса в канонической форме |
320 |
|||||||||||
Г л а в а |
X III. |
Квадратичные и эрмитовы ф о р м ы |
.............................. |
|
|
323 |
||||||||
§ 1. |
Метризация векторного |
п ростран ства...................................... |
|
|
|
323 |
||||||||
§ 2. |
Ортонормированные базисы в унитарном и |
евклидовом |
327 |
|||||||||||
пространствах |
|
.......................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
. . . . |
||||
§ 3. |
Линейные операторы в унитарном пространстве |
329 |
||||||||||||
§ 4. |
Линейные операторы в евклидовом пространстве |
. . . . |
338 |
|||||||||||
§ 5. |
Квадратичные |
формы |
..................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
343 |
|||
§ 6. |
Эрмитовы формы .......................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
350 |
||||
Г л а в а |
XIV. |
Постановка |
задачи |
об устойчивости процессов |
|
|||||||||
на заданном промежутке в р ем ен и ...................................................... |
|
|
|
|
|
353 |
||||||||
§ 1. |
Предварительные |
замечания |
...................................................... |
об устойчивости дви |
353 |
|||||||||
§ 2. |
О некоторых постановках |
задачи |
354 |
|||||||||||
жения |
устойчивости............................................................................................... |
процесса |
на |
заданном |
промежут |
|||||||||
§ 3. |
Понятие |
|
||||||||||||
ке времени ....................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задан |
364 |
|||
§ 4. |
Геометрический смысл понятия устойчивости на |
365 |
||||||||||||
ном |
промежутке |
.......................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
§ б. |
Функция Ляпунова ...................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
367 |
||||
Г л а в а |
XV. Некоторые условия устойчивости процессов на задан |
370§ |
||||||||||||
ном |
промежутке времени ..................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
§ 1. |
Оценка нормы решения линейной системы |
|
........................ |
|
370 |
|||||||||
§ 2. |
О диагонализации линейной |
с и с т е м ы ..................................... |
|
|
|
376 |
||||||||
§ 3. |
Пучок решений |
линейной |
системы |
......................................... |
|
|
|
378 |
||||||
§ 4. |
Теоремы об устойчивости линейной с и с т е м ы |
........................ |
|
380 |
||||||||||
§ 5. |
Случай |
стационарной |
системы |
................................................. |
|
нелинейного |
382 |
|||||||
§ 6. |
Об устойчивости |
на конечном |
промежутке |
384 |
||||||||||
процесса |
по линейному приближению .................................. |
|
|
|
|
|
|
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
|
7 |
|
Г л а в а |
XVI. Устойчивость |
процессов относительно |
заданной |
396 |
|||
области |
предельных отклонений ...................................................... |
|
|
||||
§ 1. |
Понятие устойчивости |
относительно |
заданной |
области |
396 |
||
§ 2. Устойчивость процесса |
относительно |
области, определяе |
|
||||
§ 3. |
мой |
каноническим преобразованием |
уравнении |
. . . , |
398 |
||
Критерии |
устойчивости ............................................................... |
|
|
407 |
|||
П р и л о ж е н и е . |
Асимптотический характер приближенных |
412 |
|||||
р е ш е н и й ....................................................................................................... |
|
|
|
|
|||
Л и тер ату р а ................................................................................................... |
|
|
|
|
423 |
||
Предметный |
указатель .......................................................................... |
|
|
428 |