Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 100

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ХАРАК ТЕР РЕШ ЕНИЙ

421

Принимая во внимание, что подынтегральная функция

о

eax)dt"

 

t\, т. е.

 

exp I

(р +

ограничена на [0,

 

г

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

exp j

(р + еах) dt" < bx

(Ь1> 0),

 

имеем

V

 

 

 

\y{t) И<

exp (о, + eaxt) (||у (0) | + a3bxt).

 

 

 

 

Отсюда

следует

положительное

число

Л е м м а 5.

Существует такое

ех <

е0, что любое решение у (t) неоднородного уравнения

(12),

начальное значение которого ограничено условием

 

 

 

10(0) ||< с0,

 

 

 

 

на промежутке 0 <

t С

L/e2, где е2 — фиксированное число

из интервала (0, е^, допускает оценку

 

 

 

 

 

IIУ(0 II <

ехр (а2+ ахЦ (с0 +

a3bxt).

 

 

Используя лемму

5 и принимая во

внимание, что

t £

£ [0, L/e2],

имеем

 

 

 

 

 

 

аъIIУ (i) II +

ав < а-0exp (а2+ axL) (с0 +

афх ^ -) +

ав<

а8.

Тогда (см. (27))

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

IZ (0 II < IIZ (0) I exp J ( Р +

еа4) dt +

 

 

 

 

 

6

t

t

 

 

 

 

 

+ sm+l(78 \ exp I ( p -f ea4) df'dt' •<

 

 

 

 

6

/•

 

 

 

 

 

 

<

exp (a2+ ea4t) (||z (0) || +

em+'asb2t),

где b2 — положительное число такое,

что

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

ехр ] (р + m 4) d f <

b2,

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

и, далее, так как t £ [0, і/в2],

 

 

 

 

IIг (t) I < ехр (а2 +

a4L) (||z (0) || +

em+la8&2 -£-)■

 

Полученное неравенство доказывает следующее поло­ жение.

422 П РИ Л О Ж Е Н И Е

Л е м м а

б. Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II0(0)||<с0. ||2(0)||< е"'+ 1с10.

 

 

^ ^ ®о>

Тогда существует такоеп

положительноеЧ М Ь Ш Ш І Л І

число

п ППЯ КП'игг\гэг\

rhti

ш ж

у с .

__

... -

_

/л

 

 

 

 

 

Ej)

можно

что для каждого

фиксированного

числа

е, €

(0,

указать с1 >

0 такое, что

 

 

 

 

 

 

 

 

І 2 ( 0 |< е т+1с1,

 

0,

е„

 

 

 

 

Теперь можно оценить погрешность приближенного ре­

шения хт. Имеем

II А'

Х т II■< II К {т) IIIIZ||.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда, используя лемму

6,

получаем

 

 

 

 

 

 

II -Y — *J <

II К {т) II em+1c1 = em+lст.

 

 

 

Таким образом, мы пришли к следующей теореме.

 

Т е о р е м а

2. Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х ( 0 ) = х т(0).

 

 

 

 

 

Тогда существует такое число е, > 0, что при

Фикса-

Р ен н о м

<е* «

<0 ’ £.»

"

некотором

с,

на

Р

 

Ф

'м> lg] er 10,

L/e,J

имеет место оценка

 

 

сегменте

 

 

 

 

 

II А‘ (0

хт(О II -С cmem+l

 

(е < е2,

t £

[tlt tt|).

 

Полученные оценки устанавливают асимптотический ха­ рактер приближенного решения (2) уравнения (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Б е л л м а н Р., Введение в теорию матриц, «Наука», Москва, 1969.

2.Б е л л м а н Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнении, ИЛ, Москва, 1954.

3. Б е с е к е р с к и й В. А., П о п о в Е. П., Теория систем авто­ матического регулирования, «Наука», Москва, 1966.

4.Б о г о л ю б о в Н. Н ., О некоторых статистических методах в математической физике, Изд. АН УССР, Львов, 1945.

5.Б о р с к и й В., О свойствах импульсных переходных функций

 

систем с

переменными

параметрами, Автоматика и телемеханика,

 

т. 20, №

7, 1959.

 

6.

Б у л г а к о в

Б. В.,

Колебания, Гостехиздат, Москва, 1954.

7.

В а з о в В.,

Асимптотические разложения решений обыкновен­

 

ных дифференциальных уравнении, «Мир», Москва, 1968.

8.В а с и л ь е в а А. Б., Асимптотические методы в теории диффе­ ренциальных уравнений с малым параметром при старшей произ­ водной, Пятая летняя математическая школа, Изд. АН УССР, Ки­

 

ев, 1968.

 

 

 

 

9.

Г а н т м а х е р

Ф.

Р., Теория

матриц, «Наука»,

Москва,

 

1967.

 

 

 

 

10.

Г а н т м а Xе р Ф. Р.,

К р е й н М. Г., Осцилляционные матрицы

 

и малые колебания механических систем, Гостехиздат, Москва —

 

Ленинград, 1950.

 

 

 

11.

Г е л ь ф а н д

И. М., Лекции по линейной алгебре, «Наука», Моск­

 

ва, 1971.

 

 

 

 

12.

Д а л е ц к и й Ю. Л .,

К р е й н М.

Г., Устойчивость

решений

 

дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, «Наука»,

 

Москва, 1970.

 

 

 

 

13.Д а л е ц к и й Ю. Л ., К р е й н С. Г., О дифференциальных урав­ нениях в гильбертовом пространстве, Украинский математический

журнал, т. 2, № 4, 1950.

14. Д е Б р е й н Н. Г., Асимптотические методы в анализе, ИЛ, Москва, 1961.

15.Д е м и д о в и ч Б. П., Лекции по математической теории устой­ чивости, «Наука», Москва, 1967.

16.Д у б о ш и н Г. Н ., Устойчивость движения, Механика в СССР за 30 лет, «Общая механика», Гостехиздат, Москва — Ленинград,

1950.

4 2 4

 

 

Л И Т Е Р А Т У Р А

 

 

 

17.

З а д е

Л. , Д е з о е р

Ч., Теория линейных

систем,

«Наука»,

 

Москва,

1970.

 

 

 

 

18.

К а м е н к о в Г. В.,

Об устойчивости движения на конечном

ин­

 

тервале

времени, Прикладная математика и

механика,

т.

17,

 

вып. 5,

1953.

 

 

 

 

19.К а м е н к о в Г. В., Л е б е д е в А. А., Замечания в статье «Об устойчивости движения на конечном интервале времени», Приклад­ ная математика и механика, т. 18, вып. 4, 1954.

20.К о д д и и г т о н Э. А., Л е в и и с о н Н ., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, Москва, 1958.

21. К о л л а т ц Л . , Задачи на собственные значения, «Наука», Моск­ ва, 1968.

22.К о р н Г. и К о р н Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров, «Наука», Москва, 1968.

23.

К р а с о в с к и й

Н. Н ., Некоторые задачи

теории

устойчивости

 

движения, Физматгиз, Москва, 1959.

 

 

 

 

 

 

24.

К р ы л о в Н. М.,

Б о г о л ю б о в

Н. Н .,

Введение в

нелиней­

 

ную механику, Изд. АН УССР, Киев, 1937.

 

 

 

 

25.

К у р о ш А .

Г.,

Курс

высшей

алгебры,

«Наука»,

Москва,

 

1971.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.

Л а п п о - Д а и и л е в с к и й И. А.,

Применение

функций

от

 

матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных

 

уравнений, Гостехнздат,

Москва,

1957.

 

 

 

 

 

27.

Л е б е д е в

А.

А.,

Об

устойчивости

движения на

заданном

ин­

 

тервале времени,

Прикладная

математика

и механика,

т.

18,

 

вып. 2, 1954.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.Л е т о в А. М., Устойчивость нелинейных регулируемых систем, Физматгиз, Москва, 1962.

29.Л у р ь е А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автомати­

ческого регулирования,

Гостехнздат,

Москва — Ленинград,

1951.

 

 

30.Л я п у н о в А. М., Общая задача об устойчивости движения, Гос­ технздат, Москва — Ленинград, 1950.

31.Л я щ е н к о Н. Я., Об одной теореме разделения линейных диф­

ференциальных уравнений, Доклады АН СССР, т. 97, № 6, 1954.

32.М а л к и н И. Г., Теория устойчивости движения, «Наука», Моск­ ва, 1966.

33.М и т р о п о л ь с к и й Ю. А., Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний, «Наука», Москва, 1964.

34. М и Xа й л о в

Ф. А., Т е р я е в Е. Д .,

Б у л е к о в В. П.,

С а л и к о в Л.

М., Д и к а н о в а Л. С.,

Динамика непрерыв­

ных линейных систем с детерминированными и случайными парамет­ рами, под ред. Б. Н. Петрова, «Наука», Москва, 1971.

35. М о и с е е в Н. Д ., Обзор развития неляпуновских теорий устой­ чивости, Записки семинара по теории устойчивости движения, вып. 1, 1946.

36. М о и с е е в

Н. Н ., Асимптотические методы нелинейной механи­

ки, «Наука»,

Москва, 1969.

37.Основы автоматического управления, под ред. Пугачева В. С., «Наука», Москва, 1968.

Л И Т Е Р А Т У Р А

4 2 5

38. П а р о л и М., Локализация характеристических чисел матриц и

ее приложения, ИЛ, Москва, 1960.

39.П о н т р я г и и Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравне­ ния, «Наука», Москва, 1970.

40.

П у г а ч е в

В. С.,

Об

асимптотических

представлениях

интегра­

 

лов систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений,

 

содержащих

параметр,

Математический

сборник,

т.

15 (57), № 1,

 

1944.

 

 

 

 

 

 

 

 

41.

Р а п о п о р т И.

М.,

О некоторых

асимптотических

методах

 

в теории дифференциальных уравнений,

Изд.

АН

УССР, Киев,

 

1954.

 

 

 

 

 

 

 

 

42.Р а п о п о р т И. М., Об устойчивости регулируемых процессов, Доклады АН СССР, т. 158, № 2, 1964.

43.Р о й т е н б е р г Я- Н., Аавтоматическое управление, «Наука»,

Москва, 1971.

 

44. Р у м я н ц е в В. В., Метод функций

Ляпунова в теории устой­

чивости движения, Механика в СССР за 50 лет, т. I, «Общая и при­

кладная механика», «Наука», Москва,

1968.

45.Современная теория систем управления, под ред. Леондеса, «Наука», Москва, 1970.

46. С о л о д о в А. В. П е т р о в Ф. С.,

Линейные автоматические

системы с переменными параметрами,

«Наука», Москва, 1971.

47.С т р е л к о в С. П., Введение в теорию колебаний, «Наука», Моск­ ва, 1964.

48.Т а м а р к и н Я- Д - , О некоторых общих задачах теории обык­

новенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды, Петроград, 1917.

49.Т е р р и т т и н X . Л ., Асимптотическое разложение решений си­

стем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, со­ держащих параметр, Сб. перев. «Математика», 1 : 2, ИЛ, 1957.

50.Ф а д д е е в Д. К-, Ф а д д е е в а В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры; Физматгиз, Москва, 1963.

51.

Ф е л ь д б а у м А .

А., Б у т к о в с к и й А. Г., Методы

теории

 

автоматического управления, «Наука», Москва, 1971.

 

 

52.

Ф е щ е н к о С. Ф.,

Ш к и л ь Н. И., Н и к о л е н к о

Л.

Д.,

 

Асимптотические методы в теории линейных

дифференциальных

 

уравнений, «Наукова думка», Киев, 1966.

 

 

 

53.

Ф р е з е р

Р., Д у н к а н В ., К о л л а р А.,

Теория матриц и ее

 

приложения

к дифференциальным уравнениям

и динамике,

ИЛ,

Москва, 1950.

54.X и л л е Э., Ф и л л и п с Р., Функциональный анализ и полу­ группы, ИЛ, Москва, 1962.

55.Ч е з а р и Л ., Асимптотическое поведение и устойчивость решений

обыкновенных

дифференциальных

уравнений, «Мир», Москва,

1964.

 

 

66. Ч е р н е ц к и й

В. И., Д и д у к

Г. А ., П о т а п е н к о А. А.,

Математические методы и алгоритмы исследования автоматических

систем, «Энергия», Ленинградское

отделение, 1970.

57.Ч е т а е в Н. Г., Об одной мысли Пуанкаре, Сб. научных трудов Казанского авиационного института, № 3, 1935.

58. Ч е т а е в Н. Г., Устойчивость движения, «Наука», Москва, 1965.

Смотрите также файлы