Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

ПРЕДИСЛОВИЕ

Многие прикладные задачи, с которыми приходится иметь дело на практике, связаны с рассмотрением систем дифференциальных или интегро-дифференциальных урав­ нений, обычно нестационарных и имеющих нередко высокий порядок. Точное решение таких систем, даже линейных, удается получить лишь в исключительных случаях, по­ этому приходится прибегать к приближенным методам ин­ тегрирования. Развитие теории в этой части идет по различ­ ным направлениям. Для линейных нестационарных систем очень многообещающим и плодотворным представляется применение методов асимптотического интегрирования и преобразования уравнений в сочетании с методом матрич­ ной алгебры.

В последние годы методы матричной алгебры, вслед за методами операционного исчисления, все в большей и большей мере внедряются в прикладные науки. Это объяс­ няется, во-первых, тем, что в матричной записи громоздкие выражения и сложные преобразования принимают компакт­ ный и ясный вид, что способствует экономному и наглядному изложению; во-вторых, аппарат матричной алгебры хоро­ шо приспособлен для расчетов на ЭВМ. Эти преимущества особенно заметны в случае линейных систем уравнений высокого порядка. В принципе все те задачи, которые ре­ шаются методами матричной алгебры, могут быть решены

ибез использования аппарата матричного исчисления, но во втором случае более вероятна такая ситуация, когда из-за громоздкости и сложности получающихся выражений, необходимости проведения утомительных вычислений труд­ ности решения задачи становятся непреодолимыми.

Сейчас имеется немало монографий по теории матриц,

ивсе же потребность в таких книгах, где методы матричной алгебры были бы представлены в действии, в приложениях, все еще велика.

Предлагаемая книга посвящена описанию основанных на идеях асимптотического интегрирования уравнений матричных методов изучения систем, в основном линейных. Объектом внимания являются те типы уравнений, которые обычно встречаются в механике, теории управления и в других прикладных науках. Затрагиваются далеко не все разделы теории линейных систем (выбор материала в зна­ чительной мере определен научными интересами автора), тем не менее охватывается довольно широкий круг вопросов теории, в котором применение матричных и асимптотиче­ ских методов целесообразно и эффективно и с которым свя­ заны другие, более частные вопросы.

Книга состоит из шестнадцати глав и Приложения, ко­ торые можно было бы разбить на три части.

Первая часть (главы I—V) посвящена основам матрич­ ной алгебры. Здесь представлены те разделы матричного исчисления, которые в рассматриваемых областях теории линейных систем скорее всего могут быть использованы. Некоторые дополнительные сведения специального харак­ тера по мере надобности приводятся и в последующих гла­ вах. Изложение построено так, что от читателя не требу­ ется первоначального знакомства в какой бы то ни было мере с теорией матриц.

Вторая часть (главы VI—XII и Приложение) посвящена применениям асимптотических методов и методов матрич­ ной алгебры в теории линейных систем. Наряду с общей теорией, применительно к различным образом представлен­ ным уравнениям рассмотрены разные преобразования, при­ водящие к упрощению исходной системы уравнений путем расщепления ее на независимые подсистемы, а также рас­ четные схемы построения приближенных решений уравне­ ний. Главное внимание уделяется нестационарным системам. Построение алгоритмов, как правило, проводится по сле­ дующей схеме. Вместо исходной системы дифференциаль­ ных или интегро-дифференциальных уравнений с пере­ менными коэффициентами вводится система, которая полу­ чается из данной путем замены аргумента коэффициентов — времени t так называемым медленным временем т = et, где е — параметр. Затем проводится формальное разложе­ ние решения второй системы в ряд по степеням параметра е. Поскольку при е = 1 эти две системы совпадают, то по­ строенный формальный ряд при 8 = 1 представляет собой

10 П Р Е Д И С Л О В И Е

формальное решение исходной системы, сумма же конечного числа первых членов ряда может рассматриваться как приближенное решение системы. Таким образом, в этой час­ ти нашли свое отражение идеи Н. М. Крылова и Н. Н. Бо­ голюбова по асимптотическому интегрированию дифферен­ циальных уравнений с введением медленного времени.

Третья часть книги посвящена теории устойчивости про­ цессов. Предлагается одна постановка задачи об устойчи­ вости процессов на заданном промежутке времени и ука­ зываются пути построения критериев устойчивости реше­ ния линейной системы и, допуская некоторое отклонение от темы, решения нелинейной дифференциальной системы по линейному приближению.

В конце книги представлена весьма краткая библиогра­ фия. Пришлось отказаться от мысли приведения скольконибудь полного перечня работ, посвященного тем довольно разнообразным по характеру вопросам, которые затронуты в книге, и ограничиться перечислением некоторых моногра­ фий, а также небольшого числа журнальных статей, имею­ щих непосредственное отношение к излагаемому материалу.

Автор

Строчные и столбцовые матрицы иногда будем называть векторами.

Сокращенно т X «-матрицу будем обозначать (аік)тп или же одной прописной (или строчной) буквой, например Л, имея в виду, что А = (aik)mn.

Прямоугольная матрица, у которой число строк и число столбцов одинаковы, называется квадратной матрицей. Число п, равное числу строк (столбцов) квадратной матри­ цы, называется ее порядком. Место расположения элементов ап (і = 1,2, ..., п) квадратной матрицы (а(к)пп называется

главной диагональю. Определитель

квадратной матрицы с п2 числами из числового поля ZK есть сумма п\ членов (— ....V al!tl a2k, ...ank , каж­

дый из которых соответствует одному из п\ различных пере­ становок klt k2, ..., kn, полученных t попарными транспо­ зициями элементов из множества 1,2, ... п. Число п есть порядок определителя. Определитель квадратной матрицы принято сокращенно обозначать через | А | или det А. Итак, по определению

§ 2] С Л О Ж Е Н И Е М А Т РИ Ц И У М Н О Ж Е Н И Е М А Т Р И Ц Ы НА Ч И СЛ О 13

в частности, главным минором является ее определитель. Если среди миноров прямоугольной матрицы А с разме­ рами т X п имеется отличный от нуля минор порядка г, в то время как все миноры более высокого порядка равны нулю, то число г называется рангом этой матрицы. Очевидно, что г<;«г, п. Ранг невырожденной матрицы совпадает с ее порядком. Ранг вырожденной матрицы меньше ее порядка.

§ 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число

Для матриц с одинаковыми размерами т х п вводится операция сложения матриц, определяющая сумму матриц.

Суммой прямоугольных матриц А = (аі7) и В — (Ьи) оди­ наковых размеров т х п называется т х «-матрица С = = (сц), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В, т. е.

С = А + В,

если

сц = ац + Ьц (г = 1,2, . .. , «г; } = 1,2, .. . , «).

Операция сложения матриц обладает переместительным и сочетательным свойствами:

2)(А + В) + С = А + (В + С);

здесь А, В, С — прямоугольные матрицы одинаковых раз­ меров.

Матрица, все элементы которой совпадают с нулем (по­ ля Ui), называется нулевой матрицей.

Если А — произвольная прямоугольная матрица с раз­ мерами т X «, а О — нулевая матрица с теми же размерами,