Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

то

A + О = A.

Разность двух прямоугольных матриц с одинаковыми размерами определяется равенством

А — В = А -f- (— В),

где (—В) — матрица, составленная из элементов матрицы В, взятых с обратным знаком.

Две матрицы А и В равны друг другу тогда и только тогда, когда они одних и тех же размеров и их соответствую­ щие элементы равны между собой, т. е.

ац = Ьц (/ = 1,2, .. . , т; / = 1,2, . . . , п).

Множество всех прямоугольных матриц с одинаковыми размерами с операцией сложения, введенной выше, представ­ ляет собой аддитивную группу. Роль нуля в этой группе выполняет нулевая матрица, а элемента, противоположного данному элементу В,— матрица— В.

Произведением матрицы А — {ац) на число а из Ui назы­ вается матрица С = (с,у), элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число а, т. е.

С = а А,

§ 3. Умножение прямоугольных матриц

Для двух матриц, между размерами которых имеет место определенное соотношение, указываемое ниже, вводится операция умножения матриц, определяющая произведение двух матриц. Произведение матриц А и В обозначается либо через AB, и в этом случае говорят, что матрица А

слева умножается на Л), либо через 5Л — матрица ß спра­ ва умножается на Л (или, что то же самое, матрица Л слева умножается на В). Говоря «произведение матрицы Л на В», мы будем иметь в виду результат умножения матрицы Л справа на В (или, что то же самое, результат умножения матрицы В слева на Л), т. е. AB.

Произведением AB двух матриц Л и В называется мат­ рица С, у которой элемент сц, стоящий на пересечении г'-й строки и /'-го столбца, равен произведению і-й строки матрицы Л на j-й столбец второй матрицы В. В свою оче­ редь произведение строки на столбец определяется как сумма произведений соответствующих элементов строки и столбца, а именно:

Операция умножения строки на столбец, определяющая произведение строки на столбец, применима тогда и только тогда, когда число элементов строки (первого сомножителя) равно числу элементов столбца (второго сомножителя). Поэтому операция умножения матрицы Л на матрицу В применима тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы Л равно числу строк матрицы В.

Итак, пусть

и п — т! . Тогда

AB = С = (сц),

где

П

Сц — 2 &іФкі Ü — 1, 2, . .. , tn, j 1,2, ... п).

Матрица С = AB имеет столько строк, сколько строк в матрице Л, и столько столбцов, сколько столбцов в матри­ це В, так что если Л и В имеют соответственно размеры т х X п и п X I, то С имеет размеры т х /. Матрица С — AB в свою очередь может быть умножена справа на матрицу D,

(

= AB + АС.

Переместительным свойством умножение матриц не об­ ладает. Действительно, пусть, например,

Тогда

Ясно, что AB Ф ВА.

Если AB = ВА, то матрицы А и В называются переста­ новочными или коммутативными.

Квадратная матрица

О

Л =

О •

'п

все элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Для диагональных матриц применяется обозначение: diag (^, К,..., К)-

Умножение прямоугольной т X п-матрицы А справа на диагональную матрицу Л порядка п сводится к умножению столбцов матрицы А на соответственные диагональные эле­ менты матрицы Л. Умножение л х (7 -матрицы А слева на диагональную матрицу сводится к умножению строк матри­ цы А на соответственные диагональные элементы матрицы Л.

Диагональная матрица, все диагональные элементы ко­ торой равны между собой, называется скалярной матрицей. Умножение матрицы А на скалярную матрицу diag (а, ...

..., а) сводится к умножению всех элементов матрицы А на число а,т. е. умножение какой-нибудь матрицы на скалярную