Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 104
Скачиваний: 0
P U B L I C A T I O N S O F T H E M A T H E M A T I C A L S O C I E T Y O F J A P A N
11
INTRODUCTION TO T H E A R I T H M E T I C T H E O R Y O F
AUTOMORPHIC FUNCTIONS
by GORO SHIMURA
Kano memorial lectures 1
I W A N A M I S H O T E N , P U B L I S H E R S A N D P R I N C E T O N U N I V E R S I T Y PRESS
1971
I ' - - •... ГОРО ШИМУРА
ВВЕДЕНИЕ В АРИФМЕТИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮ АВТОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
ПЕРЕВОД с АНГЛИЙСКОГО А. А. ВЕЛЬСКОГО
под РЕДАКЦИЕЙ С. Г. ГИНДИКИНА
Издательство «Мир» Москва, 1973.
У Д К 517.S62 1 |
H A v i - ! О - ТЕ |
1 |
b V i b . i ' - i O T |
Материал, включенный в книгу, относится к тео рии модулярных функций — области, интерес к к о т о рой стимулируется глубокими связями с теорией чисел. Автор — крупный специалист в этой области — излагает наиболее существенные результаты теории, часть пз которых публиковалась лишь в журнальных статьях .
Книга представляет несомненный пптерес но толь ко для специалистов, по и для всех математиков, ж е лающих познакомиться с современным состоянием предмета. Она будет полезна преподавателям, аспи рантам и студептам старших курсов университетов и пединститутов.
Большим достопнством книги является современ ное оригинальное изложение важной теории «комплекс ного умножения».
Редакция литературы, по математическим наукам
0223-23 |
© Перевод на р у с с к и й язык, «Мир», 1973 |
|
041(01)-73 |
||
|
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая вниманию читателя книга Г. Шимуры содержит систематическое изложение современной теории модулярных функ ций одного переменного и примыкающих вопросов, доведенное до сравнительно недавних результатов. Основная часть книги адре сована квалифицированному читателю, и она как по уровню приво димых в ней результатов, так и по характеру изложения, не вполне оправдывает фигурирующее в заглавии книги слово «введение».
Собственно введению в теорию — изложению элементарной тео рии модулярных функций — посвящены первые три главы. Эта часть (несколько более трети книги) представляет самостоятельный интерес. Можно ожидать, что широкий круг читателей использует ее для первоначального ознакомления с теорией модулярных функ ций. Для этой категории читателей отметим, что элементарный очерк теории модулярных функций, включающий понятие об операторах Гекке, можно найти в недавно переведенном на русский язык «Курсе арифметики» Ж.-П. Серра (изд-во «Мир», 1972). Предварительное ознакомление с этим коротким и четким изложением теории может быть полезно читателю данной книги. Более подробное изложение теории модулярных функций па русском языке можно найти в пере воде лекций Гаининга (Математика, 8 : 6 (1964), 3—68). Отметим, что читателю первых трех глав книги, кроме тех сведений, которые перечисляет автор (стр. 13), полезно знать немного об эллиптических функциях, а при изучении конгруэнц-подгрупп в § 1.6 используются некоторые факты, главным образом вычисления, из линейной алгеб ры над конечным полем. В том случае, когда они не известны, их следует воспринимать как задачи. Заканчивая замечания, относя щиеся к элементарной части книги, отмечу, что общая теория автоморфных функций одного переменного нашла в ней место лишь в той мере, в которой это необходимо для построения теории модулярных функций.
«Неэлементарная» часть книги предполагает свободное владение основами алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел. Добавление автора призвано лишь скорректировать терминологию. Отбор материала в этучасть в основном диктуется предметом соб ственных исследований автора — одного из ведущих специалистов в области, которой посвящена книга. Главы 4—6 посвящены теории комплексного умножения. Основные результаты теории формули-
6 |
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА |
руются иа языке аделей. Классические результаты об абелевых расширениях мнимых квадратичных полей, составляющие основное содержание теории комплексного умножения эллиптических кривых, выводятся из «адельиых» формулировок в § 5.4. Отметим, что более традиционное изложение теории комплексного умножения, очень четкое и лаконичное, можно найти в трудах «Семинара по комплекс ному умножению» (Математика, 12 : 1 (1968), 55—95, лекции Серра, Бореля и др.); см. также написанную Серром главу о комплексном умножении в книге «Алгебраическая теория чисел» (см. Касселс
иФрелих [1]).
В§ 5.5 теория комплексного умножения переносится на абелевы многообразия высшей размерности. В построение этой теории автор книги внес решающий вклад. Он развил теорию редукции алгебраи ческих многообразий относительно дискретного нормирования основ ного поля, пользуясь которой А. Вейль, Шнмура и Танияма дали многомерное обобщение комплексного умножения. В настоящей книге не приводится замкнутое изложение этой теории; имеется много существенных ссылок на книгу Шимуры и Таниямы [1].
Вгл. 7 изучаются дзета-функции модулярных кривых и абелевых многообразий. Это направление было начато Эйхлером, который установил, что для некоторых конгруэнц-подгрупп Г модулярной группы дзета-функции моделей компактифицированных пространств Г\<§ (Jg — верхняя полуплоскость) допускают представление через полиномы Гекке — ряды Дирихле, ассоциированные с операторами Гекке, действующими на некоторых пространствах параболических форм веса 2. Теорема Гекке была обобщена автором книги на сущест венно более широкий класс конгруэнц-подгрупп. Изложению этого результата п посвящена основная часть гл. 7. Устанавливаемая связь между дзета-функциями и рядами Дирихле позволяет в рас сматриваемой ситуации, с одной стороны, доказать для дзета-функ ций гипотезу Хассе — Вейля о мероморфиом продолжении, с дру гой стороны, для почти всех р и форм веса 2 доказать гипотезу Рама-
нуджана — Петерсона о собственных значениях операторов Гекке. В заключительной главе книги результаты, касающиеся кон груэнц-подгрупп модулярной группы, переносятся на арифметические фуксовы группы. Изложение в этой главе в значительной степени
носит обзорный характер.
С. Гиндикин
ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книге обсуждаются две основные темы:
1)комплексное умножение эллиптических и эллиптических моду лярных функций;
2)приложения теории операторов Гекке к дзета-функциям алгеб раических кривых и абелевых многообразий.
Несмотря на то, что в названных темах заключается raison d'etre данной книги, я попытался в нескольких первых главах дать введе ние в теорию автоморфиых функций одной комплексной переменной
и одновременно сообщить основные факты об операторах Гекке. Мы рассматриваем главным образом эллиптические модулярные функции произвольного уровня и непосредственно связанные с ними геометрические объекты; лишь в первых двух и последних двух главах в небольшой степени изучаются автоморфные функции более общего типа и абелевы многообразия высшей размерности, обладаю щие комплексным умножением.
Мы дадим две формулировки результатов, относящихся к первой теме, обе — в терминах аделей. В одной из них изучается поведение эллиптической кривой и ее точек конечного порядка при действии автоморфизмов рассматриваемого числового поля. Другая форму лировка тесно связана со структурой поля % всех модулярных функций всех уровней, коэффициенты Фурье которых принадлежат циклотомическим полям. Будет показано, что группа всех автомор физмов поля % изоморфна аделизации группы GL 2 (Q), профакторизованной по рациональным скалярным матрицам и архимедовой части. После этого закон взаимности в максимальном абелевом рас ширении мнимого квадратичного поля дается как некоторая комму
тативность |
между действием |
аделей |
и специализацией |
функций |
поля %. |
|
|
|
|
Вторая |
тема представляет |
собой |
развитие результата |
Эйхлера |
из его статьи, появившейся в Archiv der Mathematik, 5 (1954). Для алгебраических кривых, униформизированных модулярными функ циями, мы проверим гипотезу Хассе — Вейля. Далее будет показано, что если параболическая форма веса 2 является общей собственной функцией операторов Гекке, то произведение нескольких рядов Дирихле, ассоциированных с ней, совпадает с точностью до конеч ного числа эйлеровых множителей с дзета-функцией некоторого, специальным образом задаваемого, абелева многообразия.
8 |
ПРЕДИСЛОВИЕ |
В качестве приложения этого результата будет показано, что арифметика вещественного квадратичного поля — его единицы, абелевы расширения и т. д.— тесно связана с модулярными формами «верхнего» (Neben) типа в смысле Гекке. Мое оправдание для вклю чения этого довольного незрелого сюжета заключается, как я думаю, в положительном (хотя не полном) ответе на вопрос, можно ли построить аналитическими средствами абелевы расширения веще ственного квадратичного поля. Такой вопрос возникает естественным образом после детального обсуждения соответствующей проблемы для мнимого квадратичного поля в гл. 5 и 6.
Предлагаемая книга возникла из моих лекций, читавшихся в Принстонском и Токийском университетах в 1963—1969 годах. При составлении первого варианта рукописи были в высшей степепи полезны записки Л. Гольдштейна (осенний семестр 1965 года) и А. Роберта (летний семестр 1969 года). Я глубоко признателен им обоим. Хочу выразить сердечную благодарность К. Дою, X . Иагапуме и Г. Троттеру, составившим таблицу собственных значений операторов Гекке в § 7.7, а также А. Вейлю, В. Касселману, С. Лен ту, Т. Мпяке и А. Роберту, прочитавшим рукопись полностью или частично. Многие их рекомендации были включены в книгу. Свою благодарность я адресую также С. Йянаге и Й. Каваде, заинтересо вавшимся этой работой и предложившим мне опубликовать ее в Publications of the Mathematical Society of Japan. Наконец, я бла годарю слушателей моих лекций,— их внимание было мне очень полезно.
Горо Шимура
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ
0 . 1 . Символы Z, Q, R, С и Н обозначают соответственно кольцо целых рациональных чисел, поле рациональных чисел, поле веще ственных чисел, поле комплексных чисел и кольцо с делением гамильтоиовых кватернионов. Для произвольного рационального целого простого числа р через Z p и Q p обозначаются соответственно кольцо целых /?-адических чисел и поле р-адических чисел. Для любого комплексного числа z 6 С мы обозначаем через z, Re(z) и Im(z) соот ветственно комплексно сопряженное число, вещественную часть числа z н его мппмую часть. Через ,<§ обозначается верхняя ком плексная полуплоскость:
|
|
|
g |
= |
{z 6 С | Im(z) |
> 0 } . |
|
|
|
|
|
|||
При рассмотрении какой-либо |
фуксовой |
группы |
Г |
первого |
рода |
|||||||||
на |
полуплоскости |
<§ |
мы |
обозначаем |
через |
<§* объединение Од |
||||||||
и |
параболических точек группы Г (см. § 1.2, 1.3). Таким образом, |
|||||||||||||
!Q* |
зависит от |
Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2. Если Т — произвольное ассоциативное кольцо с единицей, |
|||||||||||||
то |
через Т* обозначается группа всех обратимых элементов |
из |
Т, |
|||||||||||
а |
через Мп(Т) |
— кольцо всех |
квадратных |
матриц |
размера |
п X |
п |
|||||||
с |
коэффициентами |
из |
Т. |
Мы |
полагаем |
|
далее |
G L n ( T ) |
= МП (Г)*. |
|||||
Единичный элемент из МП (Г) |
обозначается |
через |
1 п |
или |
часто |
|||||||||
просто через 1. Матрица, траиспонированная |
по |
отношению |
к X £ |
|||||||||||
6 М П (Г), обозначается |
через гХ. |
Если кольцо |
Т |
коммутативно, |
то |
через det(Z) и через t r ( Z ) мы обозначаем определитель и след матри
цы X 6 Мп(Т) и полагаем |
|
|
SLn(T) |
= {X 6 GLn(T) |
I det(X) - 1}. |
Если нет опасности ошибиться, то через Т'1 мы будем обозначать произведение п экземпляров кольца Т и зачастую будем рассматри
вать элементы из Тп |
как |
вектор-строки или вектор-столбцы с |
ком |
||||
понентами |
из Т. Все это |
относится, |
в частности, к |
случаям |
Т |
= |
|
= Z, Q, R, |
С или Н. Если V — некоторый Г-модуль, то End(F, |
Т) |
|||||
обозначает |
кольцо |
всех |
Г-линейных |
эндоморфизмов |
модуля |
V. |
|
0.3. Для произвольного поля К мы обозначаем через Aut(/£) группу всех автоморфизмов поля К. Если F — некоторое подполе в К, то A\xt(K/F) обозначает подгруппу в A u t ( £ ) , состоящую из авто морфизмов, тривиальных на F. Когда К является конечным или бесконечным расширением Галуа поля F, мы полагаем Aut(ZAF) =