Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл (14,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 182

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО

РОДА

аК

Ф- ЬК; определим непрерывное

отображение

/: G X G->- G

посредством

равенства f{x, у) =

х~ху;

тогда {a,

b) ($ f~\K);

посколь

ку

множество

f~\K)

замкнуто,

существуют

открытые

множества

п V,

содержащие

а н Ъ соответственно и такие,

что

(U X V) (")

П / _ 1 ( ^ )

но если h: G->- GIK — естественное проектирование,

то

это означает, что h{U)f\h{V)

0 ,

а это и требовалось доказать.

Пусть теперь G действует па GIK,

как обычно, подчиняясь пра

вилу g-{хК)

gxK

для

g £G,

£ G.

Отображение (g, хК) к*- gxK

прямого

произведения

G X {GIK)

пространство

GIK,

очевидно,

непрерывно. Кроме того, это действие траизитнвио.

Пусть S — произвольное хаусдорфово пространство, на котором непрерывно и транзитивно действует группа G. Фиксируем какую-


лпбо точку t на S и положим К = {g £ G		\| gt = t}.	Тогда К является
замкнутой подгруппой группы G и называется изотропной				подгруп
пой группы G в точке t или	стабильной	группой	точки t х ) . Суще
ствует естественное взаимно	однозначное	отображение X:		GIK-*- S,

определенное равенством X{gK) = gt. Для любого подмножества X

пространства S имеет место равенство Х~г{Х) — H{S 6 G \ gt	£Х}),
где h — проектирование (?-»- GIK. Приведенное соотношение	пока
зывает, что множество Х~\Х) открыто, если открыто X. Таким обра
зом, отображение X непрерывно. Вообще говоря, X не обязано	быть

гомеоморфизмом; однако можно доказать следующий критерий:

ТЕОРЕМА	1.1. Отображение X: G/K^>-S является		гомеоморфиз
мом, если G и S локально		компактны и G обладает	счетной базой
открытых	множеств.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть U — произвольное открытое мно

жество в G и g £ U. Достаточно доказать, что gt — внутренняя точка множества Ut. Возьмем такую компактную окрестность V единицы группы G, чтобы выполнялись равенство V = V"1 и включение gV" с : U. Если множество Vt содержит хотя бы одну внутреннюю

точку	vt, v 6 V,	то, очевидно, gt	= gv~lvt	является внутренней		точ
кой в	Ut. Но, согласно предположению,			G является	объединением
U gnV,	где {gn}	c f f — счетное	множество. Поэтому		S = [}	gnVt,
п					п

а множество Vt должно содержать внутреннюю точку на основании приводимой ниже леммы, и наша теорема доказана.

ЛЕММА	1.2.	Пусть	S — произвольное			{непустое)		локально	ком
пактное	хаусдорфово		пространство		и	V l 5 . . .,	Vn,	. . . —	такая
								со
счетная система		замкнутых		подмножеств		в S, что S — U Vn.			Тогда
								71=1
по крайней мере одно из Vn				содержит	внутреннюю		точку.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Предполагая, что нн одно из множеств
Vn не содержит		внутренних		точек, получим противоречие. Возьмем

*) Часто К называют стационарной подгруппой точки t.— Прим. ред.

§ 1.1. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ФАКТОРПРОСТРЛНСТВЛ

произвольное открытое множество Wi в S, замыкание Wi которого компактно. Определим последовательно непустые открытые под

множества		W2,	Wz, • • • так, чтобы		выполнялись		включения
Wn+i	cz Wn	— Vn.	Тогда Wn	образуют	убывающую	последователь
ность	непустых компактных			множеств,	а потому	f) Wn	ф 0. Но
						п

в этом и заключено противоречие, потому что указанное пересечение не имеет общих точек ни с одним из У„.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3.

Пусть

G — топологическая

группа,

дей

ствующая

непрерывно

на

локально

компактном

хаусдорфовом

про

странстве

Тогда

факторпространство

G\S

компактно

том

и только

в том случае, когда

существует

такое компактное

подмно

жество С в S,

что GC =

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

я — естественное

отображение

пространства

S в G\S. Если GC — S,

то

справедливо равенство

я(С) = G\S,

откуда

следует

достаточность

указанного

условия.

Обратно,

покроем

пространство

системой

открытых

множеств

с компактными замыканиями и рассмотрим образы этих множеств

при отображении		я. Если факторпространство G\S компактно,
то из возникающего		покрытия можно выбрать конечное, т. е. G\S =
= U n(Ut),	где Ui	— открытые множества с компактными замыка
ниями UI.	Но тогда S = G•([] Ui), к предложение доказано.

Пусть G — топологическая группа. Вообще говоря, подмножество М в G может иметь в самой группе G предельные точки даже тогда, когда оно дискретно в индуцированной топологии. Однако для подгрупп группы G имеет место следующий факт.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.4.

Пусть

Г — произвольная

подгруппа груп

пы G,

индуцированная

топология

на

которой локально

компактна.

Тогда

подгруппа

Г замкнута

в G.

частности,

если подгруппа

дискретна,

то она замкнута

и не

имеет

в G предельных

точек.

Мы называем подгруппу Г дискретной

в G, если индуцированная

топология на Г дискретна.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим, что подгруппа Г обла

дает компактной

окрестностью

единицы

е. Пусть U — открытая

окрестность

единицы

е в самой

группе

такая, что

U f] Г а

С,

ж х — какой-нибудь элемент замыкания группы Г. Мы можем найти

такую	окрестность	V точки х, для которой			У _ 1 У с		U.	Тогда
(У Г) Г ) - 1 (V[) Г)с= С.		Заметим, что	У\|~\| Г # 0,		и пусть		у — какой-
либо элемент из У П Г. Тогда У Г) Г с : уС. Далее, для каждой								окре
стности	W элемента	х пересечение	W{]	V (] Г	непусто,		так	что х
принадлежит замыканию пересечения				У f) Г.	Так	как	множество
2 - 01118		Т — Г б с . ПУблйч				ля	т

		1 Н А У Ч . ; О - Т £ Л : . ; . Ч

18	ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

уС компактно, то х £ уС cz Г и, следовательно, подгруппа Г зам кнута. Последнее утверждение в формулировке предложения оче видно.

	ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1	.5. Пусть	G — локально	компактная		группа
и	К — компактная	подгруппа в G. Положим		S =	G/K, и	пусть
h:	G—>- S — естественное отображение. Тогда если А				— компактное
подмножество пространства			S, то компактно и множество			к'ЦА).
	Д о к а з а т е л ь с т в о .		Возьмем какое-либо открытое			покры
тие группы G, элементы которого имеют компактные замыкания,

и рассмотрим образы этих элементов при h на факторпространстве S. Очевидно, справедливо включение A cz \J h(Vt), где участвует лишь

конечное число открытых множеств У,- с компактными замыканиями

F; из покрытия. Следовательно, h'1(A)

(J ViK.

Заметим, что мно

жества

VtK

компактны. Поэтому

и мпожество 1ъ~г(А),

являясь

зам

кнутым

подмножеством компактного множества, компактно.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.6. Пусть

К,

и h те

же,

что и в

пред

ложении

1.5, и

Г — некоторая

подгруппа

в G. Тогда

эквивалентны

следующие

утверждения:

( 1 )

подгруппа

является

дискретной

в G;

( 2 ) для любых двух компактных подмножеств

и В факторпро-

странства S

множество { g

6 Г

| g(A)

(] В Ф 0}

конечно.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

В — компактные

подмно

жества в

С =

h-\A),

h-\B),

g £ Г. Если

g(A)

[}В

т о

g(C)[\D

и,

следовательно,

6 Tf](DC'1).

Согласно

пред

ложению 1.5, множества С и D компактны; следовательно, ком

пактно

DC'1. Если подгруппа Г дискретна, то пересечение

Г Г|

(DC'1)

одновременно дискретно и

компактно,

а потому

конечно.

Этим

установлена импликация ( 1 ) =ф ( 2 ) .

Докажем

обратное. Пусть

V — произвольная

компактная

окре

стность единичного элемента е группы

н t =

h(e).

Тогда Г f) V

{ g £ Г

\gt£h(V)}.

Рассматривая

множества

и h(V)

как

мно

жества

из утверждения

(2)," мы убеждаемся,

что

Т []

V —

конечное

множество. Поэтому

подгруппа

Г дискретна.

До конца этого параграфа символы G, К, S, h будут иметь тот же смысл, что и в предложении 1 . 5, а Г будет обозначать какую-либо дискретную подгруппу группы G. Согласно утверждению ( 2 ) из предложения 1 . 6, множество {g £ Г I g(z) = z} конечно для любого z 6 S.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.7.		Для	каждого элемента	z £ S	существует.
такая окрестность	U	точки ъ, что
{g б г	\| g(u)	п и	Ф 0 } = {g е г \| g(Z)	=	z).

§ l . i . ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ I I ФАКТОРПРОСТРАНСТВА

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

V — компактная окрестность

точки

Согласно

предложению

1.6,

{g 6 Г \g(V){]V=£=

0 }

—

конечное

множество,

скажем

{ g b

. . ., gr}.

Предположим,

что

gt(z) =

если

1 ^

i ^

s, и gi(z)

z, если s <

i ^

г. Для

каждого

индекса

i > s

выберем

окрестность

точки

z и

окрестность

точки gt(z) так, чтобы пересечение

У,- f| ТУ,-

было пустым, после

чего

положим

П ( Т ^ П ^ Т О ) } -

= V[\{

Тогда множество U будет обладать требуемым свойством.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.8.

Если

две

точка

w пространства

не являются

Т-эквивалентными, то существуют

такая

окрестность

точки z

и такая

окрестность

V точки

и>, что

g(U)[\V

для любого элемента g 6 Г.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть X и Y — компактные

окрестно

сти

точек z

и w

соответственно.

Согласно предложенпю 1.6, {g 6

6 Г

| g(X){]Y

0 }

— конечное

множество,

скажем

{ g b

. . .,

gr}.

Так как точки z и w не являются Г-эквнвалентными, то для каж дого индекса i имеет место неравенство g;(z) Ф w. Благодаря этому

мы дюжем найти такие окрестности Ut							точек gt{z) и такие окрестности
У; точки	w, что		Ui П Vt = 0 .		Положим
			и = х г и г Т О П . . .					n r J ( t f r ) ,
			V = Y[\Vl[\		. . .		(]Vr.
Тогда U и V обладают нужными свойствами.
Пусть	Г\5 — множество			всех Г-орбнт точек пространства S.
Предложение		1.8	означает, что		пространство T\S с фактортополо-
шей является		хаусдорфовым.		Далее,			мы	имеем очевидную комму
тативную	диаграмму
			G	>S =		G/K
			I	I
			I	1
			T\G	>T\S		=	T\(G/K)

Легко видеть, что все отображения в этой диаграмме открыты и не прерывны.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ	1.9.	Факторпространство	T\G компактно
тогда и только	тогда,	когда компактно T\S.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно предложению 1.3, если про странство r\iS компактно, то S = ТС при некотором компактном подмножестве С из S, так что G = Г-/г_ 1 (С). Согласно же предложе нию 1.5, множество /г- 1 (С) компактно; следовательно, в соответствии

Смотрите также файлы

Аэропорт Урай.docx

Государственная система контроля качества, эффективности и безопасности лс.doc

Информация о мероприятиях, проведенных в 20212022 учебном году, по ранней профессионализации школьников с целью получения высшего образования в рамках предметного профиля Русский язык и литература.docx

Циклограмма на неделю(1115 апреля 2022 года).docx

Мбоу пильнинская сш 2 им. А. С. Пушкина учитель начальных классов.doc

Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно